© 2017, Быркова Галина Александровна 2183 22
СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ
Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно
Скидки до 50 % на комплекты
только до
Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой
Организационный момент
Проверка знаний
Объяснение материала
Закрепление изученного
Итоги урока
Была в сети 24.05.2024 09:03
Быркова Галина Александровна
Учитель математики
5 565
7 435 
Специализация
Готовимся к ЕГЭ по математике
Категория:
Математика
09.11.2017 12:08
Пособие предназначено для подготовки к государственной итоговой аттестации учащихся 1011-х классов по математике;- Часть 1 состоит из 8 тем, каждая из которой соответствует проверяемым элементам математической подготовки учащихся 11 класса;
- В каждую из тем включен необходимый теоретический материал, формулы, алгоритмы, правила (теория) и образцы решений заданий (практика);
- К каждой теме подобраны типичные задания из открытого банка ЕГЭ для самостоятельного решения (реши сам) и ответы к ним;
- Дополняет пособие диагностическая контрольная работа и приложение;
- Предоставлен список использованной литературы.
Просмотр содержимого презентации
«B_1»
Сырок стоит 7 рублей 20 копеек. Какое наибольшее
число сырков можно купить на 60 рублей?
60 : 7,2
= 600 : 72
: 7,2
60
,
0
,
,
600 72
–
576
8
24
7р. 20 коп.
7,2 * 8 = 57,6
Всегда полезно сделать проверку.
На 8 сырков потребуется 57,6 руб.
На 9-й сырок не хватит!
8
В 1
х
3
х
1
0
Теплоход рассчитан на 1000 пассажиров и 30 членов команды. Каждая спасательная шлюпка может вместить 50 человек. Какое наименьшее число шлюпок должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?
1030 : 50
= 103 : 5
103 5
–
10
2
0
3
Всегда полезно сделать проверку
и осмыслить результат. Хватит ли 20 шлюпок?
На 50
пассажиров
20 * 50 = 1000
20 шлюпок хватит только на 1000 человек.
Но на теплоходе 1030 человек! Поэтому на теплоходе должна быть 21 шлюпка.
2
1
В 1
х
3
х
1
0
2
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в
офисе расходуется 600 листов. Какое наименьшее количество пачек бумаги нужно купить в офис на 6 недель?
- 600 * 6 = 3600 (листов) необходимо
бумаги на 6 недель
= 36 : 5 =
2) 3600 : 500
В 1 пачке
500 листов
= 7 (ост. 1)
Всегда полезно сделать проверку и осмыслить результат. Хватит ли 7 пачек?
7 * 500 = 3500 (листов)
Но необходимо 3600 листов, т.е. 100 листов не хватит. Значит, надо 8 пачек бумаги.
8
В 12
х
3
х
1
0
3
Просмотр содержимого презентации
«Подготовка к ЕГЭ С 2»
Подготовка к ЕГЭ
Решение задач на нахождение угла между прямыми.
- При нахождении угла между прямыми используют формулу:
Решение задач на нахождение угла между прямой и плоскостью
- Для нахождения угла используют формулу
Решение задач на нахождение угла между плоскостями.
- Для нахождения угла используют формулу
вектор нормали плоскости α
вектор нормали плоскости β
Алгоритм решения задач
- 1.Ввести декартову систему координат
- 2.Определить координаты необходимых векторов в данной системе координат, предварительно определив координаты точек являющихся координатами концов векторов.
- 3. Найти неизвестный угол по формуле .
Основные стереометрические фигуры в декартовой системе координат
Рассмотрим конфигурацию осей прямоугольной системы координат и различных стереометрических фигур и координаты точек в этих системах
Куб с единичными ребрами
Правильная треугольная призма с единичными ребрами
Правильная шестигранная призма с единичными ребрами
Правильная четырехугольная пирамида с единичными ребрами
Правильная шестиугольная пирамида
Как найти вектор нормали?
- Примеры векторов нормали к различным плоскостям
Нормаль к грани куба
Нормаль к диагональному сечению куба
Нормаль к диагональному сечению куба в другой конфигурации
Нормаль к сечению правильной шестигранной призмы
Решим задачу:
Рисунок к задаче
Решение
- Построить вторую плоскость удовлетворяющим данным задачи сложно. Но зато можно вектор АК взять за нормальный вектор второй плоскости, найти его координаты, а также координаты нормального вектора к плоскости (АВС) и найти косинус угла между плоскостями по формуле.
Вычисления
АК { -8;6;5 } , DD1{0 ;0;5 }
cosφ = 1 ⁄√ 5 .
Ответ: φ= arccos ( 1 ⁄ √ 5)
Просмотр содержимого презентации
«конус В-9»
Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action
Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . В ответе укажите .
А
1
2
О
30 0
С
Просят найти
1
В 9
х
3
х
1
0
Во сколько раз уменьшится объем конуса, если его высоту уменьшить в 3 раза?
1
V = S o H
3
V 1
h
Найдем отношение объемов
V 2
1
h
3
r
О
3
В 9
х
3
х
1
0
Во сколько раз увеличится объем конуса, если его радиус основания увеличить в 1,5 раза?
1
V = S o H
3
Найдем отношение объемов
V 1
V 2
r
О
1,5 r
2
2
,
5
В 9
х
3
х
1
0
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту.
Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
Найдем отношение объемов
150
V ц.
1
=
3
150
5
0
В 9
х
3
х
1
0
Высота конуса равна 6, образующая равна 10. Найдите его объем, деленный на .
А
6
10
О
С
Просят найти
1
8
2
В 9
х
3
х
1
0
Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на .
45 0
45 0
3
3
6
Просят найти
9
В 9
х
3
х
1
0
Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника АВС вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на .
А
6
6
В
С
Просят найти
7
2
В 9
х
3
х
1
0
Повторение. Если вы забыли формулы взаимосвязи между R , r и a
для правильного четырехугольника (квадрата), всегда легко их вывести. Например, можно получить эти формулы так:
Радиус описанной окружности R
a
r
2
D
С
т. О – точка пересечения диагоналей квадрата
O
R
r
Радиус вписанной окружности r
45 0
a
В
A
K
a
2
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на .
S
?
6
D
С
4
2
4
О
А
4
В
Просят найти
1
6
В 9
х
3
х
1
0
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
S
Найдем отношение объемов
D
a
С
r
О
R
2
r
А
В
2
В 9
х
3
х
1
0
Объем конуса равен 16. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.
Найдем отношение объемов
h
V 2
2
h
r
2
16
V 1
r
8
16
=
V 2
1
2
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
13
9
90 0
О
Искомая фигура составляет четвертую часть от всего конуса
Просят найти
8
,
7
7
5
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
12
9
90 0
О
3
Искомая фигура составляет
части от всего объема конуса
4
Просят найти
2
3
4
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
27
12
60 0
О
1
Искомая фигура составляет
часть от всего объема конуса
6
Просят найти
2
6
1
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части конуса, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
27
9
60 0
О
5
Искомая фигура составляет
части от всего объема конуса
6
Просят найти
6
7
0
,
5
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
6
90 0
5
1
Искомая фигура составляет
часть от всего объема цилиндра
4
Просят найти
4
5
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
1
О
90 0
5
О 1
3
Искомая фигура составляет
части от всего объема цилиндра
4
3
7
,
5
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
12
60 0
6
1
Искомая фигура составляет
часть от всего объема цилиндра
6
Просят найти
1
4
4
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
15
60 0
5
5
Искомая фигура составляет
части от всего объема цилиндра
6
Просят найти
9
7
3
,
5
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
О 1
1
4
3
О
2
От верхнего цилиндра берем только половинку
Просят найти
1
4
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке.
В ответе укажите .
5
2
5
Просят найти
1
5
0
В 9
х
3
х
1
0
Просмотр содержимого презентации
«логарифмы»
Найдите значение выражения
1
r
log
r
log
b
b
=
a
a
1
1
r
log
b
Запомни!
a
log
log
a
7
1
log
a
log
1
4
log
6
=
=
a
7
a
6
4
2
Найдите значение выражения
2
b
b
a
=
a
log
b
a
a
r
b
r
log
b
log
=
a
a
3
b
log
r
Запомни!
a
3
Найдите значение выражения
4
1
log
b
log
b
=
r
a
r
a
1
Запомни!
n
1
1
n
log
b
–
log
b
=
a
r
=
a
r
a
r
a
4
Найдите значение выражения
r
b
log
r
log
b
5
=
a
a
Запомни!
1
b
b
log
log
=
r
a
r
a
r
1
log
b
b
log
=
b
log
r
r
a
r
a
r
a
r
log
b
b
log
=
a
a
5
Найдите значение выражения
6
b
b
log
–
с
log
log
=
с
a
a
a
b
log
c
log
b
=
7
a
a
log
c
6
Найдите значение выражения
8
1
1
r
r
log
b
b
log
=
1
log
a
a
a
=
a
1
b
log
b
log
=
r
a
r
a
7
Найдите значение выражения
b
log
a
log
9
1
=
b
a
1
10
1
log
b
b
log
=
r
r
a
r
a
8
Найдите значение выражения
11
b
–
b
log
log
с
a n : a m = a n-m
=
log
с
a
a
a
1
r
log
log
b
r
b
=
a
a
9
Найдите значение выражения
12
b
–
log
b
log
с
=
log
с
a
a
a
1
log
a
=
a
1
r
log
a
log
b
1
log
b
=
r
b
log
log
b
r
b
a
=
a
a
a
10
Найдите значение выражения
13
m
a
log
1
=
n
m
=
a
a
n
a
1
1
r
b
log
r
14
b
r
b
log
log
=
a
a
a
1
1
b
log
b
log
=
r
r
a
r
a
11
Найдите значение выражения
15
log
+
b
log
с
с
b
=
log
a
a
a
12
Найдите значение выражения
log
b
c
log
b
=
a
log
a
16
c
1
r
log
b
a
r
b
log
r
b
log
=
a
a
13
Только зная все свойства, можно научиться решать примеры
1
a
log
=
b
log
+
с
log
b
с
log
=
a
a
a
a
log
b
b
b
b
a
=
log
b
–
a
a
log
с
a
=
log
с
a
a
a
b
log
b
1
log
log
c
b
log
b
=
=
b
a
a
log
a
log
a
b
c
a
b
log
log
1
=
b
a
1
r
log
b
b
r
log
b
log
log
b
=
=
r
a
a
r
a
r
a
14
Найдите значение выражения
log
1
b
b
log
b
=
a
log
a
17
b
1
b
log
log
c
b
=
a
a
log
c
15
Найдите значение выражения
1 8
1 9
20
15
Найдите значение выражения
1 8
1 9
20
2
17
Просмотр содержимого презентации
«максимумы и минимумы»
Производная функции в ЕГЭ
y
y= f ′(x)
x
0
Применение производной к исследованию функции
Задание №7
Определите количество точек экстремума по графику функции y = f(x) .
у
y = f (x)
1
0
1
х
3
Задание № 8
Определите количество точек экстремума по графику производной функции f(x) .
у
y = f ′(x)
1
0
1
х
4
Задание № 9
Определите точку минимума по графику функции y = f(x) .
у
y = f (x)
1
-2
х
0
1
-
2
у
Задание №10
Определите точку минимума по графику производной функции y = f(x) .
y = f ′(x)
1
-1
1
0
х
-
-
+
+
-
I
-4
3
-1
Задание №14
На рисунке изображен график производной функции f(x) . Определите угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой х o = -2.
у
y = f ′(x)
1
-2
0
1
х
-3
-
3
Задание №15
По графику производной функции f(x) . Угловой коэффициент касательной равен 3 определите число точек в которых проведены касательные к графику функции f(x) параллельные между собой.
у
y = f ′(x)
у = k = 3
1
0
1
х
3
Задание №16
На рисунке изображен график производной функции f(x) . В ответе укажите количество точек графика функции y = f(x) , в которых касательная параллельна прямой у = -х +3.
у
y = f ′(x)
1
0
1
х
y = k = -1
7
Задание №17
На рисунке изображен график функции у = f(x) . Найдите число промежутков возрастания.
у
y = f (x)
1
0
1
х
4
Задание №18
у
На рисунке изображен график производной функции f(x) . Найдите число промежутков возрастания.
y = f ′(x)
1
1
х
0
-
-
-
+
+
2
х
Задание №19
Исследуйте функцию на монотонность по графику ее производной. В ответ запишите наибольшую длину отрезка убывания.
у
y = f ′(x)
1
0
1
х
3
Задание №20
На рисунке изображен график функции у = f(x) . В ответе укажите количество точек графика функции y = f(x) , в которых касательная параллельна оси Ох.
у
y = f (x)
1
0
1
х
8
Задание №21
На рисунке изображен график производной функции f(x) . В ответе укажите количество точек графика функции y = f(x) , в которых касательная параллельна оси Ох.
у
y = f ′(x)
1
0
1
х
6
Задание №22
На рисунке изображен график функции f(x) . Найдите точку , в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.
у
y = f (x)
1
0
1
х
-4
-
4
Задание №23
На рисунке изображен график производной функции f(x) . Найдите точку , в которой функция y = f(x) принимает наибольшее значение.
у
y = f ′(x)
1
-2
0
х
1
-
2
Задание № 24
Исследуйте функцию на монотонность по графику ее производной. В ответ запишите абсциссу точки в которой угловой коэффициент касательной наибольший.
у
3
y = f ′(x)
1
0
1
х
I
Задание № 2 5
Исследуйте функцию y = f(x) по графику ее производной при х≥0 и укажите число точек экстремума, если известно, что функция
y = f(x) четная.
у
y = f ′(x)
1
0
х
1
4
Просмотр содержимого презентации
«объёмы В-9»
Открытый банк заданий по математике http://mathege.ru:8080/or/ege/Main.action
В цилиндрический сосуд налили 1200 см 3 воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см 3 .
Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики.
Найдем отношение объемов
V 2
10 см
12
1200
V 1
1200 см 3
12 см
10
1
0
0
0
В 9
х
3
х
1
0
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 27 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?
Ответ выразите в сантиметрах.
V
27 см
Найдем отношение объемов
Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2
d
1
27
1
27
=
9 h
1
1
h 2
V
3
3d
В 9
х
3
х
1
0
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1500 см 3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 28 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см 3 .
Объем детали будет равен объему вытесненной жидкости – это известно нам из курса физики.
Найдем отношение объемов
3 см
V 1
2 5
25 см
1 5 00
1 5 00см 3
3
1
0
8
В 9
х
3
х
1
0
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого?
Ответ выразите в сантиметрах.
1
a
ab
S
sin
=
2
V
16 см
Объем жидкости не изменился, т.е. V 1 =V 2
Найдем отношение объемов
a
a
16
1
1
16
=
16 h
1
1
h
1
V
4 a
В 9
х
4 a
3
х
1
0
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 8. Боковые ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
8
6
5
10
1
5
2
В 9
х
3
х
1
0
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые
ребра равны . Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
2
2
2
2
d
4
В 9
х
3
х
1
0
Объем первого цилиндра равен 12 м 3 . У второго цилиндра высота
в три раза больше, а радиус основания — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Найдем отношение объемов
12
4
12
=
V
3
9
В 9
х
3
х
1
0
Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 27.
Найдем отношение объемов
27
1
27
=
V ц.
3
8
1
В 9
х
3
х
1
0
Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра
увеличить в девять раз?
Найдем отношение объемов
V 2
V 1
a
9 a
7
9
2
В 9
х
3
х
1
0
Диагональ куба равна . Найдите его объем.
Для прямоугольного параллелепипеда
d 2 = a 2 + b 2 + c 2
d 2 = 3 a 2
Для куба
a
a
a
8
В 9
х
3
х
1
0
Объем куба равен 24 . Найдите его диагональ.
Для прямоугольного параллелепипеда
d 2 = a 2 + b 2 + c 2
d 2 = 3 a 2
Для куба
a
3
8
a
a
6
В 9
х
3
х
1
0
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.
Для прямоугольного параллелепипеда
d 2 = a 2 + b 2 + c 2
x
4
6
2
4
3
2
В 9
х
3
х
1
0
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба. Объем куба увеличится на 19. Составим и решим уравнение: (х+1) 3 = х 3 + 19 V a ребро 1 куб x x 3 Исходный куб (x+1) 3 х+1 2 куб Новый куб 2 В 9 х 3 х 1 0" width="640"
на 1 9
Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.
Объем куба увеличится на 19. Составим и решим уравнение:
(х+1) 3 = х 3 + 19
V
a
ребро
1 куб
x
x 3
Исходный куб
(x+1) 3
х+1
2 куб
Новый куб
2
В 9
х
3
х
1
0
B
a
S = a b sina
1
2
C
A
b
B
C
параллелограмм
S = a b sina
a
A
D
b
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
B
S = a 2 sina
a
ромб
A
C
a
D
15
B
C
параллелограмм
d 2
S = d 1 d 2 sina
1
d 1
2
A
D
B
1
ромб
d 1
S = d 1 d 2 sin 90 0
1
A
d 2
2
C
D
«Геометрия 7-9» Л.С. Атанасян и др.
C
B
d
прямоугольник
S = d 2 sina
1
2
d
A
D
16
Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 9, а боковые ребра равны .
9
9
60 0
Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников.
9
9
9
9
1
9
0
3
,
5
В 9
х
3
х
1
0
Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда.
?
D 1
A 1
C 1
B 1
h
2
D
1
60 0
60 0
O
C
A
1
B
1
5
,
В 9
х
3
х
1
0
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
1
a
ab
sin
S
=
2
Обе призмы имеют одинаковую высоту
Найдем отношение объемов
h
32
a
V 2
V 1
8
2 a
В 9
х
3
х
1
0
Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.
5
Применим результат, полученный в предыдущей задаче
2
0
В 9
х
3
х
1
0
Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
2 r
r
r
2 r
2 r
2 r
3
В 9
х
3
х
1
0
Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны 2 и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .
?
2
2
60 0
h
Например, можно вычислить площадь правильного 6-уг., разбив его на 6 треугольников.
2
30 0
O
2
2
2
1
8
В 9
х
3
х
1
0
Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30 0 , 30 0 и 45 0 с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.
Найдем длину, ширину и высоту параллелепипеда.
a
b
c
30 0
30 0
45 0
4
В 9
х
3
х
1
0
=
Объем параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 9.
Найдите объем треугольной пирамиды ABCA 1 .
2 S ABD
V приз. = S o H
1
V пир. = S o H
3
D 1
C 1
Найдем отношение объемов
A 1
B 1
9
h
D
C
A
B
1
5
,
В 9
х
3
х
1
0
Просмотр содержимого презентации
«площадь круга»
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
В ответе запишите .
S
Помощь
270 0
радиус
S
Просят найти =
2 способ
.
Найдем площадь всего круга.
1
2
В 6
х
3
х
1
0
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
В ответе запишите .
S
Помощь
90 0
радиус
225 0
45 0
S
Просят найти =
2 способ
.
Найдем площадь всего круга.
5
6
,
2
5
В 6
х
3
х
1
0
1
Найдите площадь сектора круга радиуса ,
центральный угол которого равен 90.
Помощь
2 способ
Найдем площадь всего круга.
.
0
2
,
5
В 6
х
3
х
1
0
по определению
1 радиан
Найдите площадь сектора круга радиуса 1,
длина дуги которого равна 2.
1
1рад
1рад
2 рад
Помощь
Помощь
1
1
2
2 способ
Решим задачу в радианах.
.
1
В 6
х
3
х
1
0
Просмотр содержимого презентации
«площадь фигур»
Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11
На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см 1 см изображены различные фигуры. Необходимо найти площадь. Ответ записать в квадратных сантиметрах.
Для того, чтобы быстро решать такие задания, надо знать формулы для вычисления площадей треугольника, прямоугольника, трапеции, параллелограмма, квадрата.
Часто при решении таких задач используются свойства площадей. Фигуру надо разбить на части, площади которых можно найти по знакомым формулам. Или наоборот, фигуру надо достроить. Получится большая фигура, площадь которой мы сможем найти.
катет
Дан треугольник
Помощь
b
a
S = a b
1
6
2
a, b – катеты прямоугольного треугольника
катет
5
Площадь прямоугольного треугольника найти очень просто, длины катетов сосчитаете по клеточкам.
1см
1
5
В 6
х
3
х
1
0
высота
Помощь
Дан треугольник
h
a
5
S = a h a
1
2
основание
7
a - основание
h a - высота
1см
Не сложно найти площадь треугольника, зная его основание и высоту, проведенную к этому основанию.
1
,
7
5
В 6
х
3
х
1
0
основание
Помощь
Дан треугольник
h
a
5
8
S = a h a
1
высота
2
a - основание
h a - высота
1см
2
0
В 6
х
3
х
1
0
высота
Помощь
Дан треугольник
h
a
5
S = a h a
1
2
основание
6
a - основание
h a - высота
1см
Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.
1
5
В 6
х
3
х
1
0
основание
Помощь
Дан треугольник
h
a
3
S = a h a
1
2
высота
8
a - основание
h a - высота
1см
Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.
1
2
В 6
х
3
х
1
0
Помощь
Я надеюсь, что ты помнишь:
Помощь
Дан треугольник
Площадь многих фигур можно найти, разбивая их на части или, наоборот, достраивая до более крупных, но удобных для вычисления площадей фигур.
S = a b
1
3
2
b
2
S 1
S 2
a
3
Достроим этот треугольник до квадрата. Тогда площадь треугольника можно найти следующим образом:
5
S - ?
a, b – катеты прямоугольного треугольника
2
S 3
S = S кв – S 1 – S 2 – S 3
5
S кв = a 2
1см
S = S кв – S 1 – S 2 – S 3
1
,
0
5
В 6
х
3
х
1
0
основание
высота
Не сложно заметить, что этот треугольник равнобедренный.
Дан треугольник
Помощь
S = a h a
1
2
h
6
a
a - основание
h a - высота
6
1см
Найдем основание по теореме Пифагора
Найдем высоту по теореме Пифагора
1
2
В 6
х
3
х
1
0
Дан треугольник
Можно решить задачу иначе. Эту фигуру удобно достроить до квадрата.
S 2
S 3
Не сложно найти площади всех фигур:
- квадрат со стороной 6,
- два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 5,
- квадратик со стороной 1.
S 1
S - ?
6
S 4
S = S кв – S 1 – S 2 – S 3 – S 4
6
1см
1
2
В 6
х
3
х
1
0
высота
Эту фигуру удобно достроить до большего треугольника.
Дан треугольник
основание
1см
1
2
В 6
х
3
х
1
0
высота
a
Дана трапеция
Помощь
h
b
4
основание
S = (a+b ) h
1
2
3
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
9
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
1
,
9
5
В 6
х
3
х
1
0
высота
a
Дана трапеция
Помощь
9
h
основание
b
6
S = (a+b ) h
1
2
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
1
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
3
0
В 6
х
3
х
1
0
основание
основание
a
Дана трапеция
Помощь
h
b
высота
8
S = (a+b ) h
2
1
7
2
a, b – основания трапеции
h – высота
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
3
6
В 6
х
3
х
1
0
высота
a
Дана трапеция
Помощь
6
h
основание
b
5
S = (a+b ) h
1
2
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
4
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
2
5
В 6
х
3
х
1
0
высота
a
Дана трапеция
Помощь
9
h
основание
b
5
S = (a+b ) h
1
2
a, b – основания трапеции
h – высота
основание
4
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
3
,
2
5
В 6
х
3
х
1
0
основание
основание
a
Дана трапеция
Помощь
h
b
S = (a+b ) h
1
4
2
высота
a, b – основания трапеции
h – высота
7
2
Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.
1см
2
1
В 6
х
3
х
1
0
a
Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.
Помощь
h
b
S = (a+b ) h
1
3
S 1
2
7
a, b – основания трапеции
h – высота
S 2
1
S 3
1
Если на экзамене ты разволновался и забыл формулу для вычисления площади трапеции…
Ты получишь тот же ответ, но ты должен понимать, что потратишь больше времени!
1см
А мне этот способ не понравился!
2
1
В 6
х
3
х
1
0
высота
высота
Дан четырехугольник
Многие задачи можно решить разными способами.
S 1
Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.
основание
S 2
1см
А мне этот способ не понравился!
3
,
1
5
В 6
х
3
х
1
0
Второй ученик увидит другую дорогу.
S 1
S 2
Конечно, он прав. Этот ученик знает только как вычислить площадь прямоугольного треугольника!
S - ?
Помощь
S = a b
1
b
2
S 3
S 4
a
a, b – катеты прямоугольного треугольника
А мне этот способ не понравился!
1см
3
,
1
5
В 6
х
3
х
1
0
Дан четырехугольник
Третий ученик формул знает значительно больше и он найдет площадь быстрее!
Помощь
d 1
d 2
S = d 1 d 2
1
2
d 1 , d 2 – взаимно перпендикулярные диагонали четырехугольника
1см
Ученик, который знает больше формул решит задачу быстрее
3
,
1
5
В 6
х
3
х
1
0
высота
Дан параллелограмм
Первым решит задачу тот, кто знает формулу для вычисления площади параллелограмма.
Помощь
h
7
a
S = a h a
основание
4
1см
a – основание параллелограмма
h a – высота, проведенная к основанию
2
8
В 6
х
3
х
1
0
Дан четырехугольник
Некоторые фигуры необходимо разбить на части или наоборот достроить…
7
S 1
S - ?
7
S 2
S 4
S 3
S 5
1см
3
3
В 6
х
3
х
1
0
Дан прямоугольник
Если нам сообщили, что данная фигура прямоугольник, то найдем его длину и ширину по теореме Пифагора.
6
a
6
S - ?
b
1см
3
6
В 6
х
3
х
1
0
Дан прямоугольник
Если ты не знаешь теорему Пифагора, то попробуй решить задачу иначе...
Можно найти площадь каждого треугольника, а затем сложить результаты…
S 1
S 2
S 3
1см
Дан прямоугольник
Если ты не знаешь теорему Пифагора, то попробуй решить задачу иначе…
9
S 1
Можно достроить до большого квадрата.
S 2
9
S - ?
Подумай, как найти площадь прямоугольника теперь…
S 4
S 3
1см
Просмотр содержимого презентации
«угловой коэффициент»
1 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой . Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно .
Решение:
у
2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подойдет.
у = f(x)
Можно найти несколько удобных треугольников с целочисленными катетами, например,….
х
1
8
tga =
O
х 0
2
Еще удобный треугольник…
-3
8
3). Найдем тангенс угла – это отношение 4:1. Тангенс тупого, смежного угла равен – 4.
-7
-
2
4
В 8
х
3
х
1
0
2 способ
В данных заданиях всегда есть удобные точки.
Этим можно воспользоваться.
Решение:
Уравнение прямой у = kx + b .
В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.
f / (x o )=k
k=tg α
у = k х + b
у
у = f(x)
Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой.
–
– 7 = b .
х
– 3 = – 1 k + b .
O
х 0
– 4 = k
(-1; -3)
-3
k = – 4
Систему можешь решить и своим способом.
-7
(0; -7)
-
4
В 8
х
3
х
1
0
1 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
Решение:
1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 положительно .
у
2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами.
3
Можно найти несколько удобных треугольников, например,….
12
х
1
O
х 0
3). Найдем тангенс угла – это отношение 3:12.
3
tga =
12
1
4). Переведем дробь
в десятичную запись:
у = f(x)
4
0
,
2
5
В 8
х
3
х
1
0
2 способ
2 способ
В данных заданиях всегда есть удобные точки.
Этим можно воспользоваться.
Решение:
Уравнение прямой у = kx + b .
В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.
f / (x o )=k
k=tg α
у = k х + b
у
Подставим координаты удобных точек в уравнение прямой.
(7; 5)
(-5; 2)
2 = –5 k + b .
–
5 = 7 k + b .
х
1
O
х 0
– 3 = – 12 k
:12
12 k = 3
3
k =
12
3
tga =
0
,
2
12
5
у = f(x)
В 8
х
3
х
1
0
1 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно .
Решение:
у
2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами.
Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например,….
1
х 0
1
O
8
х
2
2
tga =
3). Найдем тангенс угла – это отношение 1:4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0,25.
8
у = f(x)
-
,
0
2
5
В 8
х
3
х
1
0
2 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
Решать подобные задания можно другим способом.
Уравнение прямой у = kx + b .
В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина.
Решение:
у
у = k х + b
k=tg α
f / (x o )=k
Подставим координаты известных точек в уравнение прямой.
– 3 = 6 k + b .
–
1
х 0
– 1 = – 2 k + b .
O
х
(-2; -1)
– 2 = 8 k
: 8
(6; -3)
1
–
k =
у = f(x)
4
-
,
0
2
5
В 8
х
3
х
1
0
1 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой (хотя он и не помещается в пределах чертежа). Значит, значение производной в точке х 0 отрицательно .
Решение:
у
у = f(x)
2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами.
2
1
8
Найдем удобный треугольник с целочисленными катетами, например,….
O
1
х 0
х
3). Найдем тангенс угла – это отношение 1:4. Тангенс тупого, смежного угла равен – 0,25.
2
tga =
8
-
,
0
2
5
В 8
х
3
х
1
0
2 способ
На рисунке изображены график функции у = f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой х 0 . Найдите значение производной функции у = f(x) в точке х 0 .
Выполни решение вторым способом.
Решение:
у
у = f(x)
O
1
х
х 0
-
,
0
2
5
В 8
х
3
х
1
0
Вебинар для учителей
Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!
Полезное для учителя
Реализация образовательных программ осуществляется с применением исключительно электронного обучения и ДОТ
