Памятка "Основные виды уравнений, приёмы их решения и примеры"

Определить вид уравнения

Целое

Дробное рациональное

Иррациональное

Линейное

Квадратное

Целое, 3 степени и выше

Неполное

Полное

Биквадратное

Другое

1. Раскрыть скобки

2. Перенести слагаемые с переменной в одну часть, без переменной - в другую часть, меняя при переносе знак на противоположный и привести подобные слагаемые.

3. Найти корень уравнения.

Вида ax²+bx = 0

• Вынести за скобки x;

• Приравнять каждый из множителей к нулю;

• Решить получившиеся уравнения;

• Записать ответ

Вида ax²+c = 0

• Перенести число в правую часть уравнения, сменив перед ним знак;

• Выразить x², разделив обе части уравнения на коэффициент при a;

• Найти х, извлекая корень из правой части уравнения.
  Не забудь поставить пред х знаки _{ }!

1. Привести квадратное уравнение к стандартному виду: ax²+bx+c = 0

2. Найти дискриминант по формуле
   D = b²-4ac

3. Если D то корней нет
   Если D = 0, то один корень
   
   Если D 0, то два корня
   

Имеет вид:
ax⁴+bx²+c = 0

• Заменить x²какой-нибудь новой переменной.

• Решить получившееся уравнение, найдя при этом значение новой переменной.

• Сделать обратную замену.

• Решить получившиеся уравнения.

Способы:

• Разложить левую часть уравнения на множители.

• Использовать введение новой переменной

1. Перенести все слагаемые в левую часть.

2. Выполнить действия в левой части уравнения, получив при этом алгебраическую дробь.

3. Приравнять числитель этой дроби к нулю.

4. Решить получившееся уравнение.

5. Сделать проверку, подставив эти корни в знаменатель.
   Если знаменатель при подстановке найденного корня обращается в нуль, то этот корень посторонний, в ответе его не указываем.
   Если знаменатель в нуль не обращается, то этот корень является решением данного уравнения.

Имеет вид:

1. Возведём обе части этого уравнения в квадрат.

2. Решить получившееся уравнение.

3. Обязательно сделать проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Определить вид уравнения

Целое

Дробное рациональное

Иррациональное

Линейное

Квадратное

Целое, 3 степени и выше

Неполное

Полное

Биквадратное

Другое

А) 3х + 2 =11

3х = 11 – 2

3х = 9

х = 9 : 3.

х = 3

Ответ: х = 3.

Б) 5(х – 3) + 2 = 3 (х – 4) + 2х ‒ 1

5х – 15 + 2 = 3х – 12 + 2х ‒ 1

5х – 3х ‒ 2х =  – 12  ‒ 1 + 15 ‒ 2.

0х = 0.

Ответ: х -  любое число.

В) х + 8 = х + 5.

х – х = 5 ‒ 8.

0х = ‒ 3.

Ответ: нет решений.

А) a² - 12a = 0.

Б) 24 = 2y².

В) 7x² = x.

1. 3х² – 7х +4=0

2. 5х² – 8х +3=0

3. 3х² – 13х +14=0

4. 2у² – 9у +10=0

5. 5у² – 6у +1=0

6. 4х² +х – 33=0

7. у² – 10у – 24=0

8. р² + р – 90=0

9. 14х² – 5х – 1=0

x⁴ - 10x² + 9 = 0.

Заменяем  x²  на  y

y² - 10y + 9 = 0.

D = b² - 4ac = (-10)² - 4 · 1 · 9 = 100 - 36 = 64,  D  0.

y₁ = (10 + 8) : 2 = 9,

y₂ = (10 - 8) : 2 = 1.

x² = 9    и    x² = 1.

1) x² = 9;   x₁ = 3,   x₂ = -3;

2) x² = 1;   x₃ = 1,   x₄ = -1.

Ответ:  3,  -3,  1,  -1.

х³ – 5 х² + 8 х – 4 = 0

х³ – 2 х² –3 х² + 8х – 4 = 0

х² (х – 2) – (3 х² – 8х + 4) = 0

3 х² – 8х + 4 = 0

х = 2 х = 2/3

х² (х – 2) – (3 (х –2) (х – 2/3)) = 0

х² (х – 2) – ((х – 2) (3х – 2)) = 0

(х – 2)(х² – 3х + 2) = 0

х – 2 = 0 х² – 3х + 2 = 0

Ответ:

х = 2 х = 2 х = 1

(2) 

: 

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15.