Представление данных (таблицы, диаграммы, графики)

(Раздел «Элементы теории вероятностей. Элементы математической статистики.»)

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Представление данных (таблицы, диаграммы, графики).

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

• информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о представлении данных (таблицы, диаграммы, графики);

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о представлении данных (таблиц, диаграмм, графиков);

• владение умением решать задачи на представление данных (таблиц, диаграмм, графиков);

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение рационально распределять рабочее время;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

• умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Научно-методические ресурсы:

1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: представление данных, таблицы, диаграммы, графики.

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о представлениях данных (таблиц, диаграмм, графиков).

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Какие вы знаете типы представления данных?

2. Чем отличаются данные представленные в виде таблиц, диаграмм, графиков?

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений представления данных (таблиц, диаграмм, графиков).

Теория

Когда сведений очень много, их нужно упорядочивать. Таблица – самый простой способ упорядочить данные. С некоторыми таблицами вы уже имели дело. Это таблицы сложения и умножения чисел, таблицы спряжения глаголов. Таблицами являются: расписание уроков, страницы школьного дневника, оглавление учебника. Таблицы облегчают поиск необходимых сведений, не заставляя изучать всю имеющуюся информацию. Однако таблицы не дают наглядного представления о соотношении величин. Для этого служат различные диаграммы: столбиковые, круговые, рассеивания и др. Пословица гласит: «Лучше один раз увидеть». Диаграммы используются для наглядного, запоминающегося изображения и сопоставления данных. Таблицы и диаграммы удобно применять для сравнения шансов случайных событий, используя статистические данные (числовые данные, полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов.) На основе собранных статистических данных вычисляют частоту случайного события и выясняют, как она связана с вероятностью. Чтобы выяснить, насколько вероятно то или иное случайное событие, связанное со случайным экспериментом (эксперимент, условиями которого являются непредсказуемость и возможность многократного повторения), нужно подсчитать, как часто оно происходит. Для этого используют две важные величины – абсолютную и относительную частоту. Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие. Это всегда целое число. Относительная частота (частота  ) показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события. Она равна отношению n - числа опытов, в которых интересующее нас событие произошло, к N - общему числу проведенных опытов. Это дробное число, меняющееся от 0 до 1. Опытным путем установлено, что проводя эксперименты огромное количество раз (больше 1000), например, такие эксперименты, как бросание игральной кости, бросание монеты, раздача игральных карт, розыгрыш лотереи и др., частоты становятся устойчивыми. Например, изобразим график зависимости частоты от числа опытов при бросании игральной кости, показывающий как часто выпадала «единица»:

Другой пример. Событие А – «на кубике выпало четное число очков», событие В – «на кубике выпало нечетное число очков».

Устойчивость частот является скорее математическим, а не экспериментальным фактом. На нем основывается частотное, или статистическое определение вероятности: за вероятность случайного события можно приближенно принять его относительную частоту. В теории вероятностей величина, значение которой зависит от исхода эксперимента, называется случайной величиной. Мы будем рассматривать ряд числовых значений такой величины, полученных в какой-либо серии экспериментов. Такой числовой ряд называется случайной выборкой. Представим себе, что из всех школьников вашего региона случайным образом выбирается 1000 человек и фиксируется их оценка по математике в последней четверти. В статистике множество всех школьников региона будет называться генеральной совокупностью, а случайно выбранная 1000 школьников — случайной выборкой. Однако математики предпочитают иметь дело не со школьниками, а с числами, поэтому мы с вами будем называть случайной выборкой только числовой ряд — т. е. в нашем случае не самих выбранных школьников, а их оценки. Займемся числовыми рядами, полученными в результате описанной процедуры.

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Пример 1. Среди школьников седьмых классов был проведен выборочный опрос: из скольких человек состоят их семьи? В результате такого опроса была получена следующая выборка:223333423323232324322324523324323432 3 5 3Здесь каждое число означает количество человек в семье соответствующего ученика. Числа выписаны в том порядке, в котором ученики сдавали свои ответы. А что если упорядочить эти числа по возрастанию? 22222222222222 3333333333333333333 444 4 4 5 5

Не правда ли, этот ряд (он называется ранжированным) воспринимается уже лучше: теперь мы ясно видим, что минимальное значение в нем равно 2, а максимальное — 5. Видно, как часто повторяется каждое из значений. А вот как выглядит представление выборки в виде частотной таблицы:

Первый столбец частотной таблицы содержит различные значения наблюдаемой величины (по возрастанию), второй — сколько раз это значение повторилось в выборке, т.е. его абсолютную частоту, третий — какую долю эти значения составляют от всей выборки, т.е. его относительную частоту. Разумеется, сумма абсолютных частот будет равна объему выборки (т. е. количеству опрошенных учеников — 40), а сумма относительных — 1. Еще более наглядной формой представления результатов выборки является их графическое изображение. Для этого используется так называемый полигон частот — линейная диаграмма, на которой по горизонтальной оси откладываются различные значения, полученные в выборке, а по вертикальной — их относительная частота. После этого полученные точки соединяются ломаной линией (отсюда и название — полигон в переводе с греческого означает многоугольник).

Пример 2. На школьниках 1 «А» класса было проведено исследование для выяснения того, сколько весит портфель первоклассника. В результате взвешиваний был получен следующий числовой ряд (вес каждого портфеля в кг):2,1; 2,45; 1,9; 2,6; 3,1; 1,95; 3,4; 4,3; 1,15; 2,7;2,2; 3,2; 2,4; 2,2; 1,8; 1,5; 2,4; 2,25; 2,6; 1,75. Чем принципиально отличаются результаты этой выборки от примера 1? Чтобы ответить на этот вопрос, попробуем составить для нее таблицу частот:

Как видите, частота каждого значения оказалась равной 1 или 2. Это неудивительно, ведь точные совпадения в такой выборке маловероятны, а если измерять вес портфелей еще точнее, то совпадений не будет вовсе. Ясно, что составлять для такой выборки таблицу частот или рисовать полигон бессмысленно — никакого наглядного представления мы при этом не получим. В такой ситуации для представления результатов выборки используют интервальную таблицу частот: весь диапазон значений выборки разбивают на интервалы (чаще всего равные) и подсчитывают частоту попадания в каждый интервал. Вот как будет выглядеть такая таблица в нашем примере, если разбить диапазон от 1 до 5 кг на четыре равных интервала:

При попадании значения на границу интервалов его относят к какому-то одному из них (например, левому), чтобы не считать дважды. Так, если бы у кого-то из первоклассников портфель весил ровно 3 кг, мы включили бы это значение в интервал от 2 до 3 кг. Данные интервальной таблицы частот принято представлять уже не полигоном, а гистограммой частот: по горизонтальной оси откладываются интервалы значений, а над каждым интервалом строится столбик, площадь которого равна относительной частоте попадания в данный интервал. Обратите внимание: именно площадь, а не высота. Хотя, если интервалы равные, то высоты всех столбиков отличаются от соответствующих частот только постоянным множителем — длиной интервала.

В некоторых задачах таблицу частот удобно дополнить еще одной характеристикой, получившей название накопленной частоты. Рассмотрим ее использование на примере.

Пример 3. Перед вами еще одна интервальная таблица частот — распределение семей по уровню доходов:

Предположим, вы услышали по телевизору фразу: «Около 12% семей живет сейчас за чертой бедности». Попробуем определить по имеющейся у нас таблице эту «черту». Для этого нам придется суммировать относительные частоты в правом столбце таблицы до тех пор, пока мы не наберем сумму частот, превышающую 12%. Остановимся в этой строке и посмотрим, чему в это время равно значение в первом столбце — от 1000 до 1500 рублей. Если мы хотим определить эту черту более точно, поделим отрезок от 1000 до 1500 в нужной пропорции. Для этого заметим, что к началу этого отрезка сумма частот составляла 8%, а к концу стала равна 15%. Значит, интересующее нас значение х можно найти из пропорции:

1285 рублей — это и есть та самая черта, которую диктор назвал «уровнем бедности». Решая эту задачу, мы должны были производить накопительное суммирование относительных частот до тех пор, пока не будет достигнут заданный уровень — 12%. Поскольку эти результаты можно использовать и для решения других задач, удобно хранить полученные результаты — накопленные частоты — в отдельном столбце таблицы:

Отметим, что последняя накопленная частота всегда равна 1 (или 100%). Используя данные последней таблицы, решим задачи, встречающиеся на ЕГЭ.

Пример 4. Дана указанная таблица, но без графы «Относительная частота». Вопрос: с какой вероятностью доход людей колеблется от 2500 руб. до 3000 руб.?

Решение: Вероятность, как относительную частоту мы найдем вычитанием из накопительной частоты, стоящей напротив интересующего нас интервала дохода на человека от 2500р. до 3000р. (90%), предыдущего значения накопительной частоты (63%). Т.е. 90% – 63% = 27% = 0,27.

Ответ: 0,27.

Пример 5. Дана указанная таблица. Определить сколько человек из 400 получают наиболее «популярную» зарплату?

Решение: «Популярная» зарплата соответствует строке таблицы напротив частоты 36%. Это значит, из ста человек - 36 получают зарплату от 2500р. до 3000р., тогда из пропорции найдем: из четырехсот человек 4х36=144 человека имеют такой же доход. Ответ: 144.

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Карточка с задачами