Геометрическая прогрессия

Тема: Геометрическая прогрессии

I. Цель урока: формирование умений решать задачи с применением геометрической прогрессии

II. Задачи урока:

Образовательные: сформировать навыки решения типовых задач (нахождение n – го члена, знаменателя геометрической прогрессии, задавать геометрическую прогрессию)

Развивающие:

• Развивать навыки сравнения, анализа.

• Развивать коммуникативные способности детей, развивать математическую речь.

• Формировать у учащихся навыки первичного самоконтроля.

• Использование метапредметных связей через исторический экскурс

Воспитательные:

• Воспитывать культуру математического мышления

• Развитие ключевых компетенций (коммуникативной, информационной, самоорганизации, самообразования)

Организация продуктивной деятельности школьников, направленной на достижение ими следующих результатов:

1. личностных:

• уверенно и грамотно выражать свои мысли на математическом языке и языке формул;

• не боятся ошибок, развивать умение отстаивать свое мнение.

1. метапредметных:

освоение способов деятельности:

• познавательной

• структурирование объекта познания;

• сравнение, сопоставление, классификация объектов по одному или нескольким признакам;

• коммуникативной

• умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;

• проведение информационно-смыслового анализа текста;

• рефлексивной

• самостоятельная организация учебной деятельности;

• оценивание своих учебных достижений.

III. Урок систематизации и закреплении знаний.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Мотивация учебной деятельности; сообщение темы, цели и задач урока

Эпиграфом нашего урока будут слова известного математика А.Н. Колмогорова

« Математические знания могут применяться умело с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески».

Дорогой друг!

Сегодня у тебя необычный урок математики. Сегодня ты еще раз убедишься в том, что математика не только интересна сама по себе, но она необычайно полезна. В ходе сегодняшнего урока тебя ожидает большая радость творчества и огромное поле приложения математических знаний и умений. Желаю тебе успехов и творческих радостей на уроке!

Мы изучаем тему «Последовательности». Изучили арифметическую прогрессию, ещё какая тема ОГЭ осталась? Да, это тема « Геометрическая прогрессия»

Запишите, пожалуйста, тему урока...

Какая же будет цель нашего сегодняшнего урока?

Цель: изучить геометрическую прогрессию

Какие задачи надо поставить перед собой, чтобы эту цель достичь?

Задачи: научиться решать задачи по данной теме (может быть вариант: мы должны разобраться, какими свойствами обладают её члены; может быть почему её так назвали и др.)

3. Актуализация знаний: проверка творческого домашнего задания

4. Открытие новых знаний (закрепление материала + изучение через проблемную ситуацию)

Но в начале познакомься с легендой о шахматной доске. Чтобы понять ее, вовсе не нужно уметь играть в шахматы: достаточно знать, что игра происходит на доске, разграфленной на 64 клетки (попеременно черные и белые).

Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индусский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за удачную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников.

-Я желаю достойно вознаградить тебя, Сета, за прекрасную игру, которую ты придумал, -сказал царь.

Мудрец поклонился.

-Я достаточно богат, чтобы исполнить самое смелое твое пожелание, - продолжал царь. - Назови награду, которая тебя удовлетворит, и ты получишь ее.

Сета молчал.

-Не робей, - ободрил его царь. – Выскажи свое желание. Я не пожалею ничего, чтобы исполнить его.

-Велика доброта твоя, повелитель. Но дай срок обдумать ответ. Завтра я сообщу тебе мою просьбу.

Когда на другой день Сета снова явился к ступеням трона, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы.

-Повелитель, - сказал Сета, - прикажи выдать мне за первую клетку шахматной доски одно пшеничное зерно.

-Простое пшеничное зерно? – изумился царь.

-Да, повелитель. За вторую клетку прикажи выдать 2 зерна, за третью - 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, за шестую -32…

-Довольно, - с раздражением прервал его царь. – Ты получишь свои зерна за все 64 клетки доски, согласно твоему желанию: за каждую вдвое больше против предыдущей. Но знай, что просьба твоя недостойна моей щедрости. Прося такую ничтожную награду, ты непочтительно пренебрегаешь моей милостью. Ступай. Слуги мои вынесут тебе твой мешок с пшеницей.

Сета улыбнулся хитро, покинул дворец и стал дожидаться у ворот дворца.

Почему так хитро улыбнулся Сета?

Прав ли был индусский царь, считая просьбу Сеты ничтожной, полагая, что все зерна пшеницы уместятся в один мешок?

Об этом ты узнаешь чуточку позже.

А сейчас поподробнее рассмотрим последовательность чисел, соответствующих количеству зерен пшеницы, если, как попросил Сета, за каждую следующую клетку нужно дать вдвое больше, чем было в предыдущей.

Получается последовательность: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…. (запиши ее в тетрадь)

Запиши еще одну последовательность: 2, 6, 18, 54, 162, ….

Члены этой последовательности, начиная со второго, получаются путем умножения предыдущего на 3.

Приведенные примеры последовательностей являются геометрическими прогрессиями.

А теперь попробуй сформулировать определение геометрической прогрессии. Замечание: члены прогрессии должны быть отличны от нуля!

Определение: Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число.

Обозначим, например, через (b_n) - геометрическую прогрессию, тогда по определению

b_n+1= b_n×q, где b_n ¹0, n - натуральное число, q - некоторое число.

Из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно q, т.е.

b_n+1/ b_n = q

Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. Очевидно, что q ≠ 0.

Выполни самостоятельно:

Найти знаменатель геометрической прогрессии:

а) 3; 6; 12; 24;…

б) 3; 3; 3; 3; …..

в)1; 0,1; 0,01; 0,001;…

Проверь себя!

а) q = 2 б) q = 1 в) q = 0,1

Ошибок нет? Молодец! Если есть неправильные ответы, обратись к учителю.

По аналогии с арифметической прогрессией, выводится формула n-го члена геометрической прогрессии. Пусть b₁ – первый член геометрической прогрессии, q – знаменатель, тогда:

b₂ = b₁ ·q

b₃ = b₂ · q = (b₁ · q) · q = d₁ · q²

b₄ = b₃ · q = (b₁ · q²) · q = b₁ · q³

b₅ = ………………..= b₁ · q⁴

Продолжи эту цепочку рассуждений в тетради и вырази b_n через b₁ и q.

Проверь себя!

b_n=b₁• q^n-1 –формула n-го члена геометрической прогрессии. ( правильно, то 1 балл)

Эта формула используется для решения многих задач. Рассмотри примеры решения некоторых задач.

5. Закрепление

1. В геометрической прогрессии (b_n) известны

b₁ =-2 и q = 3, найти: b₃, b₄

Решение:

b₃ = b₁ • q² = -2· 3² = -18

b₄ = b₁ • q³ = -2· 3³ = -54 (1 балл)

2.Найти пятый член геометрической прогрессии (b_n):-20; 40; ….

Решение: Найдем знаменатель, для этого нужно 40 разделить на -20, получится q = -2.

b₅ = b₁• q⁴ = -20 • (-2)⁴ = -20 • 16 = -320 (1 балл)

6. Самостоятельная работа обучающего характера

Выполни самостоятельно:

В геометрической прогрессии (x_n) найти:

а) x₅, если x₁ = 16; q = ½

б) x₃, если x₁ = 3/4; q = 2/3.

в) x₁₀, если x₁ = 48; q = -1.

Проверь себя!

а) x₅ = 1 (1 балл)

б) x₃ = 1/3 (1 балл)

в) x₁₀ = -48 (1 балл)

Если ты испытывал затруднения, обратись к учителю.

Итак, просьба мудрого Сеты помогла тебе понять определение геометрической прогрессии, и теперь настало время узнать что-же было дальше….

За обедом царь вспомнил об изобретателе шахмат и послал узнать, унес ли Сета свою жалкую награду.

-Повелитель, - ответили ему, - математики твои трудятся без устали и надеются еще до рассвета закончить подсчет.

Утром царю доложили, что старшина придворных математиков просит выслушать важное донесение.

Царь приказал ввести его.

– Мы добросовестно исчислили все количество зерен, которое желает получить Сета. Число это так велико…..

-Как бы велико оно ни было, - надменно перебил царь, - житницы мои не оскудеют. Награда обещана и должна быть выдана..

- Не в твоей власти, повелитель, исполнять подобные желания. Во всех амбарах твоих нет такого числа зерен, которое потребовал Сета. Нет его и в житницах целого царства. Не найдется такого числа зерен и на всем пространстве Земли. И если желаешь непременно выдать обещанную награду, то прикажи превратить земные царства в пахотные поля, прикажи осушить моря и океаны, прикажи растопить льды и снега, покрывающие далекие северные пустыни.

С изумлением внимал царь словам старца.

- Назови мне это чудовищное число, сказал он в раздумьи.

18 446 744 073 709 551 615

-Восемнадцать квинтильонов четыреста сорок шесть квадрильонов семьсот сорок четыре триллиона семьдесят три биллиона семьсот девять миллионов пятьсот пятьдесят одна тысяча шестьсот пятнадцать, о повелитель!

Масса такого числа зерен больше триллиона тонн. Индусский царь не в состоянии был выдать подобной награды. Но будь он силен в математике, он бы не попал впросак…

Подведение итогов (самопроверка) Слайд

Самооценка

6б – «5»

5б – «4»

3 – 4б – «3»

7. Итог урока.

Домашнее задание.

Д.З.: п.8.1 учебника повторить,

№480, №481(г,д,з)

Творческое задание: №12 из «Распечатай и реши» 5 задач на нахождение членов геометрической прогрессии

Итак, урок приближается к концу: – Дополните фразы:

Сегодня на уроке я….

– узнал…

– учился…

–…

Урок сегодня завершён,
Но каждый должен знать:
Познание, упорство, труд
К прогрессу в жизни приведут!

Я желаю, чтобы геометрические прогрессии и вообще математика вели по жизни вас только вперёд! Я благодарю всех за работу! Мне было приятно с вами общаться! До свидания!