Метод рационализации при решении показательных и логарифмических неравенств
Из опыта работы учителя математики, физики МОУ «Сольвычегодская СОШ» Ноговицыной Валентины Валериевны |
Решение неравенств методом интервалов достаточно часто приводит к затруднению при вычислении значения функции в промежуточных точках. Чтобы расширить возможности применения метода интервалов, рассмотрим метод рационализации.
Метод рационализации заключается в замене сложного выражения на более простое выражение , при которой неравенство равносильно неравенству в области определения выражения.
Выделим некоторые выражения F и соответствующие им рационализирующие выражения G, где - выражения от переменной х , а – фиксированное число .
| Некоторые следствия (с учетом ОДЗ неравенства)
|
Рассмотрим примеры сведения логарифмических и показательных неравенств, у которых основание, выражение под знаком логарифма, степень – многочлены. Оказывается, такие неравенства эффективно сводятся к дробно-рациональным или рациональным, причём, полученные решения будут более компактными по сравнению с традиционными.
Сведение логарифмического неравенства к системе рациональных неравенств
Рассмотрим логарифмическое неравенство вида
, (1)
где - некоторые функции (об их природе будем говорить ниже).
Стандартный метод решения такого неравенства предполагает разбор двух случаев на области допустимых значений неравенства:
если , то ; 2. если , то .
Рассмотрев два случая, необходимо объединить ответы. Правда, при рассмотрении второго случая возникает определенный дискомфорт – приходится на 90 процентов повторять выкладки из первого случая (преобразовывать, находить корни вспомогательных уравнений, определять промежутки монотонности знака). Возникает естественный вопрос – можно ли все это как-нибудь рационализировать объединить?
Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.
Теорема 1. Логарифмическое неравенство
равносильно следующей системе неравенств:
(2)
Доказательство. Начнем с того, что первые четыре неравенства системы (2) задают множество допустимых значений исходного логарифмического неравенства. Обратим теперь внимание на пятое неравенство. Если , то первый множитель этого неравенства будет отрицателен. При сокращении на него придется изменить знак неравенства на противоположный, тогда получится неравенство . Если же , то первый множитель пятого неравенства положителен, сокращаем его без изменения знака неравенства, получаем неравенство . Таким образом, пятое неравенство системы включает в себя оба случая предыдущего метода. Терема доказана
Пример 1. Решить неравенство .
Решение. Воспользуемся теоремой 1. Получим следующую систему неравенств:
Решая первые четыре неравенства, находим ОДЗ исходного неравенства:
Откуда: .
Решим теперь пятое неравенство системы:.
.
.
С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ответ: .
Сведение показательного неравенства к системе рациональных неравенств
Рассмотрим показательное неравенство вида
(3)
где - некоторые функции.
Традиционное решение такого неравенства приводит к двум случаям:
1. если , то ; 2.если , то .
Как и в случае с логарифмическим неравенством, имеется возможность значительно укоротить решение задачи, используя метод рационализации. Этот метод основан на следующей теореме.
Теорема 2. Показательное неравенство
равносильно следующей системе неравенств:
(4)
Нетрудно заметить, что система (4) аналогична системе (2) из теоремы 1 (правда, в ней нет требования положительности степеней).
Пример 2. Решить неравенство
.
Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:
Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:
Откуда ОДЗ: .
Далее рассмотрим основное неравенство , которое приводится к виду: .
Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: . Корни второго множителя равны: , , .
Так как , то . Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: .
Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:
.
Пимер 3. Решить систему неравенств
Решение: Рассмотрим решение каждого неравенства отдельно:
(2): введем замену
- система несовместна, т.к. по первому неравенству
Выберем решение системы , т.к. .
Ответ: .
Задания для самостоятельного решения.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Используемая литература:
1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 11 кл. общеобразовательных учреждений /[С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин ] – 5-ое изд. – М.: Просвещение, ОАО «Московские учебники»,2006.
2. А.Г. Корянов, А.А. Прокофьев. Материалы курса «Готовим к ЕГЭ хорошистов и отличников»: лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2012.
3. Колесникова, С.И. Математика. Интенсивный курс подготовки к ЕГЭ. Айриспресс 2014г.