Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница.

Подзаголовок

Вычислить неопределенный интеграл:

Проверка:

Определение:

Пусть дана положительная функция f(x) , определенная на конечном отрезке [a;b].

Интегралом от функции f(x) на [a;b] называется площадь её криволинейной трапеции.

y

y=f(x)

x

a

0

b

4

Обозначение:

 «интеграл от a до b эф от икс дэ икс»

4

Историческая справка:

Обозначение интеграла Лейбниц произвёл от первой буквы слова «Сумма» (Summa). Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты. Сам термин интеграл придумал Якоб Бернулли.

Готфрид Вильгельм

фон Лейбниц

S umma

Якоб Бернулли

Исаак Ньютон

6

Оформление определённого интеграла в привычном нам виде придумал Фурье.

Обозначение неопределённого интеграла ввёл Эйлер.

Леонард Эйлер

Жан Батист Жозеф Фурье

7

Формула Ньютона - Лейбница

7

ОБ ИНТЕГРАЛЕ МОЖНО СКАЗАТЬ:

ИНТЕГРАЛ – ПЛОЩАДЬ

Площадь криволинейной трапеции находится по формуле Ньютона-Лейбница

Формулы вычисления площади с помощью

интеграла

у

у

у=f(x)

у=f(x)

x

b

а

х

b

a

Пример 1.

Вычислить определённый интеграл:

Решение:

=

10

Пример 2.

Вычислите определённые интегралы:

5

9

1

Вычислить определенный интеграл:

Пример 3 .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и осью абсцисс.

Решение:

Для начала найдем точки пересечения оси абсцисс с графиком функции . Для этого решим уравнение.

S =

y

S

=

x

14

Задачи:

• Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 + 2, х = 1, х = -2

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 2 + 2, х = 1, х = -2

у

у = х 2 + 2

х = -2

х = 1

х

0

1

-2

S = 9 ед.кв

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x 2 и y=x√x.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми y=x 2 и y=x√x.

Пример 4 .

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

и

Найдём точки пересечения (абсциссы) этих линий, решив уравнение

Решение:

S=S BADC - S  BAC

y

D

S BADC =

S

A

смотри пример 1

=

x

C

B

S  BAC =

S = 9 – 4,5 = 4,5

19

3

Запишите формулы для вычисления площади фигуры.

y

y

y = f(x)

y = g(x)

x

x

- 2

- 4

0

y

y

y = f(x)

y = g(x)

x

y = f(x)

-4

2

x

- 4

2

y = f(x)

Запишите формулы для вычисления площади фигуры.

y

y

y= f(x)

y = g(x)

y = g(x)

x

x

0

-3

-2

3

0

3