Технологическая карта урока математики в 9 классе "Сумма n членов арифметической прогрессии"

Тема урока

Место урока по теме

Сумма n первых членов арифметической прогрессии

Первый урок в теме из трех

Тип урока

Формы, приемы, методы

Комбинированный

Фронтальная, групповая работа; проблемная ситуация; контекстная задача.

Цель урока

Задачи урока

Образовательная: - сформировать умение находить сумму большого количества слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.

Деятельностная: - найти способ нахождения суммы большого количества слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.

-Формирование и развитие учебно-познавательной, коммуникативной и регулятивной компетенций;

- Получение формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии;

- Применение полученной формулы при решении задач;

-Развивать навыки контрольно-оценочной деятельности учащихся;

- Формировать положительную мотивацию к обучению.

Предполагаемый результат

Знать

Уметь

- Формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии;

- Способ нахождения суммы большого количества слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.

- Находить сумму n первых членов арифметической прогрессии;

- Находить неизвестные элементы формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Компетенции/УУД

Педагогические технологии

Оборудование

- Учебно-познавательная

- Коммуникативная

- Регулятивная

- Метод проблемного обучения

- Обучение в сотрудничестве

- Интерактивная доска

- Мультимедийное оборудование

- Карточки-задания

- Учебник «Алгебра 9» для общеобразовательных школ ;Макарычев, Ю.Н., Миндюк, Н.Г. Алгебра 9 / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение,

Цель/задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Компетенции/

аспекты компетенции/УУД

Оценивание/формы контроля

Результат

I этап: Организационный 1-2 мин.

Включение учащихся в учебную деятельность на личностно значимом уровне.

Приветствие.

Проверяется готовность учащихся работать.

Наш сегодняшний урок я хочу начать словами Блеза Паскаля: «Доводы, до которых человек додумывается сам, обычно убеждают его больше, нежели которые пришли в голову другим».(слайд 1)

Слушают учителя.

Приветствие.

Выполняют самооценку готовности к уроку.

Коммуникативная

Личностные: понимают значение знаний для человека и принимают его; имеют желание учиться.

Оценка, самооценка готовности к предстоящей учебной деятельности.

Готовность учащихся к познавательной деятельности.

Эмоциональный настрой на урок.

II этап: Актуализация знаний. Постановка цели и задач урока. 8-10 мин.

- Создание проблемной ситуации, в результате которой учащиеся самостоятельно выдвинут цель и сформулируют тему урока

- Готовность мышления учащихся и осознание потребности к построению нового способа действий.

1.Устная работа:

Формулирует вопросы к заданиям.

Корректирует ответы учащихся.

1-е задание (слайд 2):

Я загадала арифметическую прогрессию. Подумайте и задайте мне два вопроса, получив ответы на которые, вы могли бы назвать седьмой член арифметической прогрессии.

2-е задание (слайд 3):

Назовите те числовые последовательности, которые являются арифметическими прогрессиями:

• а) 2; 4; 6; 8; . . . .

• б) 0; 1; 0,5; . . . . . .

• в) -2; 8; -2; 8; . . . .

• г) 25; 20; 15; . . . .

3-е задание(карточка №1)

Установите соответствие:

● А. Разность арифметической прогрессии.

● Б. Свойство арифметической прогрессии.

● В. Формула n –го члена арифметической прогрессии.

● Г. Определение арифметической прогрессии.

● 1. a_{n =} a₁ + d(n – 1).

● 2. d = a_n+1 – a_n-1.

● 3. a_n+1 = a_n + d.

● 4. a_n = a_{1 +} a₂.

● 5. a_n = (a_n-1 + a_n+1)/2.

Шаблон для ответов:

Учитель: выполнив задание, обменяйтесь, пожалуйста, листочками и оцените работу друг друга по шаблону на доске (слайд 4).(Критерии оценивания у каждого на парте см. Приложение 2).

(У каждого ученика на парте карточка с заданием и таблицей для ответа).

4-е задание (слайд 5):

Найдите сумму:

а) 1 + 2 + 3 + . . .+ 20.

б) 1 + 2 + 3 + . . . + 50.

Задает вопросы учащимся:

- Каким способом легче вычислить сумму?

- Какова общая закономерность?

- В заданиях известно количество слагаемых?

- Сколько получится сгруппированных слагаемых?

Молодцы! В 18 веке 9-летний мальчик меньше, чем за минуту вычислил сумму 100 первых натуральных чисел, чем немало удивил своего учителя. Он тоже применял способ группировки слагаемых. Его имя – Карл Фридрих Гаусс, в дальнейшем великий математик. Его отец о нем говорил – Фридрих считать научился раньше, чем говорить

1. Выполняют задание.

Высказывают предположения и доказывают свою точку зрения.

Готовят ответы на поставленные вопросы.

Выполняют взаимопроверку.

1-е задание:

- Назовите первый член арифметической прогрессии;

- Назовите разность арифметической прогрессии.

Или

- Назовите первый член арифметической прогрессии;

- назовите второй член арифметической прогрессии.

2-е задание:

Ответы учащихся:

а); г).

3-е задание:

(ответы для проверки на слайде 4)

4-е задание:

а) 210.

б) 1275.

Ответы:

-Легче вычислить, если применить способ группировки слагаемых: 1-ое с последним;

2-ое с предпоследним и т.д.

- Все слагаемые суммы являются членами арифметической прогрессии.

- Количество слагаемых в каждом случае известно.

- Количество сгруппированных слагаемых в два раза меньше, чем общее количество слагаемых.

Учебно-познавательная.

Коммуникативная.

Личностные: осознают свои возможности в учении; связывают свои успехи с усилием, трудолюбием.

Познавательные:

Общеучебные – выстраивают осознанное речевое высказывание в устной форме по теме,

Логические-осуществляют поиск необходимой информации.

Коммуникативные-обмениваются мнениями, слушают друг друга, строят понятные речевые высказывания.

Оценка.

Взаимооценка.

Актуализированы знания и способы действий, необходимые и достаточные для освоения содержания новой темы.

III этап: Открытие нового знания 7- 8 мин.

Формирование и развитие УУД и действий с предметным содержанием, необходимых для решения учебно-познавательной задачи и достижения запланированных результатов

Организует ситуацию решения учебной задачи.

Итак, продолжим работу дальше.

5-е задание (слайд 6):

Выполните в тетрадях задание:

1 вариант:

Найти сумму:

4 + 2 + 0 + …. + (-12).

2 вариант:

Найти сумму первых пятнадцати четных натуральных чисел

Вопросы к учащимся:

- Как вы справились с этими заданиями?

- с какими трудностями вы столкнулись?

-какую цель мы можем поставить на уроке?

(цель урока на слайде 9)

- как бы вы сформулировали тему сегодняшнего урока?

Запишите тему урока в тетради: «Сумма n первых членов арифметической прогрессии».(слайд 10).

Вопрос:

-Какие элементы вам необходимо знать, чтобы вычислить каждую сумму?

Замените теперь в каждом примере значения первого и n-го слагаемых и количество слагаемых символами a₁; a_n; n и запишите в виде алгебраического выражения.

-Какое выражение у вас получилось?

Молодцы! Вы получили формулу суммы n-первых членов арифметической прогрессии!

А теперь попробуйте преобразовать полученную формулу, заменив a_n формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Итак, мы получили две формулы для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Делают предположения.

Представляют результат.

Определяют цель и способ деятельности через понимание задания.

Формулируют цель и тему урока.

5-е задание:

1 вариант:

Выполняют задание:

Т.к известен первый член, а₁= 4; n-ый член а_n =- 12,тогда из формулы n-го члена А.П. найдем количество слагаемых: n =9. Следовательно, сумма равна

(4 + (- 12))·4,5 = - 36.

Ответ: сумма равна -36.

2 вариант:

Решение:

т.к известно n, найдем a_n, т.е

a₁₅ = 2 + 2·14 = 30. Следовательно, сумма равна

(2 + 30)·7,5 = 240.

Ответ: 240.

- Если вычислять, складывая все слагаемые, это займет много времени.

- нам не известно количество слагаемых.

- нахождение общего способа вычисления суммы любого количества слагаемых, являющихся членами арифметической прогрессии.

- Сумма n первых членов арифметической прогрессии.

Ответы:

- Первый член арифметической прогрессии.;

- Количество слагаемых;

- n-ый член арифметической прогрессии..

Записывают выражение:

S = (a₁ + a_n) · n/2.

Записывают полученное выражение:

S = (a₁ + a₁ + d · (n – 1)) ·n/2 =

= (2a₁ + d · (n – 1) · n/2.

Познавательные:

Общеучебные- самостоятельно выделяют и формулируют цели.

Логические-осуществляют поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Коммуникативные-обмениваются мнениями, слушают друг друга, строят понятные речевые высказывания.

Оценка/самооценка умения применять ранее полученные знания при решении практических задач.

Фиксация имеющихся предметных учебных знаний (умений), известных способов деятельности.

Принимают и сохраняют учебную цель и задачу.

IV этап. Первичное усвоение новых знаний 8-10 мин.

Организация усвоения учащимися нового способа действий при решении задач с комментированием.

Организовывает работу учащихся.

Оценивает работу учащихся.

Задает вопросы учащимся.

Выполните упражнения № 603(а,б)

№ 603(а,б )Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии, если:

1. a₁ = 3; a₆₀ = 57

2. a₁ = - 10,5;

a₆₀ = 51,5

Найти сумму всех нечетных чисел от 1 до 133 включительно.

Перерабатывают, используют информацию для решения учебных задач.

Готовят ответы на поставленные вопросы.

Выполняют задание.

Познавательные:

Логические- осуществляют поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Личностные: понимают значение знаний для человека.

Оценка/самооценка умения применять ранее полученные знания при решении практических задач.

Развитие учебно-познавательной мотивации.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета. Составляют критерии оценивания.

V этап. Самостоятельная работа . Включение в систему знаний. 7-8 мин.

Организация самостоятельного выполнения учащимися заданий на новый способ действий.

Организация самопроверки учащимися своих решений по эталону; создание ситуации успеха для каждого ученика.

Организует самостоятельную работу учащихся по поиску ответов на вопросы.

Оценивает работу учащихся на уроке.

Выполните самостоятельно на выбор № 604 из учебника или задание на карточке.

Выполните взаимопроверку в парах.

№ 604

Найти сумму n первых членов арифметической прогрессии:

1. -23; -20 . . ., если n =8

Карточка № 2

(повышенный уровень)

Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трех ее членов равна нулю, а сумма первых четырех членов равна 1.

Карточка № 3 (КОЗ)

Представьте себе, что вы являетесь прорабами на стройке. Привезли и выгрузили большое количество труб. Вам нужно быстро определить количество труб, чтобы закрыть наряд водителю и отпустить его. Как вы это сделаете? Какое рационализаторское предложение вы внесете для выгрузки труб?

Готовят ответы на поставленные вопросы.

Выполняют самостоятельную работу.

Проводят самопроверку, взаимопроверку.

Сдают оценки учителю.

Карточка № 2

Решение:

Дано: S₃ = 0; S₄ = 1.

Найти: S₁₂

Решение:

Запишем сумму первых трех членов арифметической прогрессии в виде: a₁ + a₂ + a₃ = 0; b a₁ + a₂ +a₃ + a₄ = 1. Подставим во второе равенство вместо суммы первых трех слагаемых значение 0, получим a₄ = 1. Из формулы суммы 3-х первых членов арифметической прогрессии найдем a₁ = - d. Далее из формулы суммы 4-х первых членов А.П. найдем a₁ = - 0,5, тогда d = 0,5. Находим a₁₂ = 5 и далее по формуле суммы 12 первых членов А.П находим S₁₂ = 27.

Ответ: 27.

Карточка № 3 (КОЗ)

Решают задачу в малых группах, обсуждая.

Предлагают решения:

« Если выгрузить трубы, складывая рядами, так, чтобы следующий ряд содержал на одну трубу меньше, чем предыдущий, то можно вычислить количество труб, используя формулу вычисления суммы n первых членов арифметической прогрессии, с которой мы сегодня познакомились на уроке.»

Познавательные:

Логические- осуществляют поиск необходимой информации.

Регулятивные:

Ориентируются в учебнике.

Действуют с учетом выделенных учителем ориентиров, адекватно воспринимают оценку учителя.

Личностные: понимают значение знаний для человека.

Оценка.

Взаимооценка.

Развитие учебно-познавательной мотивации.

Способность анализировать и действовать с позиции содержания предмета.

VI этап. Рефлексия учебной деятельности (итог урока). 1-2 мин.

Формирование самоконтроля и самооценки собственной деятельности. 

Развитие рефлексивных умений

Проводит беседу по вопросам:

- Какую цель мы ставили на сегодняшний урок?

- Достигли мы поставленной цели?

- Оцените результат своей деятельности, подсчитав набранные баллы (лист достижений учащихся).

- Оцените свою деятельность по шкале перевода набранных баллов в 5-ти балльную систему.

- Закончите предложения: (Приложение № 3).

Комментирует домашнее задание.

Домашнее задание (на выбор)

№ 605, 607

Задание для желающих

КОЗ.(Карточка каждому ученику « Вы являетесь владельцем дачного участка и решили огородить бассейн фигурной стеной, пригласив строителей, начав объяснять: в нижний ряд укладывается 19 блоков, на них укладывается 17 блоков, затем 15 и т. д. , всего 18 рядов. Как побыстрее вычислить количество блоков в фигурной стене?»

У кого возникли вопросы по домашнему заданию?

Спасибо за урок!

Отвечают на вопросы.

Задают вопросы.

Оценивают достижение поставленных целей.

Сдают оценки учителю.

Заполняют лист рефлексии

Личностные: понимают значение знаний для человека

Имеют желание учиться.

Регулятивные:

Прогнозируют результаты уровня усвоения изучаемого материала

Оценка и самооценка работы учащихся на уроке

Рефлексия способности организовывать собственную деятельность