ТЕМА УРОКА .ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ,
ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке определена непрерывная и неотрицательная функция .
Определение. Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции , осью Ох ( ) и отрезками прямых , .
П усть требуется найти площадь криволинейной трапеции.
Для этого разобьём отрезок точками на n частичных отрезков и положим , . Наибольшую из этих разностей обозначим через : . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку : . Произведение даст площадь прямоугольника с основанием и высотой , тогда приближённо площадь криволинейной трапеции равна сумме:
, .
Эта сумма называется интегральной суммой.
Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади криволинейной трапеции:
, . (1)
2. Свойства определённого интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке .
1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:
.
2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:
.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:
, .
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:
.
5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:
, где .
6. Если функция - чётная на отрезке , то выполняется равенство
.
7. Если функция - нечётная на отрезке , то выполняется равенство
.
4. Вычисление определенного интеграла
Теорема. Если функция интегрируема на отрезке и – первообразная функции на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:
.
Эта формула позволяет вычислить определённый интеграл, зная какую-либо первообразную для интегрируемой функции. Первообразную для функции можно найти, вычисляя неопределённый интеграл от этой функции.
Замечание.
Для краткости записи употребляется обозначение .
ПРИМЕРЫ.
1) .
2) .
Вычислить определенный интеграл
Решение:
Пример 4: Решение:
.
Домашнее Задание. Пример
Вычислить определенный интеграл
Просмотр содержимого документа
«ТЕМА УРОКА .ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ, ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. Формула Ньютона-Лейбница.»
ТЕМА УРОКА .ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ,
ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА. Формула Ньютона-Лейбница.
1. Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла
Задача о площади криволинейной трапеции.
Пусть на отрезке определена непрерывная и неотрицательная функция .
Определение. Криволинейной трапецией называется часть плоскости, ограниченная графиком функции , осью Ох ( ) и отрезками прямых , .
Пу сть требуется найти площадь криволинейной трапеции.
Для этого разобьём отрезок точками на n частичных отрезков и положим , . Наибольшую из этих разностей обозначим через : . На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку : . Произведение даст площадь прямоугольника с основанием и высотой , тогда приближённо площадь криволинейной трапеции равна сумме:
, .
Эта сумма называется интегральной суммой.
Если увеличить количество частичных отрезков так, что длина любого из них будет стремиться к нулю, то данная интегральная сумма будет стремиться к площади криволинейной трапеции:
, . (1)
2. Свойства определённого интеграла
Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке .
1. При перестановке пределов интегрирования знак определённого интеграла изменяется:
.
2. Определённый интеграл от функции с равными пределами интегрирования равен нулю:
.
3. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:
, .
4. Определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:
.
5. Определённый интеграл по отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям:
, где .
6. Если функция - чётная на отрезке , то выполняется равенство
.
7. Если функция - нечётная на отрезке , то выполняется равенство
.
4. Вычисление определенного интеграла
Теорема. Если функция интегрируема на отрезке и – первообразная функции на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница:
.
Эта формула позволяет вычислить определённый интеграл, зная какую-либо первообразную для интегрируемой функции. Первообразную для функции можно найти, вычисляя неопределённый интеграл от этой функции.
Замечание.
Для краткости записи употребляется обозначение .
ПРИМЕРЫ.
1) .
2) .
Вычислить определенный интеграл
Решение:
Пример 4: Решение:
.
Домашнее Задание. Пример
Вычислить определенный интеграл