Презентация "История чисел и системы счисления"

История чисел и

системы счисления

Автор: Савицкая Е. Г., учитель информатики МКОУ «СОШ № 17»

с. Лукьяновка Красноармейского муниципального района Приморского края

Непозиционные системы древности

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.

Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым  вычислительным инструментом  у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их

оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4

предмета, то при записи этой величины

дважды повторяли знак сотни, пять раз —

знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения

знака в записи числа не зависит величина,

которую он обозначает; поэтому они

называются непозиционными системами

счисления.

Непозиционными системами пользовались

древние египтяне, греки, римляне и

некоторые другие народы древности.

Римская – первые упоминания о её возникновении и происхождении в истории появились в 500 годах до нашей эры, в древнем Риме. В качестве алфавита для представления чисел использовались латинские буквы – X, I, V и другие. Популярна и сейчас – обозначения веков, групп крови и воинских частей записываются в этой форме записи. Часы с римским циферблатом установлены на здании кремля в Москве.

Египетская – использовалась до десятого века до нашей эры. Числа в ней записывались при помощи иероглифов. Самое интересное, что с её помощью можно было считать до миллиона. Каких-то специальных приемов и правил для записи не существовало: иероглифы могли записываться как слева направо, так и справа налево. Ниже приведена краткая таблица обозначений с расшифровкой некоторых символов:

Славянская — использовалась нашими предками в древней Руси. Её происхождение и развитие началось с десятого века. Если описать кратко, то в такой форме записи числа каждой букве кириллического алфавита сопоставлялся знак (цифра). Например, букве «Азь» соответствовала единица, «Веди» – двойка и так далее. Представляет собой почти полную копию греческой нумерации. Согласно истории, вышла из употребления в 1725 году и была заменена на арабские цифры.

К сожалению, данный вид счислений почти не используется. Почему? С помощью непозиционных форм неудобно представлять большие значения и делать перевод из одной нумерации в другую. Именно поэтому, в результате развития, в истории появляется другой вид счислений называемый позиционным.

Позиционные

В позиционном виде имеет роль, какую позицию цифра занимает в числе. Например, возьмем число 10 – здесь единица обозначает количество десятков, а в числе 100 единица представляет количество сотен. С помощью такой формы удобно представлять большие значения и легко выполнять арифметические действия. Именно поэтому большая часть человечества пользуется системами счислений, которые относятся к этой группе. В истории считается, что позиционное счисление изобрели древние шумеры и жители Вавилона. На его принципах, в пятом веке, индусами была построена десятичная система, которая состояла из индуских цифр (1-9) и нуля, который обозначал отсутствие числа.

Также её возникновению способствовал великий индийский ученый Абу Джафар Мухаммад ибн Муса Аль-Хорезми с помощью работы, которая называется «Краткая книга о восполнении и противопоставлении», ставшей важной вехой для развития классической алгебры и арифметики, давшей начало простым основам теории решения уравнений. Впоследствии система стала широко использоваться арабами, которые через некоторое время видоизменили знаки её алфавита.

В Европе же её возникновение приписывается купцам, перенявшим её у индийцев. Упоминание об этом в истории датируется десятым веком нашей эры. Однако, широкого развития и популярности вначале она не получила. Большинство европейцев продолжали пользоваться римской нумерацией. Всё изменилось после выхода в свет нескольких трактатов великого итальянского математика Леонардо Фибоначчи в 1200 году.

Сам он был купцом и учился науке у арабских учителей, когда ездил по торговым делам. Со своими работами математик посетил Сирию, Египет и Сицилию, а после издал труд, который называется «Книга Абака». В ней показывалось преимущество позиционных систем над римской нотацией.

В истории России первые упоминания об арабском алфавите начинаются с четырнадцатого века, а после введения гражданской азбуки в восемнадцатом веке он полностью вытесняет славянские кириллические цифры. Именно в таком виде алфавит дошел до нас.

В мире информатики

Стоит отметить, что системы счисления играют большую роль в развитии и происхождении компьютерной сферы, и цифровой техники. С помощью них ЭВМ представляют информацию в виде, удобном для хранения, передачи и обработки. Сейчас наибольшую популярность имеет цифровой код, введенный в историю немецким математиком Вильгельмом Лейбницем в семнадцатом веке.

Его алфавит состоит всего из двух символов (0 и 1) . Он успешно используется в ЭВМ с 1940 года. Широкое использование обусловлено:

1. Легкой технической реализацией.

2. Аппаратура может находиться всего лишь в двух состояниях, а это обеспечивает высокую помехоустойчивость и скорость работы.

В настоящее время наиболее распространенными позиционными системами счисления являются десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная . Общее свойство всех позиционных систем счисления :  при каждом переходе влево (вправо) в записи числа на один разряд величина цифры увеличивается (уменьшается) во столько раз, чему равно основание системы счисления. Достоинства позиционных систем счисления: в позиционных системах счисления устранены все недостатки непозиционных:

в них можно записать любое число (как натуральное, таки действительное);

запись чисел компактна и удобна;

благодаря поразрядной организации записи чисел с ними легко проводить математические операции.

Алфавит и основание системы счисления

Алфавитом системы счисления  называется совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления для записи чисел. Например: Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Двоичная система: {0, 1} Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F} Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления.  Основанием   позиционной системы счисления называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.

Базисом  позиционной системы счисления называется последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или «вес» каждого разряда. Например: Базисы некоторых позиционных систем счисления. Десятичная система: 10 0 , 10 1 , 10 2 , 10 3 , 10 4 ,…, 10 n ,… Двоичная система: 2 0 , 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 ,…, 2 n ,… Восьмеричная система: 8 0 , 8 1 , 8 2 , 8 3 , 8 4 ,…, 8 n ,… Пример. Десятичное число 4718,63, двоичное число 1001,1, восьмеричное число 7764,1, шестнадцатеричное число 3АF.

Позиция цифры в числе называется  разрядом : разряд возрастает справа налево, от младших к старшим, начиная с нуля.

Развёрнутая форма представления числа

В позиционной системе счисления любое вещественное  число в развернутой форме  может быть представлено в следующем виде: А = ± (a n-1 q n-1 +a n-2 q n-2 + … +a 0 q 0 +a -1 q -1 +a -2 q -2 + … +a -m q -m ) Здесь: А  - само число, q  - основание системы счисления, a i  - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления, n  - число целых разрядов числа, m  - число дробных разрядов числа.

Развернутая форма записи числа - сумма произведений коэффициентов на степени основания системы счисления.

Пример . Десятичное число А 10  = 4718,63 в развернутой форме запишется так: А 10  = 4•10 3  + 7•10 2  + 1•10 1  + 8•10 0  + 6•10 -1  + 3•10 -2 Двоичное число А 2  = 1001,1 = 1•2 3  + 0•2 2  + 0•2 1  + 1•2 0  + 1•2 -1 Восьмеричное число А 8  = 7764,1 = 7•8 3  + 7•8 2  + 6•8 1  + 4•8 0  + 1•8- 1 Шестнадцатеричное число А 16  = 3АF = 3•16 2  + 10•16 1  + 15•16 0

Если вспомнить, что двоичная система счисления обладает самыми маленькими размерами таблиц сложения и умножения, то можно догадаться, что этот факт должен сильно радовать конструкторов ЭВМ, поскольку обработка сигнала в этом случае будет также самой простой. Таким образом, двоичная система счисления, с точки зрения организации работы ЭВМ, является наилучшей.

Мы уже говорили о преимуществах двоичной системы счисления с технической точки зрения организации работы компьютера. Зачем нужны другие системы счисления, кроме, естественно, еще и десятичной, в которой человек привык работать? Чтобы ответить на него, возьмем любое число в десятичной системе счисления, например 255, и переведем его в другие системы счисления с основаниями, кратными двойке: 255 10  = 11111111 2  =3333 4  = 377 8  =FF 16 . Чем меньше основание системы счисления, тем больше разрядов требуется для его записи то есть, тем самым мы проигрываем в компактности записи чисел и их наглядности.  Поэтому, наряду с двоичной и десятичной системами счисления, в вычислительной технике применяют так же запись чисел в 8-и 16-ричных системах счисления. Поскольку их основания кратны двойке, они органично связаны с двоичной системой счисления и преобразуются в эту систему наиболее быстро и просто (по сути они являются компактными видами записи двоичных чисел). Все другие системы счисления представляют для вычислительной техники чисто теоретический интерес .

Алгоритмы перевода в системы счисления по разным основаниям

Алгоритм перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Представить число в развернутой форме. При этом основание системы счисления должно быть представлено в десятичной системе счисления.

Найти сумму ряда. Полученное число является значением числа в десятичной системе счисления.

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, меньше делителя.

Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

Алгоритм перевода правильных дробей из десятичной системы счисления в любую другую

Последовательно умножаем данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

Источники:

https://tvoyapecarnya.ru/informaics/sistemy-ischisleniya/istoriya-razvitiya-sistem-schisleniya-v-mir e ;

https://www.sites.google.com/site/informatika1011kl/sistemy-scislenia-1 ;