Медианы, высоты, биссектрисы треугольников

Точка, лежащая на перпендикуляре

А

АН ⊥ р, А ∉ р, Н ∊ р

р

Н

Основание перпендикуляра

Из точки, не лежащей на данной прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, ................................................

Теорема о перпендикуляре:

Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр, и притом только один.

Дано: прямая р, точка А ∉ р

Доказать: 1) из точки А к прямой можно провести

перпендикуляр;

2) этот перпендикуляр единственный.

А

1

С

Н

2

В

М

А 1

ВМ – медиана , АМ=МС

КМ – медиана , ОМ=МР

В

О

М

Р

С

К

А

М

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с............................

ВМ – медиана ∆АВС, если АМ = МС, где М ∊ АС

З амечательное свойство медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке .

В

О – точка ............. .................

С 1

А 1

О

АА 1 ∩ ВВ 1 ∩ СС 1 = О

А

С

В 1

∠ ВАА 1 = ∠ А 1 АС

∠ РНН 1 = ∠ Н 1 НК

В

Н

А 1

К

Н 1

Р

С

А

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с ............................................................................

АА 1 – биссектриса ∆АВС, если ∠ВАА 1 = ∠САА 1 , где А 1 ∊ ВС

Замечательное свойство

биссектрис треугольника

В

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

О – точка ............................

С 1

А 1

О

АА 1 ∩ ВВ 1 ∩ СС 1 = О

А

С

В 1

В

АН ⊥ ВС

Перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к ……………………….. ...

Н

С

А

АН – высота ∆АВС, если АН ⊥ ВС, Н ∊ ВС

Высоты треугольника пересекаются в одной точке

В

АМ ⊥ ВС

СК ⊥ АВ

ВН ⊥ АС

К

М

О

Точка О – точка пересечения.................

С

Н

А

АА 1 ∩ ВВ 1 ∩ СС 1 = О

Для прямоугольного треугольника

А

Н

В

С

Точка С – точка пересечения высот прямоугольного треугольника

Для тупоугольного треугольника

О

О – точка пересечения высот тупоугольного треугольника

Н 1

Н 2

В

С

А

Н 3

Задачи

№ 106(а)

№ 105(а)

В

С

А

E

D

А

В

D

С

Доказать: ∆ ABD = ∆ CDB

Доказать: ∆ ABD = ∆ ECD

№ 1

№ 2

Е

В

N

К

О

О

F

М

А

С

Дано: АО – медиана ∆АВС

АО = ОК

АВ = 6,3 см

ВС = 6,5 см

АС = 6,7 см

Найти: СК

Н

К

Дано: ОН и ON – высоты ∆МОК

и ∆ EOF

ОН = О N, EN = 7 , 8 см

OE = 8 ,6 см, НМ = 6,3 см

Найти: МК

а) 6,4 см; б) 6,7 см;

в) 6,5 см; г) 6,3 см

а) 13,9 см; б) 14,1 см;

в) 14,9 см; г) 16,4 см

Д/з: п. 16, 17, № 105(б), 100, 106(б)

Дополнительная задача:

Дано: ∠ ADB = ∠ CDB

AD = DC

Доказать: ∠ВАС = ∠ВСА

BD ⊥ AC

B

D

C

A