«Графическое решение квадратных уравнений»

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Организационный момент

Здравствуйте, ребята! Присаживайтесь.

Кто сегодня отсутствует на уроке?

Приветствуют учителя.

Староста называет отсутствующих.

Повторение

Для того, чтобы было легче разобраться с новым материалом, вспомним материал прошлого урока. Ответьте, пожалуйста, на вопросы:

1. Какая функция называется квадратичной? Анжела

Молодец.

2. Что является их графиками? Света

3. А по какой формуле можно найти абсциссу x ? Юра

Хорошо.

4. Что значит решить уравнение? Петр

 Хорошо.

Дано уравнение. Найти корни уравнения.

x² – 2x – 3 = 0

Как мы можем представить это уравнения в виде функции?

;

Мы умеем решать такие квадратные уравнения?

Каким способ можно попытаться решить его?

Для этого мы можем, используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, уже теперь попытаться его решить хотя бы графическим способом?

Давайте все таки решим это уравнение графическим способом, причем надо постараться найти разные приемы для его решения.

Анжела: Квадратичной функцией называется функция, заданная формулой y = f(x), где f(x) - квадратный трёхчлен. Т.е. формулой вида 
y = ax² + bx + c,
где a ≠ 0, b, c - любые действительные числа.

Света: Графиком квадратичной функции является парабола.

Юра:

Петр: Решить уравнение – значит найти все его корни( или убедиться, что уравнение не имеет ни одного корня).

;

Нет

Графическим

Да, мы знаем графики основных функций

Объяснения нового материала.

Открывайте тетради и запишите

Число. Классная работа. Тема урока «Графическое решения квадратных уравнений».

С квадратными уравнениями вы уже встречались в курсе алгебры 7-го класса.

Вспомним, что квадратным  уравнением называют уравнение вида  aх² +bх+c = 0, где a,b,c – любые числа, причем а≠0.

Используя   знания о некоторых функциях и их графиках, мы можем решать некоторые квадратные уравнения, причем 

различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.  

Пример: Решить уравнение x² – 2x – 3 = 0

Что является графиком функции? Павел

Хорошо.

Куда направлены ветви параболы? Аня

Почему?

Хорошо.

Как можно решить это уравнение? Кирилл

Хорошо.

Запишите в тетрадях.

Решение: 1 способ

Построить график функции

Квадратичная функция. Графиком является парабола. Ветви направлены вверх а 1, 10

Чему равно а и в? Алина.

1.

Как найти ? Саша

Значит вершинной параболы будет точка

(1;-4), а осью параболы прямая х=1.

2. Возьмем оси Х две точки симметричны относительно оси параболы.

Например точки .

Имея

3. Построим на координатной плоскости точки (-1;0), (3;0). Через точки (-1;0), (3;0), (1; -4) проводим параболу.

Корнями уравнения x² – 2x – 3 = 0, являются абсциссы точек пересечения параболы с осью Х, значит корни уравнения таковы

Поднимите руку кому не понятно.

На примере посмотрим этот метод:

Открывают тетради записывают тему урока.

Павел: Графиком функции является - Парабола.

Аня: Ветви параболы направлены вверх.

Потому, что старший коэффициент а 0.

Кирилл: С помощью алгоритма построения параболы.

Записывают все в тетрадях

Алина:

Саша:

Записывают все в тетрадь

Рассмотрим 2 способ: преобразует уравнение x² – 2x – 3 = 0 к виду

х² = 2х + 3. Оставив в левой части только слагаемое содержащей квадрат переменной. Построим в одной системе координат графики

функций у= х² и у = 2х + 3. Находим точки пересечения этих графиков: А(-1;1) и В(3;9), корнями уравнения служат

абсциссы этих точек, т.е. числа -1 и 3.

Пример.

Записывают все в тетрадь.

Записывают все в тетрадь

Рассмотрим 3способ.

Преобразовать уравнение, оставив в левой части слагаемое, содержащие квадрат переменной и свободный член. Получим

х² – 3 = 2х.

Строим графики функций у = х² -3 и у = 2х, находим их точки пересечения А(-1;-2) и В(3;6).

В ответе записываем абсциссы этих точек: -1 и 3.

Пример:

Записывают все в тетрадь.

Записывают в тетрадях

Рассмотрим 4 способ: Преобразуем уравнение, используя метод выделения полного квадрата.

Получаем: х² – 2х + 1 – 4 = 0 и далее ( х – 1 ⁾² = 4.

Затем строим параболу у = ( х – 1 )² и прямую у = 4, находим

точки их пересечения А(-1;4) и В(3;4). В ответ пишем -1 и 3.

Пример.

Записывают все в тетрадях.

Рассмотрим 5 способ. Преобразуем уравнение, разделим почленно обе части уравнения на х. Получим : х – 2 – 3/ х = 0; х – 2 = 3 / х, где х≠0.

Построив гиперболу у = 3 / х, где х≠0 и прямую у = х – 2, находит

точки их пересечения, в ответе записывает абсциссы этих

точек: - 1 и 3.

Пример.

Записывают все в тетрадь.

Записывают в тетрадях.

Постановка домашнего задания

Запишите домашнее задание

Записывают домашнее задание в дневники

Подведение итогов урока

Итак мы решили уравнение x² – 2x – 3 = 0 пятью способами.

Как мы находим первым способом уравнения? Кирилл

Второй способ? Света

Третий способ. Саша.

Четвертый способ. Андрей.

Пятый способ. Артем.

На практике можно выбирать тот способ, который тебе кажется наиболее приспособленным к данному уравнению или который тебе больше нравится (или более понятен). Несмотря на обилие способов графического решения квадратных уравнений, уверенности в том, что любое квадратное уравнение мы сможем решить графически, нет. А теперь рассмотрим уравнение x2−16x−95=0. Попробуем его решить, скажем, третьим способом. Преобразуем уравнение к видуx2−95=16x. Здесь надо построить параболу y=x2−95 и прямую y=16x. Но ограниченные размеры листа тетради не позволяют этого сделать, ведь параболу y=x2 надо опустить на 95 клеток вниз. Итак, графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения

На сегодняшнем уроке вы хорошо поработали. Поставлю оценки тем, кто выходил и отвечал с места. Анжела получает 4. Алина получает 5 и т.д.

На этом наш урок закончен. Спасибо за урок.

До свидания!

Кирилл: Строят график функцииy=ax2+bx+c и находят точки его пересечения с осью x.

Света:Преобразуют уравнение к виду ax2=−bx−c, строят параболу y=ax2 и прямую y=−bx−c, находят точки их пересечения (корнями уравнения служат абсциссы точек пересечения, если, разумеется, таковые имеются).

Саша: Преобразуют уравнение к виду ax2+c=−bx, строят параболу y=ax2+c и прямую y=−bx (она проходит через начало координат); находят точки их пересечения.

Андрей: Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду a(x+l)2+m=0 и далее a(x+l)2=−m.

Строят параболу y=a(x+l)2 и прямую y=−m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой.

Артем: Применяя метод выделения полного квадрата, преобразуют уравнение к виду a(x+l)2+m=0 и далее a(x+l)2=−m.

Строят параболу y=a(x+l)2 и прямую y=−m, параллельную оси x; находят точки пересечения параболы и прямой.

До свидания!