Квадратные уравнения

РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА

ДЛЯ МОЛОДЕЖИ И СТУДЕНТОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

«НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЙ

ФОРУМ МОЛОДЕЖИ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»

Автор: Голощапов Виталий Олегович

9 класс МОУ «СОШ №1»

Руководитель: Голощапова Л.А.,

учитель математики МОУ «СОШ №1»

Г. ЧЕЛЯБИНСК

2010

СОДЕРЖАНИЕ

Цели и задачи работы…..………………………………………………….3

Квадратное уравнение и его корни………………………………………..3

Нестандартные способы решения квадратных уравнений………………4

• Прием коэффициентов………………………………………………4

• Прием переброски…………………………………………………...6

• Решение некоторых видов квадратных уравнений………………..7

Использование приемов решения квадратных уравнений………………..8

Выводы……………………………………………………………………….8

Приложения………………………………………………………………….9

Список литературы………………………………………………………….10

ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, иррациональных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения.

Однако имеются и другие приёмы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения; потребность в быстром решении обусловлена применением системы ЕГЭ.

Целью данной работы является выявление нестандартных способов решения квадратных уравнений. Для этого следует решить ряд задач:

• обобщить и систематизировать материал по теме: «Решение квадратных уравнений»;

• рассмотреть известные приёмы устного решения квадратных уравнений;

• выявить закономерности в решении квадратных уравнений и сформулировать способы решения некоторых типов квадратных уравнений;

• составить список заданий для применения нестандартных способов решения квадратных уравнений.

Для достижения поставленных задач нужно использовать такие методы, как изучение литературы и Интернет - источников, анализ, обобщение данных, выдвижение гипотезы и ее доказательство.

КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax²+bx+c=0, где х – переменная, а, b, с – некоторые числа, причем а 0. Числа а, b, с – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом и число с – свободным членом.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением. Если квадратное уравнение разделить на первый коэффициент , то получится приведенное квадратное уравнение:

x²+ x+ =0. Если =p, =q, то уравнение примет вид x²+px+q=0.

Для решения квадратных уравнений существуют формулы:

Для уравнения ax²+bx+c=0 -

Для уравнения x²+px+q=0 -

Если b=2k, то

Для решения приведенных квадратных уравнений можно использовать теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Дано:

х₁ и х₂ – корни уравнения x²+px+q=0

Доказать: х₁ + х₂=-р

х₁ х₂=q

Доказательство:

и

Тогда

х₁+х₂= = = -р;

х₁ х₂=( )( ) = = q

Теорема доказана.

Пример. Решить с помощью теоремы Виета уравнение х² – 9х + 20 = 0.

х₁+х₂= 9 и х₁ х₂ = 20

Нетрудно догадаться, что х₁=4, х₂=5.

НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

I. ПРИЕМ «КОЭФФИЦИЕНТОВ»

Чтобы решить уравнения типа

10х²+2009х+1999=0 или 7х² – 2010х +2003 = 0, нужно воспользоваться следующими свойствами коэффициентов квадратных уравнений:

1. Если a + b + c=0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю),

то один из корней квадратного уравнения равен 1, а второй – дроби .

Дано: ax²+bx+c=0

a + b + c=0

Доказать: х₁=1

х₂=

Доказательство: разделим обе части уравнения ax²+bx+c=0 на а , получим приведённое квадратное уравнение x²+ x+ =0.

По теореме Виета х₁ + х₂=-

х₁ х₂=

По условию a + b +c =0, откуда b= - a – c.

Значит х₁ + х₂=- = = 1+ ,

х₁ х₂= 1

Получаем х₁=1, х₂= , что и требовалось доказать.

Пример. Решить уравнение а)

Так как 14 – 3 – 11 = 0, то

б) 7х² – 2010х +2003 = 0

Так как 7 – 2010 + 2003 = 0, то

1. Если a - b + c=0 (или b = а + с, т.е. второй коэффициент равен сумме первого коэффициента и свободного члена),

то один из корней квадратного уравнения равен (-1), а второй –

дроби ( - ).

Дано: ax²+bx+c=0

a – b + c=0

Доказать: х₁= - 1

х₂= -

Доказательство: разделим обе части уравнения ax²+bx+c=0 на а , получим приведённое квадратное уравнение x²+ x+ =0.

По теореме Виета х₁ + х₂=-

х₁ х₂=

По условию a – b +c =0, откуда b= a + c.

Значит х₁ + х₂= - = = - 1 – ,

х₁ х₂= - 1

Получаем х₁= - 1, х₂= - , что и требовалось доказать.

Пример. Решить уравнение: а)

Так как 1998 = 329 + 1669, то

б) 10х²+2009х+1999=0

Так как 2009 = 10 + 1999, то

II ПРИЕМ ПЕРЕБРОСКИ

Используется при решении уравнений, для которых a b + c 0.

Например, при решении уравнения 2х² – 11х + 5 = 0, где 2 (-11) + 5 0

Перебросим число 2 к свободному члену, получим новое уравнение

х² – 11х + 10 = 0, в котором 1 – 11 + 10 = 0. Следовательно, его корни = 10. Чтобы найти корни исходного уравнения, разделим полученные значения на 2, тогда = 5.

Ответ: 5.

Этот прием можно использовать также и при решении квадратного уравнения с помощью теоремы Виета.

Пример. Решить уравнение

Перебросим первый коэффициент

Корни 9 и (-2).

Делим числа 9 и (-2) на 6:

.

Ответ:

III РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1) Уравнение вида aх² + (а² + 1) х + а = 0 имеет корни х₁ = - а, х₂ = -

Доказательство: разделим обе части уравнения ах² + (а² + 1) х + а = 0 на а , получим приведённое квадратное уравнение x² + (а + )x + 1 = 0.

По теореме Виета х₁ + х₂ = - а –

х₁ х₂= 1

Так как 1 = - а ₍ ), то х₁ = - а, х₂ = -

Н апример: то

2) Уравнение вида ах² – (а² + 1) х + а = 0 имеет корни х₁ = а, х₂ =

Доказательство аналогично.

Например:

3) Уравнение вида aх² + (а² – 1) х – а = 0 имеет корни х₁ = - а, х₂ =

например:

4) Уравнение вида aх² – (а² – 1) х – а = 0 имеет корни х₁ = а, х₂ = -

Н апример:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИЕМОВ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Использование теоремы, обратной теореме Виета, для составления уравнений с заданными корнями изучается в школе. Используя такие приёмы решения квадратных уравнений как прием «коэффициентов» и прием переброски, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, составим сумму 23 – 48 + 25 = 0.

Тогда уравнение 23х² – 48х + 25 = 0 имеет корни 1 и .

2010 = 2009 + 1 2009х² + 2010х + 1 = 0, корни (-1) и (- )

Использование приема переброски позволяет составить сразу несколько уравнений. Например, возьмём уравнение

По теореме Виета корни 2 и 3, их произведение равно 6, 6 делится на 1,2,3,6

6=1*6

6=6*1

6=2*3

6=3*2

Используя прием переброски, можно составить еще 3 уравнения:

1) корни

2) корни

3) корни

ВЫВОДЫ

• данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках математики;

• данные приёмы решения позволяют значительно сокращать вычисления, особенно при вычислении корня из дискриминанта в квадратных уравнениях с большими коэффициентами, если а и с имеют разные знаки;

• овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения;

• потребность в быстром решении обусловлена применением системы ЕГЭ.

ПРИЛОЖЕНИЯ

1) Решить уравнение

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

и)

к)

л)

м)

н)

2) Составить уравнения методом переброски из уравнения х² – 7х + 12 = 0 и найти их корни.

3) Составить уравнения методом переброски из уравнения х² – 9х + 20 = 0 и найти их корни.

4) Составить уравнения методом переброски из уравнения х² – 11х + 30 = 0 и найти их корни.

6) Составить уравнения методом переброски из уравнения х² – 12х + 35 = 0 и найти их корни.

7) Решить уравнение

а) 5х² + 26х + 5 = 0

б) 10х² + 101х + 10 = 0

в) 5х² – 26х + 5 = 0

г) 10х² – 101х + 10 = 0

д) 5х² + 24х – 5 = 0

е) 10х² + 99х – 10 = 0

ж) 5х² – 24х – 5 = 0

з) 10х² – 99х – 10 = 0

8) Составить уравнение, зная его корни:

1. 1 и 25

2. 1 и

3. -1 и

4. -1 и -37

5. 1 и

6. -1 и

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К.И.Нешков, С. Б. Суворова. АЛГЕБРА, учебник для 8 класса

2. В.Г. Степанов. Основы исследовательской деятельности школьника. - Псков, 2004. С.34-38

3. Справочник по математике

4. Л.А.Скакунова Урок-конференция по теме «Нестандартные приемы решения квадратных уравнений Математика в школе. №6, 2008г.

5. http://festival.1september.ru/2005_2006/index.php?numb_artic=311026

6. http://center.fio.ru/som/RESOURCES/FILIPPOVMA/2002/05/KV_UR/KV_UR.HTM

7. http://www.iteach.ru/forum/uchproekt/m_3nqy.html?start=150

8. http://e-science.ru/math/theory/old/?t=143

9. http://festival.1september.ru/2005_2006/index.php?numb_artic=310040

10. http://som.fio.ru/Resources/Karpuhina/2003/12/Complited%20work/Concert/index1.htm

11. http://pages.marsu.ru/iac/school/s4/page74.html

12. http://festival.1september.ru/2004_2005/index.php?numb_artic=214032

13. http://lenaka.home.nov.ru/geron.htm

14. http://www.college.ru/mathematics/courses/stereometry/content/scientist/eukleides.html

15. http://portfolio.1september.ru/?p=work&id=553045

16. http://vio.fio.ru/vio_15/resource/HTML/Moor/P35_1/d_0.htm

11