Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета

Конспект

Алгебра. 8 класс

Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета

Квадратное уравнение x² – 6x + 8 = 0 имеет два корня, x₁ = 2; x₂ = 4.

x₁ • x₂ = 8 – равно свободному члену;

x₁ + x₂ = 6 – равно второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком.

Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни. Докажем это.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение x² + px + q = 0.

D = p² – 4q.

Пусть D 0, тогда уравнение имеет два действительных различных корня:

и .

Найдём сумму и произведение корней:

Таким образом, если x₁ и x₂ – корни приведённого квадратного уравнения
x² + px + q = 0, то

x₁ + x₂ = –p;

x₁ • x₂ = q.

Если дискриминант приведённого квадратного уравнения будет равен 0, то условимся считать, что тогда уравнение имеет не один корень, а два совпавших корня, и поэтому доказанная теорема будет также верна.

Эта теорема называется теоремой Виета по имени французского математика Франсуа Виета.

Любое квадратное уравнение можно привести к равносильному ему приведённому квадратному уравнению, разделив обе части уравнения на первый коэффициент. Тогда при наличии действительных корней у этого уравнения и согласно теореме Виета, получим вышеприведённые равенства. Это следствие из теоремы Виета – обобщённая теорема Виета.

Используем теорему Виета для нахождения произведения и суммы корней уравнения 2x² + 9x + 7 = 0.

D = b² – 4ac = 9² – 4 • 2 • 7 = 25 0, значит, уравнение имеет 2 корня. Эти же корни имеет приведённое квадратное уравнение .

По теореме Виета

На практике чаще всего используется теорема, обратная теореме Виета:

тогда y и z – корни уравнения x² + px + q = 0.

Запишем уравнение x² + px + q = 0 в виде x² – (y + z)x + y • z = 0.

Проверим, что у является корнем уравнения. Подставим его вместо х:

y² – (y + z)y + y • z = 0.

Получим 0 = 0, значит, y – корень уравнения.

Аналогично можно проверить, что и z является корнем уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, можно проверять, правильно ли найдены корни квадратного уравнения.

Уравнение x² – 5x + 6 = 0 имеет два корня x₁ = 2; x₂ = 3. Покажем, что корни найдены верно:

x₁ + x₂ = 5;

x₁ • x₂ = 6.

Значит, по теореме, обратной теореме Виета, числа 2 и 3 являются корнями данного уравнения.

С помощью теоремы, обратной теореме Виета, также можно подбором находить корни приведённого квадратного уравнения.

x² + 13x + 40 = 0

D = 13² – 4 • 1 • 40 = 169 – 160 = 9 0, значит, уравнение имеет два корня.

Подберём такие х₁ и х₂, чтобы

Таким образом, по теореме, обратной теореме Виета, получим корни данного уравнения x₁ = –5; x₂ = –8.