Предмет: математика
Дата: 06.12.2021-7.12.2021г
Группа: 1-1 ^м-авто^
Преподаватель: Касымова У.Ш.
Тема:Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке
По теореме Вейерштрасса непрерывная функция на замкнутом отрезке [a, b] достигает своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция может достичь на одном из концов отрезка или в середине отрезка. Поэтому задачу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a, b] решают так
1) Находят производную и, приравняв ее к нулю, находят критические точки первого рода.
2) Вычисляют значение функции во всех критических точках, принадлежащих промежутку [a, b], и значения функции на концах отрезка.
3) Среди этих значений выбирают наибольшее и наименьшее значения.
Замечание. Если внутри промежутка функция имеет только одну критическую точку и достигает в ней максимума, то он будет наибольшим значением, а если достигает в ней минимума, то он будет наименьшим значением.
Пример1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на промежутке [- 2; 1].
Решение. Находим производную Приравняв производную к нулю, находим критические точки первого рода
Поскольку точка не входит в данный промежуток, ее не берем в счет. Вычисляем значение функции:
Итак, наибольшее значение функции y = 10 в точке x =–1, а наименьшее значение y = -10 в точке x = 1.
Определение максимума Говорят, что функция f (х) имеет в точке максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .
Иначе: функция f (х) имеет максимум при , если
для любых Ах — как положительных, так и отрицательных, но достаточно малых по абсолютной величине.
Определение минимума
Говорят, что функция f (х) имеет в точке минимум, если значение функции в этой точке меньше, чем ее значения во всех точках, достаточно близких к .
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:
Иначе: функция f (х) имеет минимум при х = , если
для любых как положительных, так и отрицательных , достаточно малых по абсолютной величине.
• Если в некоторой точке функция имеет максимум или минимум, то говорят, что в этой точке имеет место экстремум, а значение функции в этой точке называется экстремальным.
Для исследования функции на экстремум по первой производной
Правило для исследования функции на экстремум по второй производной (второй способ)
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
Если функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то на этом отрезке всегда имеются точки, в которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Этих значений функция достигает или в критических точках, или на концах отрезка [а, Ь]. Поэтому, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо: 1) определить критическое точки функции; 2) вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка [а, Ь\; 3) наибольшее из значений, найденных в п. 2, будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением функции на отрезке .
Пример2
Найти экстремум функции , а также определить ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке .
Решение:
Проведем решение сначала по первому правилу, а потом по второму. Областью существования функции является весь бесконечный интервал .
1. Находим, что 2. Решаем уравнение т. е. уравнение
Разлагаем левую часть уравнения на множители:
откуда Производная конечна при любом х (говорят в этом случае, что производная конечна всюду). Поэтому критическими точками будут только найденные из (32,2). 3. Располагаем критические точки в порядке возрастания абсцисс: —1; 0; 3.
Пример3: а также наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [—5,2].
Решение:
Уравнение имеет корни:
Эги корни могут быть легко найдены на основании следствия теоремы Безу, известной из алгебры. Можно также уравнение представить в виде а тогда его левая часть равна
Ответ. При х = —4 минимум;
максимум; при х = 3 —минимум; ; на отрезке [—5,2]: т. e. функция достигает наибольшего значения в критической точке х = 2, которая является правым концом отрезка, а наименьшего значения — в критической точке х = —4 внутри рассматриваемого отрезка (в этой точке функция достигает также и минимума).
Задача 32,4
(для самостоятельного решения). Найти сначала по первому правилу, а потом по второму экстремум функции
Исследовать на экстремум функцию а также найти ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке [—3,1|.
Пример4:Исследовать на экстремум по второму правилу функцию Начертить эскиз графика функции.
Пример5:
uma.kasymova@mail.ru
Указать дату, Ф.И.О и группу
Предмет: математика
Дата: 08.12.2021-09.12.2021г
Группа: 1-1 ^м-авто^
Преподаватель: Касымова У.Ш.
Тема: уравнение касательной к графику функции
1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую y=f(x).
Выберем на ней точку A с координатами (x0,y0), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке x0:k=f′(x0)Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: (yB−yA)=k(xB−xA).
Для A(x0,y0), B(x,y) получаем:(y−y0)=k(x−x0)y=k(x−x0)+y0y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)
Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке x0 имеет вид:y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)при условии, что производная f′(x0)=a≠∞ - существует и конечна.
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде y=kx+b, нужно раскрыть скобки и привести подобные:y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)=f′(x0)⏟=kx+f(x0)−f′(x0)⋅x0⏟=b
Уравнение касательной с угловым коэффициентом:y=kx+bk=f′(x0), b=f(x0)−f′(x0)⋅x0
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой y=f(x), абсцисса точки касания x0.
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания f(x0)
Шаг 2. Найти общее уравнение производной f′(x)
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания f′(x0)
Шаг 4. Записать уравнение касательной y=f′(x0)(x−x0)+f(x0), привести его к виду y=kx+b
На выходе: уравнение касательной в виде y=kx+b
Например:
| Пусть f(x)=x2+3. Найдем касательную к этой параболе в точке x0=1. f(x0)=12+3=4 f′(x)=2x f′(x0)=2⋅1=2 Уравнение касательной:y=2(x−1)+4=2x−2+4=2x+2Ответ: y=2x+2 |
Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
| Общее уравнение касательной: f′(x)=4x+4 По условию f′(x0)=tgα=tg45∘=1 Решаем уравнение:4x0+4=1⇒4x0=−3⇒x0=−34Точка касания x0=−34f(x0)=2⋅(−34)2+4⋅(−34)=98−3=−158Уравнение касательной:y=1⋅(x+34)−158=x−98 |
Найдем угловой коэффициент заданной прямой: y=−2x+6⇒k=−2.
Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже k=−2. Получаем уравнение:f′(x0)=−24x0+4=−2⇒4x0=−6⇒x0=−32Точка касания x0=−32f(x0)=2⋅(−32)2+4⋅(−32)==92−6=−32Уравнение касательной:y=−2⋅(x+32)−32=−2x−92Или, в каноническом виде:2x+y+92=0
Составить уравнение касательной к графику функции в точке x0=1.
Напишите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой y=3x-6.
В каких точках касательные к графику функции ? Параллельны оси абсцисс?
uma.kasymova@mail.ru Указать дату, Ф.И.О и группу