Методический материал к занятию по теме «Исследование функции»

Методический материал к занятию по теме
«Исследование функции»

Исследовать функцию и построить ее график:

1. Область определения функции и область значений функции:

1. Проверим четность функции:

следовательно функция не является ни четной, ни нечетной. Также данная функция не является периодической.

Найдем точки пересечения с осями координат.

С с осью не пересекается. (из области определения)

С , однако, видим, что точка не входит в область определения функции.

1. Т.к. в точке x=0 функция не существует, значит, существует вертикальная асимптота x=0.

Проверим наличие наклонных асимптот:

Если или предел не существует вовсе, то наклонных асимптот не существует.

1. Находим производную первого порядка:

Приравняем к нулю и найдем стационарные точки:

Тогда стационарные точки:

Также точка является подозрительной на экстремум.

Проверим, являются ли данные точки точками экстремума.

Следовательно, – точка максимума, - точка минимума.

1. Найдем теперь производную второго порядка и точки перегиба:

Приравняем к нулю и найдем точки, подозрительные на перегиб:

Тогда точки, подозрительные на перегиб:

Проверим, являются ли данные точки точками перегиба.

Видим, что точка не входит в область определения функции, а точка действительно является точкой перегиба.

1. Строим сводную таблицу:

1. Строим график функции: