Презентация к уроку по математике"Функции"

Что такое функция.

Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями.

Пишут: у = f(x), x Є X.

Переменную х называют независимой переменной или аргументом.

Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y) .

Переменную у – зависимой переменной .

Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у ).

Способы задания функции

Существуют 4 способа задания функции.

1.Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

Х

2

У

4

3

4

6

5

8

10

2.Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств.

У=2х+5, у= х² -5х+1, у= |х+5|.

3. Графический способ . Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости.

4. Описательный способ . Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.

§ 3

Свойства

функции

четность

нечетность

непрерывность

Монотонность:

нули функции

( значения аргумента,

в которых значение

Функции равно нулю)

выпуклость

Наибольшее и

наименьшее

значения

функции

периодичность

Промежутки

знакопостоянства

(промежутки, в которых функция

принимает только положительные

или только отрицательные значения)

Экстремумы:

точка максимума,

точка минимума

Линейная функция.

О. Функция вида y=kx+b называется линейной.

Т. Графиком линейной функции y=kx+b , при k ≠ 0 является прямая, пересекающая

ось ординат в точке (0; b ), ось абсцисс в точке (- b / k ; 0)

k 0 k =0

D(f) = R

E(f) = R

• О. Функция вида у=к/х, где к ≠0, называется обратной пропорциональностью.
• График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к
• D(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
• E(f) = (-∞;0) U (0;+∞)

Степенная функция с целым показателем .

О. Функция вида у=х ⁿ , где n - натуральное число, называется степенной .

О. График степенной функции с показателем n называется параболой степени n .

n - четное число n - нечетное число

D(f) = (-∞;∞) D(f) = (-∞;∞)

E(f) = [0;∞) E(f) = (-∞;∞)

Функция у = ах ² +вх+с

О.Функцией «корень n степени» называется функция вида

Т. Графики функций и у = хⁿ симметричны относительно прямой у = х

D(f) = (-∞;∞) E(f) = (-∞;∞)

Функция у = | х |

у= | х | = х, если х≥0

-х, если х 0 Функция задается кусочно.

х

Т. Область определения функции

D( y)= (-∞ ; + ∞ )

Множество значений функции

Е(у)= [ 0; + ∞ )

Т. Функция у = | х | убывает

при х Є (-∞ ; 0 ]

возрастает при х Є [ 0; + ∞ )

0. О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. " width="640"

Дробно-линейная функция

О. Функция вида называется дробно-линейной , где с 0.

О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.

Нахождение области определения функции

1.

2.

3.

Функция задана графиком. Укажите область определения.

Ответ:

X Є [ -1;8 ]

Ответ:

X Є [ 1;5 ]

Множество значений функции

• у= 2sin ²x-cos2x

Решение: 2sin ²x-cos2x = 2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1

0 ≤ Sin²x ≤ 1, -1 ≤ 4sin²x-1 ≤ 3

Ответ: -1 ≤ у ≤ 3

• у = 1 - 2 |cosx|

Решение: -1 ≤ cosx ≤ 1 , 0 ≤ |cosx| ≤ 1 , -1 ≤ 1 - 2 |cosx| ≤ 1 ≤ 1

Ответ: -1 ≤ у ≤ 1

3.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.

E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-∞;4]

Решение неравенств

На рисунке изображены графики функций y= f (x) и y= g (x) , заданных на промежутке. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ g(x)

Ответ: f(x) ≤ g(x) на отрезке [ -3;2 ]

На рисунке изображен график функции у = f(x) , заданной на отрезке [ -4;7 ] . Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x)≤-2

Ответ: [ 0; 2 ]

Какие из данных линий являются функцией?