Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Моргун А. И.

Предмет

Алгебра

Дата проведения урока

08.02.2019

№ урока

62

Класс

9 – А

Тема урока

(в соответствии с КТП)

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии

Целеполагание

Цели урока:

обучения:  

вывести формулу суммы n-членов арифметической прогрессии, выработать навыки непосредственного применения данной формулы развития

развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

воспитания

воспитание дисциплины, наблюдательности, аккуратности, чувства ответственности;

Тип урока

изучение новой темы

Планируемые результаты

Предметные: познакомить учащихся с формулой суммы n-первых членов арифметической прогрессии. Выработать навыки применения формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии при решении заданий по данной теме.

Личностные: готовность и способность к саморазвитию и самообучению, дисциплинированность, внимательность, трудолюбие и упорство в достижении поставленных целей, уважительное отношение к иному мнению.

Метапредметные:

• самостоятельно создавать алгоритмы деятельности при решении проблем творческого и поискового характера, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий, уметь самостоятельно рефлексировать способы и условия действий, контролировать и оценивать процесс и результат деятельности;

• уметь слушать партнеров в процессе решения задач, оформлять решение в устной и письменной форме, уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

• уметь осуществлять самоконтроль, саморегуляцию, ставить цель, оценивать результат собственной деятельности.

Понятия

Оборудование

«Алгебра, 9 » Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков под редакцией С.А. Теляковского.

Ход урока

I этап

-актуализация знаний

-постановка темы

-постановка цели

-формирование УУД:

• Познавательные

• Регулятивные

• Коммуникативные

• Личностные

I. Организационный момент

II. Проверка домашнего задания

III. Актуализация знаний

Математический диктант по вариантам. Двое учащихся работают на оборотной стороне доски. Взаимопроверка диктанта

IIэтап

- изучение нового

-первичное закрепление

В том числе самостоятельная работа

взаимопроверка

III. Изучение нового материала

Эпизод из жизни немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777 – 1855). Когда ему было 9 лет, учитель, занятый проверкой работ учеников других классов, задал на уроке следующую задачу: «Сосчитать сумму натуральных чисел от 1 до 100 включительно: 1 + 2 + 3 + …98+99 +100. Каково же было удивление учителя, когда один из учеников (это был Гаусс) через минуту воскликнул: «Я уже решил…» Большинство учеников после долгих подсчетов получили неверный результат. В тетради Гаусса было написано одно число и притом верное: 5050

Учитель: Попытаемся найти ответ на данный вопрос.  Кто увидел закономерность?

Ответ: Второе слагаемое на единицу больше первого, а предпоследнее на единицу меньше последнего, так что сумма должна быть такой же. То же будет происходить и с каждой новой парой чисел. Таких сумм 50, так как всего чисел 100 и все они разделены на пары. Значит, вся сумма равна числу 101 умноженному на 50.

Учитель: Что собой представляет последовательность чисел

1;2;3;…;98;99;100?

Ответ: арифметическую прогрессию, первый член которой 1, а разность арифметической прогрессии 1.

Учитель: Что собой представляет сумма: 1+2+3+4+…+99+100?

Ответ: Сумму арифметической прогрессии.

Учитель: тема урока : формулы суммы п- первых членов арифметической прогрессии.

Пусть сумма первых n членов арифметической прогрессии равна Sn тогда:

Складывая эти равенства почленно, получим:

Отсюда имеем формулу:

Теорема

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна полусумме крайних членов, умноженной на число членов.

Тренировочные упражнения:

1. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 6, a5 = 26. Найти S5. 
   Решение: Sn = (а1+а5) : 2 × 5 Теперь вычислим сумму пяти первых членов арифметической прогрессии: S5 = (6+26) : 2 × 5=80. Ответ: 80. 

2. (an) – арифметическая прогрессия. a1 = 12, d = - 3. Найти S16. 

Решение: S16 = (а1+а16):2×16

Заметим, что в данной прогрессии не задан последний член этой суммы. Найдем 16 член прогрессии: а16 = 12+ 15×(-3) =12+(-45) =-33

Теперь вычислим сумму: S16 = (12+ (-33)) ×16: 2 = (-21) ×8 = -168. Ответ: -168.

Учитель: При решении таких задач можно воспользоваться второй формулой для нахождения Sn.

IV. Первичное закрепление знаний

Если в арифметической прогрессии первый член равен 20, разность арифметической прогрессии равен (- 0,5) и сумма п-го члена равна 371, то найдём п и ап.

IIIэтап

-подведение итогов

Рефлексия

Домашнее задание

П. 26

№ 603, 605 (б)