Презентация к уроку "Решение комбинаторных задач"

Устная работа

• Какие комбинации элементов вы знаете?

• Что такое перестановки? Как найти количество перестановок из N элементов?
• Что такое сочетания и размещения из n элементов по K элементов ? Чем они отличаются друг от друга? Как их найти?

Вычислите:

6!/4 !

5!/3 !

5!

3!

120

20

6

30

7!

7· 6!

48

4!· 2!

2 .Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

1

А сочетания

2

В размещения

3

С перестановки

Тема урока: «Решение комбинаторных задач.

Сочетания»

Самостоятельная работа. Задача 1

В парке 4 пруда. Было решено засыпать песком дорожки между ними так, чтобы можно было пройти от одного пруда к другому кратчайшим путем, т.е. не нужно было идти в обход.

Задание: покажи, какие дорожки надо сделать. Сколько вариантов получится?

Задача 2

У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

Ответы к задачам самостоятельной работы

Задача 1

Ответ: 6 вариантов

Задача 6

3 варианта

Задача 1.

В школе учатся 4 мальчика, которые хорошо играют в волейбол.

Сколькими способами можно выбрать из них двух человек для участия в соревнованиях?

Решение:

Дадим каждому мальчику номер от 1 до 4. Тогда каждую пару можно закодировать двухзначным числом. Ясно, что кодов 11, 22, 33 и 44 быть не может. Кроме того, такие коды, как, например, числа 24 и 42, означают одну и ту же пару школьников, поэтому нужно учитывать только одно из чисел. Получим такие коды:

12 13 23

14 24

34

Всего 6 вариантов

Задача 2 (рассмотреть задачу 2 из школьного учебника).

Сколько словарей необходимо переводчику, чтобы он мог переводить непосредственно с любого из четырех языков — русского, английского, немецкого, французского — на любой дру­гой из этих языков?

Решение:

АН АР АФ

НА HP НФ

РА РН РФ

ФА ФН ФР

Ответ: 12 вариантов.

Задача 3.

Андрей зашел в магазин, чтобы купить футболки. В магазине оказались футболки четырех цветов: белые, голубые, красные и черные.

Обозначьте цвета буквами Б, Г, К, Ч. Запишите все вариан­ты покупки, осуществляя их перебор в алфавитном порядке:

• а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки?

ББ, БГ, ..............................

Ответ: .............................

• б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две футболки разного цвета? Ответ: .................................

Решение задачи 3 с помощью таблицы.

Б

Б

Г

Г

ББ

К

ГБ

К

БГ

ГГ

КБ

Ч

Ч

БК

ГК

ЧБ

БЧ

КГ

ГЧ

ЧГ

КК

ЧК

КЧ

ЧЧ

Решение задачи 3 с помощью таблицы.

Б

Б

ББ

Г

Г

ГБ

К

К

БГ

Ч

Ч

ГГ

БК

КБ

ЧБ

ГК

КГ

БЧ

ГЧ

КК

ЧГ

ЧК

КЧ

ЧЧ

Ответ: 6 вариантов

Что общего вы увидели в этих задачах?

Почему в первой и третьей задачах мы получили 6 способов, а во второй 12?

Вы видите, что в в этих задачах надо было из четырех элементов выбрать два.

• В первой задаче коды 12 и 21 считались одинаковыми, в третьей ГБ и БГ, а во второй АН и НА – разные.

Таким образом, в обеих задачах нужно было, как говорят в математике, составить сочетания из четырех элементов по два. В первой задаче нам был не важен порядок этих сочетаний, то есть выбор двух школьников или футболок был равноправен , А во второй задаче при работе с двумя языками, например русским и английским, нужны два словаря: англо-русский и рус­ско-английский. Поэтому порядок сочетаний был важен, и именно поэтому в результате получилось ровно в два раза больше вариантов.

• Комбинаторные задачи, в которых нужно выбрать из n элементов т элементов

( т n ) всевозможными способами, называются задачами на сочетания.

Формирование умений и навыков

Выпишите все возможные двузначные

и трехзначные числа, которые

можно составить из цифр 0, 1,2, 3,

используя каждую цифру в

записи только один раз.

Задача № 868

• 10,12,13, 20,21, 23, 30,31, 32.
• Всего 9 вариантов.
• 102, 103, 120, 123, 130, 132, 201, 203, 210, 213, 230, 231, 301, 302, 310, 312, 320, 321.
• Всего 18 вариантов.

• а) На соревнование по легкой атлетике нужно отправить двух мальчиков из пяти лучших спортсменов среди шестиклассников — Антона, Петра, Бо­риса, Володи, Коли. Перечислите все варианты выбора участников соревнования. Сколько этих вариантов?
• б) Для участия в эстафете 2x100 м нужно выбрать двух мальчиков из пя­ти, обязательно указав, кто побежит первым, а кто — вторым. Перечисли­те все варианты выбора участников соревнования в этом случае. Сколько этих вариантов?

Решение задачи № 869 (а) (б)

• АБ, АВ, АК, АП, АБ, АВ, АК, АП,
• БВ, БК, БП, БА, БВ, БК, БП,
• ВК, ВП, ВА, ВБ, ВК, ВП,
• КП КА, КБ, КВ, КП
• ПА, ПБ, ПВ, ПК.
• Порядок не важен Порядок важен

Всего 10 вариантов. Всего 20 вариантов.

• В студенческой группе 14 девушек и 6 юношей. Сколькими способами можно выбрать, для выполнения различных заданий, двух студентов одного пола?

Решение.   По правилу умножения двух девушек

можно выбрать 14 ·13 = 182 способами, а двух юношей 6·5 = 30 способами. Следует выбрать двух студентов одного пола: двух студентов или студенток. Согласно правилу сложения таких способов выбора будет N =182 + 30 = 212.

Задача 1

Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Задача 1

10 рукопожатий

Такое решение задачи называют – решением с помощью графов

Задача 2

В класс пришли четыре новых ученика Миша, Вася, Катя, Лиза. С помощью дерева возможных вариантов покажи, все возможные варианты расположения четырех учеников за одной партой. Сколько вариантов выбора у него будет?

Решение

Решение задачи 2

12 вариантов

*

Вычислите :

56

24

Задача 3

В чемпионате по футболу участвовали 7 команд. Каждая команда играла 1 матч с другими командами. Сколько всего было встреч?

Ответ к задаче 3

Ответ: 21 матч.

• Миша решил в воскресенье навестить дедушку, своего друга Петю и старшего брата Володю. В каком порядке он может организовать визиты? Сколько вариантов получилось? Решить с помощью дерева вариантов.

Подведение итогов

• Какие комбинации элементов вы знаете?

• Что такое перестановки? Как найти количество перестановок из N элементов?
• Что такое сочетания и размещения из n элементов по K элементов ? Чем они отличаются друг от друга?

Задание № 6 Выпиши тот фразеологизм,

которая характеризует твою работу на занятии

ЗНАЮ…

ЗАПОМНИЛ…

СМОГ…

Домашняя работа

В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек.

Для уборки территории нужно выделить 4 мальчиков и 3 девочек.

Сколькими способами это можно сделать?

Спасибо за урок