Что такое функция.
Определение. Соответствия, при которых каждому элементу одного множества сопоставляется единственный элемент другого множества называются функциями.
Пишут: у = f(x), x Є X.
Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Множество всех допустимых значений независимой переменной является областью определения функции и обозначается D(y) .
Переменную у – зависимой переменной .
Множество всех значений зависимой переменной является областью значений функции и обозначается Е(у ).
Способы задания функции
Существуют 4 способа задания функции.
1.Табличный способ. Удобен тем, что позволяет найти значения функции имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.
Х
2
У
4
3
4
6
5
8
10
2.Аналитический способ. Функция задается одной или несколькими формулами. Этот способ незаменим для исследования функции, установления ее свойств.
У=2х+5, у= х² -5х+1, у= |х+5|.
3. Графический способ . Функция задается своей геометрической моделью на координатной плоскости.
4. Описательный способ . Удобно использовать тогда, когда задание другими способами затруднительно.
§ 3
Свойства
функции
четность
нечетность
непрерывность
Монотонность:
нули функции
( значения аргумента,
в которых значение
Функции равно нулю)
выпуклость
Наибольшее и
наименьшее
значения
функции
периодичность
Промежутки
знакопостоянства
(промежутки, в которых функция
принимает только положительные
или только отрицательные значения)
Экстремумы:
точка максимума,
точка минимума
Линейная функция.
О. Функция вида y=kx+b называется линейной.
Т. Графиком линейной функции y=kx+b , при k ≠ 0 является прямая, пересекающая
ось ординат в точке (0; b ), ось абсцисс в точке (- b / k ; 0)
k 0 k =0
D(f) = R
E(f) = R
- О. Функция вида у=к/х, где к ≠0, называется обратной пропорциональностью.
- График обратной пропорциональности (гипербола) получается из графика функции у=1/х с помощью растяжения (а при к
- D(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
- E(f) = (-∞;0) U (0;+∞)
Степенная функция с целым показателем .
О. Функция вида у=х ⁿ , где n - натуральное число, называется степенной .
О. График степенной функции с показателем n называется параболой степени n .
n - четное число n - нечетное число
D(f) = (-∞;∞) D(f) = (-∞;∞)
E(f) = [0;∞) E(f) = (-∞;∞)
Функция у = ах ² +вх+с
О.Функцией «корень n степени» называется функция вида
Т. Графики функций и у = хⁿ симметричны относительно прямой у = х
D(f) = (-∞;∞) E(f) = (-∞;∞)
Функция у = | х |
у= | х | = х, если х≥0
-х, если х 0 Функция задается кусочно.
х
Т. Область определения функции
D( y)= (-∞ ; + ∞ )
Множество значений функции
Е(у)= [ 0; + ∞ )
Т. Функция у = | х | убывает
при х Є (-∞ ; 0 ]
возрастает при х Є [ 0; + ∞ )
0. О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига. " width="640"
Дробно-линейная функция
О. Функция вида называется дробно-линейной , где с 0.
О. График дробно-линейной функции- гипербола , получаемая из графика обратной пропорциональности с помощью сдвига.
Нахождение области определения функции
1.
2.
3.
Функция задана графиком. Укажите область определения.
Ответ:
X Є [ -1;8 ]
Ответ:
X Є [ 1;5 ]
Множество значений функции
Решение: 2sin ²x-cos2x = 2sin²x-(1-2sin²x)=4sin²x-1
0 ≤ Sin²x ≤ 1, -1 ≤ 4sin²x-1 ≤ 3
Ответ: -1 ≤ у ≤ 3
Решение: -1 ≤ cosx ≤ 1 , 0 ≤ |cosx| ≤ 1 , -1 ≤ 1 - 2 |cosx| ≤ 1 ≤ 1
Ответ: -1 ≤ у ≤ 1
3.Функция задана графиком. Укажите множество значений этой функции.
E(f)=(-2;2] E(f)= [-3;1] E(f)= (-∞;4]
Решение неравенств
На рисунке изображены графики функций y= f (x) и y= g (x) , заданных на промежутке. Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x) ≤ g(x)
Ответ: f(x) ≤ g(x) на отрезке [ -3;2 ]
На рисунке изображен график функции у = f(x) , заданной на отрезке [ -4;7 ] . Укажите те значения х, для которых выполняется неравенство f(x)≤-2
Ответ: [ 0; 2 ]
Какие из данных линий являются функцией?