В честь окончания учебного года! Скидки до 50% на готовые материалы для учителей на каждый урок

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 18.05.2024 10:35

Хартон Марина Игоревна

46 лет

1 373 749

4

Подписчики

Подписки

Местоположение

Беларусь, Минск

Специализация

Астрономия

Информатика

Математика

Литература

Внеурочка

Французский язык

Окружающий мир

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Математика. Метод математической индукция. Примеры.

Категория: Математика

13.03.2018 00:26

Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства: если требуется доказать истинность утверждения $P(n), \forall n \in \mathbb{N},$ то сначала проверяют данное утверждение для некоторого натурально числа , обычно , а потом допускают истинность выражения Далее доказывают истинность утверждения

Примеры:

Доказать равенство: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, n\in \mathbb{N}.$

$\square$ $1^{2}=\frac{1(1+1)(2+1)}{6}=1.$

Пусть данное утверждение верно для $1^{2}+\cdots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Докажем истинность утверждения для

Доказать, что для всех натуральных чисел справедливо неравенство $n \leq 2^{n}$ .

$\square$ Для неравенство принимает вид $1 \leq 2$ , т.е. оно справедливо.

Предположим, требуемое неравенство имеет место при некотором и покажем, что оно же справедливо и для .

Сложим предположение индукции $k \leq 2^{k}$ с неравенством $1 \leq 2 \leq 2^{k}$ . Находим $k+1 \leq 2^{k}+2^{k}=2^{k+1}$ , что и требовалось доказать. $\blacksquare$

$\overbrace{1^{2}+2^{2}+\cdots+k^{2}}^{\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}}+(k+1)^{2}=$

$\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

$\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}=$

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=$

$\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$

$k(2k^{2}+k+2k+1)+6(k^{2}+2k+1)=$

$(k+1)(2k^{2}+3k+4k+6)$

$2k^{3}+3k^{2}+k+6k^{2}+12k+6=$

$2k^{3}+7k^{2}+6k+2k^{2}+7k+6$

$2k^{3}+9k^{2}+13k+6=$

$2k^{3}+9k^{2}+13k+6.$ $\blacksquare$

Просмотр содержимого документа
"Математика. Метод математической индукция. Примеры."

Курсы повышения квалификации

Интерактивные методы в практике школьного образования

Продолжительность 72 часа

Алгебра 11 класc

Алгебра 7 класс

Электронная тетрадь по математике 5...

Электронная тетрадь по алгебре 8 класс...

Электронная тетрадь по алгебре 7 класс...

Математика 5 класс

Геометрия 10 класс ФГОС

Электронная тетрадь по геометрии 7...

© 2018, Хартон Марина Игоревна 3588 614

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Интерактивные методы в практике школьного образования

1000 руб. 4000 руб.

Учитель, преподаватель математики и информатики

4450 руб. 17800 руб.

Методика подготовки к ОГЭ по математике

1000 руб. 4000 руб.

Учитель, преподаватель математики

3450 руб. 13800 руб.

Исследовательская деятельность учащихся

1000 руб. 4000 руб.

Профессиональная компетентность педагогов в условиях внедрения ФГОС

1000 руб. 4000 руб.

Похожие файлы

Математика. Метод математической индукции. Применение, формула бинома Ньютона. Примеры.

Математика. Математическая индукция + примеры решения задач

Математика. Метод математической индукции. Примеры.

Математика. Числа Каталана.

Математика. Многочлены. Повторяем. Теорема Безу. Схема Горнера. Разложение многочлена на множители. Бином Ньютона. Примеры.

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!

Полезное для учителя