Магические квадраты

Магический квадрат

Магический, или волшебный квадрат — это квадратная таблица, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Минимальный размер магического квадрата - 3x3. Задачи на магический квадрат часто встречаются на математических олимпиадах для 4 -6 классов.

Магическая константа M - сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях. Для квадрата любой размерности n∙n минимальная магическая константа вычисляется по следующей формуле:

M = n(n² + 1)/2

I. Магический квадрат 3x3

Для квадрата размера 3x3 минимально возможная магическая константа будет равна: 3(3² + 1)/2 = 3(9 + 1)/2 = 15 Подчеркнём, что 15 - это не единственно возможная магическая константа для квадрата 3x3, а константа, меньше которой других констант для этого квадрата быть не может. Важное правило, которое вам пригодится при построении магического квадрата 3x3:

Число в центре квадрата 3x3 всегда в три раза меньше магической константы.

То есть, если у нас магическая константа M = 15, то в центре квадрата 3x3 будет стоять 15:3 = 5. Для дальнейшего составления магического квадрата с магической константой M=15 расставьте по углам чётные числа 2,4,8,6. Как видим, по сумма чисел на диагоналях квадрата равна 15, то есть магической константе.

Зная магическую константу и по два числа в ряду и столбце, мы можем вписать третье число в ряд и столбец. Определить это число очень просто - надо из магической константы вычесть два числа из ряда или столбца. Применив этот метод, мы получим полностью заполненный магический квадрат: Ещё одно важное правило построения магических квадратов:

Если у нас есть один магический квадрат, и мы все числа этого квадрата увеличим на одно и то же число или умножим на одно и то же число, то у нас опять получится квадрат. Это правило достаточно очевидно.

Пример 1. К числам в нашем магическом квадрате с M=15 прибавим 3 и 5 Как видим, у первого квадрата сумма чисел по вертикали, горизонтали и диагонали одинакова и составляет 24 (это и есть его магическая константа), а у второго квадрата магическая константа равна 30. У этих двух квадратов число в центре по прежнему в три раза меньше, чем магическая константа (8 у первого квадрата и 10 у второго). Пример 2. Числа нашего магического квадрата с M=15 умножим на 2 и на 3 Как видим, в первом случае, после умножения чисел на два, мы получили квадрат с магической константой 30 - та же самая константа, что и после того, как в первом примере мы увеличили все числа на 5. Но при этом, несмотря на то, что у этих двух магических квадратах одинаковые магические константы, числа при этом в клетках разные - а вот число в центральном квадрате одно и то же - это 10. Так и должно быть, ведь, как было сказано выше, в магическом квадрате 3x3 число в центральной клетке должно быть в три раза меньше магической константы. Т.к. магическая константа у обеих магических квадратов одинаковая, то и центральное число одно и то же. Задача 1. Постройте магический квадрат с магической константой 39. Зная магическую константу, мы легко найдём число, которое должно быть в центральной клетке - нужно магическую константу разделить на 3. 39:3 = 13. Далее можно или подбирать числа (помня о том, что сумма чисел по диагонали, по горизонтали и по вертикали должна быть равна магической константе) или, для ускорения процесса, воспользоваться знанием чисел магического квадрата с минимальной магической константой M = 15.

Напомним этот квадрат: В центре этого квадрата - число 5. В центре того квадрата, который мы должны построить - число 13. Разница между этими числами составляет 8. И, как следует из правила, которое мы написали выше, если все числа одного магического квадрата увеличить на одно и то же число, то получится другой магический квадрат. Достаточно запомнить, что в центре минимального магического квадрата - 5, а по углам - чётные числа 2, 4, 6, 8. Таким образом, нам надо увеличить эти числа на 8. Далее будет легко заполнить оставшиеся клетки (числа в них вычисляются как магическая константа минус числа в ряду или столбце). В итоге получится вот такой квадрат: Задача 2. Достройте магический квадрат В этом квадрате мы знаем число в центральной клетке (9), а, значит, мы знаем магическую константу, которая в 3 раза больше и равна 27. Ну а зная магическую константу и три первоначальных числа, вписать оставшиеся числа в клетки не составит труда. Решение:

II. Магический квадрат 4x4 Мы не будем подробно останавливаться на магических квадратах 4x4 - они почти не встречаются на математических олимпиадах и вступительных экзаменах в физматшколы, но общее представление о них дадим. Минимально возможная магическая константа вычисляется всё по той же формуле:

M = n(n² + 1)/2

M = 4(4² + 1)/2 = 34. У квадрата 4x4 обе стороны чётные, а это значит, что центральной клетки, в отличие от квадрата 3x3, у него нет, и нет соответствующей закономерности, с ним связанной. Однако, у этого квадрата есть другие закономерности: Помимо того, что у магического квадрата 4x4 равна сумма числе по диагонали, вертикали и горизонтали, у него сумма чисел в угловых квадратах 2x2 равна магической константе M, сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна M, и сумма чисел в углах квадрата тоже равна M. Сумма чисел в левом верхнем квадрате 2x2: 16+3+5+10 = 34. В трёх других угловых квадратах 2x2 сумма также равна магической константе, о чём и сказано выше. Сумма чисел в центральном квадрате 2x2 также равна магической константе 34: 10+11+6+7 = 34.

Сумма чисел в углах магического квадрата тоже равна магической константе: 16+13+4+1 = 34