«Четырехугольники» 8 класс. Типичные ошибки. Методики объяснения.

Введение

В современной школе в связи с появлением новых учебников, новых подходов к изложению материала, возрастает интерес как к математическому образованию в целом, так и к вопросам преподавания математики, в частности геометрии.

Изучение четырехугольников в курсе геометрии основной школы является разделом традиционным и достаточно важным во всех периодах школьного образования. В курсе геометрии 7-9-х классов данная тема является весьма актуальной, так как на рассмотренном материале, как на фундаменте, строят и изучают другие разделы геометрии: преобразование фигур, площади, многоугольники. Кроме того, изучение многогранников, площадей и объемов также базируется на этой теме.

Между тем при изучении темы «Четырехугольники» возникают определенные трудности:

• при решении задач на построение;
• при применении определений, свойств и признаков четырехугольников к решению практических задач, к доказательству теорем и т. п.

Соответственно возникает необходимость в поиске наиболее эффективных форм и методов работы с теоретическим и задачным материалом по данной теме.

Цель исследования: разработать методику введения темы «Четырехугольники» на материале геометрии восьмого класса, осуществить подбор практических заданий для закрепления основных умений, связанных с данной темой школьного курса.

Материалы и методы исследования

Содержание данного раздела «Четырехугольники» можно условно поделить на три крупных смысловых пункта:

1) введение понятия «четырехугольник», выпуклые и невыпуклые многоугольники;

2) изучение видов четырехугольников;

3) систематизация и значение темы «четырехугольники».

Дадим характеристику каждому пункту:

1. Введение понятия «четырехугольник», выпуклые и невыпуклые многоугольники. Тема «Четырехугольники» по содержанию достаточно простая. Однако сложность для обучающихся представляет большое количество новых понятий, свойств и признаков различных видов четырехугольников. Для устранения путаницы между свойствами и признаками отдельных видов четырехугольников, помимо стандартной систематизации и обобщения знаний перед школьниками, необходимо раскрыть сущность понятий «свойство» и «признак», дать их структуру. Можно предложить следующие задания.

[Cлайд 3]

Задание 1. Что такое свойство? Назовите правила его построения.

Свойство – высказывание, которое содержит в себе необходимое условие принадлежности объекта к данному виду.

«Если объект является ______________, то___________».

Например, если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали пересекаются в одной точке.

Задание 2. Что такое признак? Назовите правила его построения.

Признак – утверждение, содержащее в себе достаточное условие, по которому можно отнести объект в данному виду.

«Если ___________________, то объект является_____________».

Например, если у четырехугольника диагонали пересекаются в одной точке, то этот четырехугольник параллелограмм).

Тема «четырехугольник» является традиционной для школьного курса геометрии (8 класс), однако в разных учебниках пособиях можно встретить как разную последовательность изучения элементов темы, так и трактовку самого понятия «четырехугольник». Так, в учебнике по геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна и в учебнике А.В. Погорелова четырехугольник вводится как каркас фигуры. Например, «четырехугольник – фигура, состоящая их четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три точки не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».

В других учебниках, под четырехугольником понимается часть плоскости, ограниченная замкнутой линией из четырех звеньев, вместе с границей.

Понятие «выпуклый многоугольник» Л.С. Атанасян вводит в теме «Четырехугольник», а А.В. Погарелов в теме «Многоугольники» (9 класс). Определение четырехугольника в учебнике А.В. Погорелова уже содержит в себе условие выпуклости. Объяснение материала о выпуклых многоугольниках можно начать с задания.

[Слайд 4]

Задание 3. Изобразите выпуклый и невыпуклый многоугольник (рис. 1).

Рис. 1. Выпуклый и невыпуклый многоугольники

Обучающиеся сравнивают рисунки и подходят к характеристическому свойству:

1) выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от любой прямой, содержащей сторону ;

2) две любые внутренние точки многоугольника соединяются отрезком, внутри этого многоугольника.

После изучения понятия многоугольника, его сторон, вершин, диагоналей; внутренней и внешней областей, определения выпуклого многоугольника, ученикам можно предложить выполнить следующие задания.

[Слайд 5]

Задание 4. Среди фигур, изображенных на рисунке, укажите те, которые являются:

а) многоугольниками,

б) выпуклыми многоугольниками,

в) невыпуклыми многоугольниками.

Рис. 2. Многоугольники

[Слайд 6]

Начертите:

1 вариант – выпуклый пятиугольник ABCDE.

2 вариант – выпуклый шестиугольник.

Запишите в тетрадях:

а) вершины многоугольника,

б) стороны многоугольника,

в) диагонали многоугольника,

г) вычислите сумму углов многоугольника.

Чему равна сумма углов десятиугольника (работа в группах)?

Чему равна сумма углов n-угольника (работа в группах)?

Логика изложения материала данной темы в разных учебниках может быть разной. В общем случае с позиции выстраивания единой линии можно начать изучение материала с рассмотрения понятия многоугольник, далее осуществить переход к понятиям выпуклого и невыпуклого многоугольников, затем обратиться к четырехугольнику как к одному из видов многоугольников. Далее, изучаются конкретные виды четырехугольников в следующей последовательности: параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат.

2. Изучение видов четырехугольников. Изучение четырехугольников следует начать с актуализации опыта школьников (обучающиеся уже знают прямоугольник и квадрат). Доказательства большинства теорем данного раздела проводятся с опорой на признаки равенства треугольников, которые используются при решении задач в совокупности с применением новых теоретических фактов. Учитель должен требовать, чтобы в каждом определении ученик указывал род и видовой признак, тем самым добиваясь ясного понимания соподчинения понятий.

Перед уроком, посвященным изучению темы «Параллелограмм», обучающимся можно предложить следующую задачу в качестве домашнего задания (табл. 1).

Таблица 1

[Слайд 7]

Задание 6

Таблица 2

Свойства и признаки параллелограмма

Работая с такими заданиями, ученики в сотрудничестве с учителем получают необходимые факты, учитель подводит итоги обсуждения полученных результатов и делает обобщения. Такой подход позволяет опираться на субъектный опыт ученика при изучении геометрии.

[Слайд 8]

Понятие параллелограмма вводится индуктивным путем. При отработке свойств и признаков параллелограмма необходимо дать ученикам полный их перечень. Можно предложить следующую таблицу (табл. 2).

Введение понятия «ромб» и определения ромба идет также индуктивным путем.

[Слайд 9,10,11]

Сначала при изображении ромба диагонали не прорисовываются. Идет отработка понятия посредством видоизменения положения ромба. После этого ученикам дается способ построения ромба. Далее учитель дает следующее замечание: «Поскольку ромб – параллелограмм, то его свойства переходят ромбу». Можно предложить ученикам записать эти свойства самостоятельно дома. Затем изучается свойство ромба: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Признаки выводятся и доказываются аналогично. Специально следует остановиться на признаке: «Если у четырехугольника стороны равны, то он является ромбом», так как он не отмечен в учебнике как признак.

Для того чтобы подвести учеников к тому, что определение ромба в учебнике дано некорректно, ученикам предлагается задача: Дан параллелограмм, у которого две смежные стороны равны. Доказать, что это ромб». После этого возвращаются к определению, и выясняется, что достаточно потребовать равенства двух смежных сторон. При решении задач необходимо следить за четкой аргументацией со ссылками на соответствующие свойства и признаки.

[Слайд 12,13]

Работа по изучению прямоугольника и квадрата выстраивается аналогично методике, предложенной в изучении ромба. В учебнике квадрат определяется через прямоугольник, а при помощи задачи выясняется что, квадрат – частный случай ромба[Слайд 14]. Выясняется, что к квадрату подходят все свойства ромба и прямоугольника.

[Слайд 15]

В 8-м классе трапеция изучается поверхностно, так как еще не изучена тема «Подобие». Поэтому при изучении трапеции доказывается только одно свойство: сумма углов, прилежащих к одной стороне трапеции, равна 180⁰. Еще два свойства трапеции не прописаны в параграфе, а даются в задачах.( [Слайд 16])

После изучения темы «Подобие» следует вернуться к теме «Трапеция» и доказать некоторые ее свойства. В сильных классах доказывается теорема: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей и точку пересечения боковых сторон, делит основание пополам.

3. Систематизация и значение темы «четырехугольники». Совместно с учащимися при изучении темы следует провести классификацию четырехугольников, показав, что в зависимости от оснований классификации возможны различные определения квадрата – как ромба с прямыми углами или как прямоугольника с равными сторонами. Обязательно следует обратить внимание школьников на избыточность определений частных видов параллелограмма и уточнить эти определения. Целесообразно показать, что на основании признаков могут быть сформулированы иные определения фигур, например параллелограмма как выпуклого четырехугольника, у которого равны противоположные стороны.

Таблица 3

Обобщение и систематизация темы «Четырехугольники»

Систематизация знаний осуществляется внутри каждого пункта. В конце темы можно провести работу по обобщению и систематизации всей темы. Можно построить таблицу (табл. 3). [Слайд 17]

Результаты исследования и их обсуждение

В МОБУ «Лицей № 15» была проведена экспериментальная проба по изучению темы «Четырехугольники» в аспекте рассмотренной методики. С обучающимися было проведено 15 уроков по геометрии, работа велась по учебнику геометрии под редакцией Л.С. Атанасяна. В классе обучается 27 человек. За тематическую контрольную работу по теме «Четырехугольники» (писали работу 16 человек) 2 обучающихся получили оценку «отлично», 4 обучающихся – «хорошо», 6 обучающихся – «удовлетворительно», 4 обучающихся – «неудовлетворительно». Оценки, полученные обучающимися за контрольную работу, оказались выше, чем усредненные оценки общей успеваемости каждого обучающегося в отдельности.

Выводы

Методика, представленная в данной статье, эффективна для формирования умений, связанных с решением четырехугольников. Особое значение при обучению содержанию, связанному с четырехугольниками, нужно уделить понятиям признака и свойства, а также приемам обобщения и систематизации.

Библиографическая ссылка

Безусова Т.А. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ И ИХ СВОЙСТВ И ПРИЗНАКОВ // Международный журнал экспериментального образования. – 2019. – № 3. – С. 22-26; Л.С. Атанасян «Геометрия 7-9».