Презентация к занятию "Геометрические преобразования пространства"

Геометрические преобразования в пространстве

Выполнил: Данилова С.В.

Основные свойства движения в пространстве

• Прямые переходят в прямые
• Полупрямые переходят в полупрямые
• Отрезки переходят в отрезки
• Сохраняются углы между полупрямыми
• Движение переводит плоскости в плоскости

Две фигуры называются равными , если они совмещаются движением

Геометрические преобразования в пространстве.

Симметрия

Поворот

Движение

Подобие

Параллельный перенос

Центральная симметрия- отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную точку М ₁ относительного данного центра О.

Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Центром симметрии окружности является центр окружности , а центром симметрии параллелограмма точка пересечения его диагоналей.

Построим точку A 0 , симметричную данной точке относительно точки O .

Центральная симметрия

z

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

− a

− b

b

0

a

1

y

1

A 0

x

− c

Координаты точки A 0 ( − a ; − b ;− c ).

Осевая симметрия с осью а называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно оси а.

Фигура называется симметричной относительно прямой а , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

У неразвёрнутого угла одна ось симметрии - прямая , на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии , а равносторонний треугольник - три основные симметрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами имеют по две оси симметрии ,

а квадрат - четыре оси симметрии.

У окружности их бесконечно много - любая прямая, проходящая через её центр , является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник.

Осевая симметрия

z

Построим точку A 1 , симметричную данной точке относительно оси Ox .

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

− b

b

0

a

1

y

1

x

− c

A 1

Координаты точки A 1 ( a ; − b ; − c ).

Осевая симметрия

z

Построим точку A 2 , симметричную данной точке относительно оси Oy .

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

− a

b

0

a

1

y

1

x

− c

A 2

Координаты точки A 2 (− a ; b ; − c ).

Осевая симметрия

Построим точку A 3 , симметричную данной точке относительно оси Oz .

z

A 3

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

− a

− b

b

0

a

1

y

1

x

Координаты точки A 3 (− a ; − b ; c ).

Зеркальная симметрия - называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей

относительно плоскости α точку М ₁.

Зеркальная симметрия

z

Построим точку A 4 , симметричную данной точке относительно плоскости Oxy .

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

1

b

1

0

a

y

x

− c

A 4

Координаты точки A 4 ( a ; b ; − c ).

Зеркальная симметрия

z

Построим точку A 5 , симметричную данной точке относительно плоскости Oxz .

c

A 5

A

Пусть A ( a ; b ; c )

1

− b

b

1

0

1

y

a

x

Координаты точки A 5 ( a ; − b ; c)

Зеркальная симметрия

Построим точку A 6 , симметричную данной точке относительно плоскости Oyz .

z

A 6

c

Пусть A ( a ; b ; c )

A

1

− a

1

1

0

a

b

y

x

Координаты точки A 6 (− a ; b ; c ).

Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии играет ро о Отражение в воде – хороший пример зеркальной симметрии в природе.

Мы любуемся пейзажами художников, удачными снимками. Горы красиво отражаются на поверхности озера, придавая снимку законченность. Поверхность озера играет роль зеркала, и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии...

с геометрической точностью. Поверхность

снимку законченность. Поверхность озера

Примерами зеркальных отражений одна другой могут служить рука человека .

Игра с зеркалом

Возьмем зеркало, поставим его вертикально так , чтобы линия пересечения плоскости зеркала с плоскостью листа, на котором написано два слова «ЧАЙ» и «КОФЕ» делила эти слова по горизонтали . Какое слово изменится и почему?

Зеркало не подействовало на слово « КОФЕ» , тогда как слово «ЧАЙ» оно изменило до неузнаваемости . Этот фокус имеет простое объяснение . Разумеется , зеркало одинаковым образом отражает нижнюю половину обеих слов . Однако в отличии от слова « ЧАЙ» слово

«КОФЕ» обладает горизонтальной осью симметрии , именно поэтому оно не искажается при отражении в зеркале .

Параллельный перенос на вектор называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М ₁, что

Параллельный перенос в пространстве

Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка ( x; y; z ) фигуры переходит в точку ( x + a; y + b; z + c ), где числа a, b, с одни и те же для всех точек ( x; y; z ). 

Параллельный перенос в пространстве обладает следующими свойствами :

1. Параллельный перенос есть движение. 

2. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние. 

3. При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. 

4. Каковы бы ни были точки A и A', существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A'. 

5. При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость.

Поворот около данной точки называется такое движение при котором каждый луч, исходящий из этой точки, поворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении

Подобие пространственных фигур

Центральным подобием с центром О и коэффициентом к≠0 называется отображение пространства на себя, при котором каждая точка М переходит в такую точку М ₁, что

Две тела называются подобными , если существует такое преобразование подобия, при котором одно из них переходит в другое

Определение

• Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия , Если при этом преобразовании расстояние между точками изменяется в одно и то же число раз . т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', У фигуры F', в которые они переходят, X'Y' = k * XY.
• Две фигуры называются подобными , если они переводятся одна в другую преобразованием подобия.

Простейшим преобразованием подобия в пространстве является

Симметрия вокруг нас

Многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве; архитектуре; технике; быту. Так, фасады многих зданий обладают осевой симметрией. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоях.

Симметрия переноса

Симметрия. Орнамент

Многогранник. Зеркально-осевая симметрия.

Куб. Симметрия третьего порядка.

Кувшин. Плоская

симметричная фигура

Звезда. Симметрия

восьмого порядка

Крапива. Винтовая

симметрия

Зеркальная симметрия в природе

Симметрия в архитектуре

Симметрия в искусстве

Симметрия в технике

Симметрия в природе

Спасибо за внимание