Метод математической индукции

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ КОРОВКИНА Н.М .

УТВЕРЖДЕНИЯ

Общие Частные

Все граждане России Петров имеет право на

имеют право на образование. образование.

Во всяком параллелограмме В параллелограмме ABCD

диагонали в точке пересечения диагонали в точке пересечения

делятся пополам. делятся пополам.

Все числа, оканчивающиеся 140 делится на 5.

нулём, делятся на 5.

ДЕДУКЦИЯ – ПЕРЕХОД ОТ ОБЩИХ УТВЕРЖДЕНИЙ К ЧАСТНЫМ.

Пример.

Все граждане России имеют право на образование.

Петров – гражданин России.

Петров имеет право на образование.

ИНДУКЦИЯ – ПЕРЕХОД ОТ ЧАСТНЫХ УТВЕРЖДЕНИЙ К ОБЩИМ.

Пример.

140 делится на 5.

Все числа, оканчивающиеся нулём, делятся на 5.

140 делится на 5.

Все трёхзначные числа делятся на 5.

ЗАДАЧА.

Перед нами последовательность нечетных чисел натурального ряда.

1,3,5,7,9,11,13…

Чему равна сумма n первых членов этой последовательности?

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим частные случаи:

1=1

1+3=4

1+3+5=9

1+3+5+7=16

1+3+5+7+9=25 …

Общий вывод: 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

Как же узнать, справедливо ли это утверждение вообще?

ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Утверждение P ( n ) справедливо для всякого натурального n , если:

• Оно справедливо для n =1 или для наименьшего из натуральных чисел при котором закономерность имеет смысл.

• Из справедливости утверждения для какого либо произвольного натурально n = k следует его справедливость для n = k +1.

Суть доказательства

методом математической индукции :

• базис проверить верность утверждения при n = 1
• индукционный шаг

- допустить , что утверждение верно при n = k

- доказать, что утверждение верно при n = k +1

Докажите, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

ДОКАЗАТЬ, ЧТО 1+3+5+…+(2 N-1)=N 2 .

Доказательство:

• Имеем n =1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n =1.
• Пусть k -любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k , т.е. 1+3+5+…+(2 k -1)= k 2 .

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k +1, т.е. что 1+3+5+…+(2 k +1)=( k +1) 2 .

1+3+5+…+( 2 k -1)+(2 k +1)= k 2 +(2 k +1)=( k +1) 2 .

Итак, утверждение 1+3+5+…+(2 n-1)=n 2 истинно для любого натурального n .

Суть доказательства

методом математической индукции :

• базис проверить верность утверждения при n = 1
• индукционный шаг

- допустить , что утверждение верно при n = k

- доказать, что утверждение верно при n = k +1

Докажите, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2.

ДОКАЗАТЬ, ЧТО 1+3+5+…+(2 N-1)=N 2 .

Доказательство:

• Имеем n =1=1 2 . Следовательно, утверждение верно при n =1.
• Пусть k -любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k , т.е. 1+3+5+…+(2 k -1)= k 2 .

Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k +1, т.е. что 1+3+5+…+(2 k +1)=( k +1) 2 .

1+3+5+…+( 2 k -1)+(2 k +1)= k 2 +(2 k +1)=( k +1) 2 .

Итак, утверждение 1+3+5+…+(2 n-1)=n 2 истинно для любого натурального n .

ЗАДАЧА

Доказать, что

при n  2.

2, т.е. Докажем истинность утверждения для n=k +1, т.е. что Итак, утверждение истинно для любого натурального n ≥ 2 . " width="640"

Доказательство:

1. Проверим верность утверждения при n =2.

Следовательно, утверждение верно при n =2.

2. Пусть утверждение справедливо для n=k 2, т.е.

Докажем истинность утверждения для n=k +1, т.е. что

Итак, утверждение истинно для любого натурального n ≥ 2 .

ЗАДАЧА

Доказать, что для любого натурального числа n истинно утверждение

ЗАДАЧА

Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна

Метод математической индукции

позволяет в поисках общего закона испытывать возникающие при этом гипотезы, отбрасывать ложные и утверждать истинные.

« Понимание и умение правильно применять принцип математической индукции, является хорошим критерием логической зрелости, которая совершенно необходима математику ».

А.Н. Колмогоров

ИНДУКЦИЯ

Полная Неполная

Требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в пределах 4 n .

Для этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5; 14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.