Презентация по теме Действительные числа

Множество целых чисел

• Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;…}

Натуральные числа, числа им противоположные и число нуль, образуют множество целых чисел, которое обозначается Z – первой буквой немецкого слова Zahl – «число»).

• сумма, разность и произведение целых чисел всегда являются целыми числами

• частное – может не быть целым числом

5 + (-7) = -2

-7 – 7 = -14

7 · (– 12) = -5

-7 : (-7)= 1

5 : (– 7) = -5 7

Множество рациональных чисел

Множество чисел, которое можно представить в виде m/n называется множеством рациональных чисел и обозначается Q первой буквой французского слова Quotient – «отношение»)

• сумма, разность, произведение и частное (кроме деления на нуль) над рациональными числами всегда являются рациональными числами

Алгоритм преобразования бесконечной периодической дроби в рациональное число

1)Нужно умножить дробь на 10 n , где n – количество десятичных знаков , содержащихся в записи этой дроби до периода

Получаем х ·10 n

2)Нужно умножить дробь на 10 k , где k – количество цифр в периоде:

Получаем х ·10 n · 10 k = х ·10 n+k

3) Отнять от равенства (2) равенство (1),

Решить полученное уравнение

Объединение множества рациональных чисел и множества иррациональных чисел (бесконечных десятичных непериодических дробей) даёт множество R действительных чисел

• Действительным числом называется бесконечная десятичная дробь, т.е. дробь вида

• + а 0 ,а 1 а 2 а 3 … или - а 0 ,а 1 а 2 а 3… ,
• где а 0 - целое неотрицательное число, а каждая из букв а 1 ,а 2 ,а 3 ,… - одна из десяти цифр:
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

Например:

• 1) π = 3,1415… а 0 = 3 а 1 =1 а 2 = 4 а 3 =1 а 4 =5 …

• 2)- √234 = - 15,297058… а 0 = 15 а 1 =2 а 2 = 9 а 3 =7 а 4 =0 …
• 3)37,19 а 0 = 37 а 1 =1 а 2 = 9 а n =0 при n≥3

1. Необходимость дальнейшего расширения множества чисел связана в основном с двумя причинами:

• 1)Рациональных чисел недостаточно для выражения результатов измерений (длина диагонали квадрата со стороной 1)

2) Такие числовые выражения не являются рациональными числами

• иррациональным числом называется бесконечная десятичная непериодическая дробь

2. Все основные действия над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел

Переместительный, сочетательный и распределительный законы, правила сравнения, правила раскрытия скобок и т.д.

4. Модуль действительного числа х обозначается | х | и определяется так же, как и модуль рационального числа:

1 . Определение: Геометрическая прогрессия – такая числовая последовательность b 1 , b 2 , b 3 , …, b n , …, что для всех натуральных n выполняется равенство b n+1 = b n q , где b n ≠0, q≠0

• Формула n -го члена геометрической последовательности:

• 2. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей , если модуль её знаменателя меньше 1 (|q|

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

Вспомним теорию

1

Арифметическим корнем n – ой степени (n N, n 2) из неотрицательного числа a называется такое неотрицательное число, n – я степень которого равна а:

0, b 0, p и q - рациональные числа : " width="640"

Степень с рациональным показателем.

1)

Если

2) При a 0, b 0, p и q - рациональные числа :

Сравнение степеней с одним основанием

Понятие корня

Корнем n-й степени из числа a называется такое число b, n-я степень которого равна a (n ≥ 2).

Обозначается , где a - подкоренное выражение (или число), n - показатель корня (n ≥ 2; n ϵ N).

По определению , если b в степени n равно a, или .

Основные свойства корня

а) корень четной степени из положительного числа имеет два значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;

б) корень четной степени из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует;

в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только одно действительное значение, которое положительно;

Основные свойства корня

г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет только одно действительное значение, которое отрицательно;

д) корень любой натуральной степени из нуля равен нулю.

Арифметический корень тесно связан с понятием абсолютной величины ( модуля ) числа, а именно:

Свойства арифметических корней

Чтобы извлечь арифметический корень из произведения, можно извлечь его из каждого сомножителя отдельно

Чтобы извлечь корень из дроби, можно извлечь его из числителя и знаменателя отдельно

Чтобы извлечь корень из степени, можно разделить показатель степени на показатель корня

Подведем итоги: