Линейная функция

Линейная функция

План

Замечание. Информация на каждом слайде появляется

после щелчка мыши. Щелкаем несколько раз.

План

• Определение ............................................. ......................... .3
• Задание…………………………………………………………………………..4
• Построение графика функции y=2x+3........ ........................ 5
• Пересечение с осями координат………………………………………6
• Графики функции вида y=kx....................... ........................ 8
• Вычисление коэффициента k.................... ........................ 11
• Построение графика функции y=kx+b...... ........................ 12
• Проверь себя! ............................................ ....................... 13

Определение

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где k и b – заданные числа.

k – угловой коэффициент,

b – свободный член.

(Отдельно далее рассмотрим два частных случая :

1 . b=0 , тогда y = kx;

2. k=0 , тогда y=b .)

Область определения линейной функции – вся числовая ось.

Множество значений тоже не ограничено.

Задание.

Определите, какие из указанных функций являются линейными.

• у=2(х+3) 2) у=(х+2)(х-1) 3) у=х 2 +3х+4-(х-1) 2

4) у=1/3х+2 5) у=1/3-х 6)у=2/(х-1)

7) у=х 2 +3 8) х=3 9)у=2 х +5

Функции заданны формулами :

1) y= 3x+7 2) y= 2x+5.3 3) y= (1/3)x+4

4) y= -3x +3/4 5) y= x+1 6) y= 2x

7) y= -(2/9)x 8) y= x – 6 9) y= 8

Назовите угловой коэффициент.

Укажите, значение свободного члена.

График линейной функции – прямая.

Для построения прямой достаточно двух точек.

Построим график функции y=2x+3

Посчитаем значения функции в двух точках :

у

3

2

х

у

0

3

-2

-1

1

-1

-2

0

2

1

х

-1

y=2x+3

Пересечение с осями координат

График функции у= kx + b (k не равно 0 ) всегда пересекает обе координатные оси.

Точка пересечения с осью оу : х=0, у= b .

Точка пересечения с осью ох : y=0, x=-b/k

у

Абсциссу точки пересечения графика с осью ох называют нулем функции или корнем функции.

y=b

x=-b/k

0

х

y=kx+b

Научились строить график линейной функции по двум точкам. А теперь рассмотрим, каким образом прямая, являющаяся графиком такой функции, располагается на координатной плоскости, относительно осей координат. Информацию о расположении прямой дадут значения коэффициентов k и b .

Резюме : коэффициент k отвечает за угол наклона прямой к положительному направлению оси ох.

Графики функции вида y=kx

y=kx, (b=0) . Графики функций такого вида проходят через точку (0,0) – начало координат, так как при х=0, у=0.

Построим графики, посчитав значения функций в двух точках

2

4

1

у

3

2

• y= x

3

2) y= 2x

1



3) y= (1/3)x

х

3

-3

0

1

2

-1

-2

4) y= -2x

k=tg  – угловой коэффициент прямой

-1

0 , то угол острый, если k y= 2x y= x y= - 2x y= - x у 3 2 y= - (1/3)x   y=(1/3)x 1  3 -3 -1 -2 0 2 1 х -1 " width="640"

Рассматривая построенные графики, можете ли вы определить, как будут проходить графики функций у=-х, у= -(1/3)х

По знаку коэффициента k можно определить угол наклона прямой к положительному направлению оси ох :

если k 0 , то угол острый,

если k

y= 2x

y= x

y= - 2x

y= - x

у

3

2

y= - (1/3)x

 

y=(1/3)x

1



3

-3

-1

-2

0

2

1

х

-1

Рассмотрим случай, когда k =0. Тогда функция у= kx+b примет вид y=b .

y

Пусть b=3 .

Тогда y= 3 при любом

значении х.

Таким образом,

графиком функции

является прямая,

параллельная оси ох и

проходящая через

точку (0 ; 3).

у=3

3

x

0

Вычислите угловой коэффициент прямой, график которой изображен на рисунке.

Подсказка. y = kx, отсюда k=y/x

A

y

Определите, лежат ли точки на графике функции у= kx:

B(1.5; 2) C (-1; -3)

6

Подсказка .

Если подставили координаты точки в формулу и получили верное равенство, то данная точка лежит на графике.

Если равенство неверно, то данная точка не лежит на графике.

2

x

0

0 , у(0)= b b 3 3. График функции у= k х + b bx 0 Графиками функций у= k х и y = kx+b являются параллельные прямые. " width="640"

Построение графика функции y=kx+b

y

2

• График функции у= k х,

y(0)=0

1

2. График функции у= k х + b

b0 , у(0)= b

b

3

3. График функции у= k х + b

b

x

0

Графиками функций у= k х и

y = kx+b являются параллельные прямые.

• Проходит ли график функции

а) у=2х-1 через точку А(3 ;5 ) ;

б) у=-х+8 через точку B(-2;5);

в) у= 3х+4 через начало координат.

2. Каким будет угол наклона графика функции к положительному направлению оси ох ?

а) у=3х-5 ; б) у= -2х+5

3. Будут ли прямые параллельны ?

а) у= 2х+3 и у= 3х+2 ;

б) у=3х+4 и у= 3х-1 ;

в) у= -5х+2 и у= 5х-2 ;

г) у= -х+100 и у=-х+200.

4. Как расположены графики функций ?

а) у= - 8 б) у=2

в) у= 0,5 г ) у=0