Занятие математического кружка «Построение графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля»

3.

Построение графиков вида y=|f(|x|)|

Построение: н а основании геометрических преобразований:

1. Строим график функции у=х–2.

2.График функции у=|х|–2, получаем из графика функции у=х–2 отображением симметрично при х≥0 относительно оси Оу.

3. График функции у=||х|-2| получаем из графика функции у=|х|–2 отображением симметрично оси Ох нижней части графика.

у=||х|-2|

0 а) х 0 = ; у 0 = 6,25 -12,5 =-6,25 (2,5; -6,25) – координаты вершины б) Координаты точки пересечения с осью Оy: х=0; у=0; (0; 0), координаты точек пересечения с осью Оx: у=0; х 2 – 5 х =0 (0; 0) и ( 5; 0) " width="640"

у=|х 2 –5|х| |

Решение: а) Строю график функции

у=х 2 –5х для х≥0

Квадратичная функция, графиком является парабола, ветви направлены вверх, т.к. а=1, а0

а) х 0 = ;

у 0 = 6,25 -12,5 =-6,25

(2,5; -6,25) – координаты вершины

б) Координаты точки пересечения с осью Оy: х=0; у=0; (0; 0), координаты точек пересечения с осью Оx: у=0;

х 2 – 5 х =0 (0; 0) и ( 5; 0)

у=|2|х|-3|

Решение: 1) Строю у=2х-3, для х≥0. (1; -1) ( ; 0)

2) Строю прямую, симметричную построенной относительно оси Оy.

3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси Оx.

Для построения графика функции y=|f(|x|)| предлагается следующий алгоритм построения:

1. Построить график функции y=f(x) для x≥0.

2. Отразить построенную часть графика симметрично относительно оси ординат.

3.Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

4.

Построение графиков вида |y|=f(x)

Решение: на основании определения модуля получим

|y|=

Т.е строим графики у=2х-2,при х ≥1, у=-2х+2,при х

|у|=2х–2

2x-2, если 2x-2≥0,

-2x+2, если 2x-2 ˂0

|у|=1–х

Построение: На основании геометрических преобразований

Строим график функции у=1-х. Часть графика находящаяся выше оси Ох сохраняем и отражаем симметрично

относительно этой оси.

|у|=х 2 -2х-3

Построение: По определению модуля строим графики:

1) у=х 2 -2х-3, если х≤-1 и х≥3 преобразуем выражение

х 2 -2х-3=(х-1) 2 -4, построим параболу у=(х-1) 2 -4, путем сдвига

2) у=-х 2 +2х+3,если преобразуем выражение –х 2 +2х+3=-(х-1) 2 +4, построим параболу

у=-(х-1) 2 +4

|у|=-х 2 +4

Построение: На основании геометрических преобразований

у = -х 2 +4 ≥ 0, если -2≤х≤2

Исходя из этого алгоритма, сформулировано правило:

Для построения графика зависимости |у|=f(х) достаточно построить график функции у=f(х) для тех х из области определения, при которых f(х)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично оси абсцисс.

0, симметрично отобразить относительно оси Ох. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох. " width="640"

5.

Построение графиков вида |y|=|f(x)|

Решение (2 способ): 1. Строим график функции у=1–х.

2. График у = |1-х| получаем из графика функции у = 1 – х, симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью Ох, относительно оси Ох.

3. График |у| = |1-х| получаем из графика у = |1-х|, отобразив последний симметрично оси Ох.

|у|=|1-х|

Используя уже известные нам преобразования графиков можно сделать вывод, чтоб построить график |у| = | f (х) | нужно:

Построить график функции у=f(х). Часть графика f(х)0, симметрично отобразить относительно оси Ох. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

3.Решение уравнений с помощью графиков функций, содержащих модуль.

Пример 1.

Задача: Решить уравнение |х–1|+2х–5=0

Решение: Решим уравнение графически.

Представим уравнение в виде |х–1|=-2х+5 .

Строим графики функций у=|х–1| и у=-2х+5

Графики функций у=|х–1| и у=-2х+5 пересекаются в точке с х=2, т.е. х = 2 – корень исходного уравнения.

у=|х–1|

Ответ: х = 2

у=-2х+5

Пример 2.

Задача: Решить уравнение |х+2|=|х–2|

Решение: Решим уравнение графически.

Строим графики функций у=|х+2| и у=|х–2|

Графики функций у=|х+2| и у=|х–2| пересекаются в точке с х = 0, т.е. х = 0 – корень исходного уравнения.

у=|х+2|

у=|х–2|

Ответ: х = 0

Пример 3.

Задача: Решить уравнение |4–x|+|(x–1)(x – 3)|=1.

Решение: Строим графики функций у=1-|4-х | и у=|(x–1)(x – 3)|, т.е у = |х 2 –4х +3 |, у=|(х-2) 2 -1|,

Графики функций у=1-|4-х | и у=|(x–1)(x–3)|| пересекаются в точке с х = 3, т.е. х = 3 – корень исходного уравнения.

у=|(x–1)(x – 3)|

у=1-|4-х |

Ответ: х = 3

3, то уравнение имеет два корня у=а, а3 у=а, а=3 у=а, 0 у=а, а=0 у=а, а " width="640"

Пример 4.

Задача: Выяснить сколько корней имеет уравнение:

||х|-3|= а, в зависимости от параметра а.

Решение: Для решения уравнения построим графики функций у = | | х | -3 | и у = а. График функции у = | | х | - 3 | получим из графика функции у =| х |, путем сдвига вдоль оси ординат на 3 единицы вниз. Часть графика расположенную ниже оси оу симметрично отражаем относительно оси ее . Графиком функции у = а является семейство прямых, параллельных Oх .

Ответ: : если а

если а = 0 , то уравнение имеет два корня

если 0

если а=3, то уравнение имеет три корня

если а3, то уравнение имеет два корня

у=а, а3

у=а, а=3

у=а, 0

у=а, а=0

у=а, а

3, то уравнение имеет два корня у=а, а у=а, а у=а, а=3 у=а, а=1 у=а, 0 у=а, а=0 у=а, а " width="640"

Пример 5.

Задача: Выяснить сколько корней имеет уравнение

х²-4|х|+3│= а в зависимости от параметра а

Решение: │х² -4|х|+3= а

Для решения уравнения построим графики функций у=││х²-4 |х|+3│и у = а.

График функции у=а представляет собой семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Ответ: если а

если а=0 , то уравнение имеет четыре корня

если 0

если а=1, то уравнение имеет шесть корня

если 1

если а=3, то уравнение имеет три корня

если а3, то уравнение имеет два корня

у=а, а

у=а, а

у=а, а=3

у=а, а=1

у=а, 0

у=а, а=0

у=а, а

4. Построение рисунков

с помощью графиков

функций, содержащих

модуль

С помощью графиков функций я смогла построить рисунки:

y=- x 2 +4 при -4 ˂ x ˂ 4

y= x 2 -4 при -4 ˂ x ˂ 4

y=-x+4 при 4 ˂ x ˂ 7

y=x+4 при -5 ˂ x ˂ -4

y=-x-4 при -5 ˂ x

y=x-4 при 4

y=|-(x+1) 2 +1| при -2

y=-|(-x-1) 2- 1| при -2

y=- x 2 +6 при 4≤x≤7

x=0 при 3≤y≤6

y=1,5x 2 +9|х|-3,5 при 4≤x≤7

y=- x 2 +12 при 4≤x≤7

y=- (x+8) 2 +6 при 4≤x≤7

y=- (x-8) 2 +6 при 4≤x≤7

5. заключение

Выполняя данную работу, мне хотелось повысить свой математический уровень, и я думаю, мне это удалось.

Построение графиков функций, содержащих модуль, корректирует умение и навыки учащихся по построению графиков, развивает мышление и воображение учеников. На основе графиков изученных функций можно научиться строить более сложные графики, содержащие модули, а также отвечать на вопросы связанные с их исследованием.

В своей работе я построила 13 различных графиков функций, содержащих выражения под знаком модуля, решила 5 уравнений, два из которых содержат параметр, и нарисовала 2 рисунка. Я думаю, что моя работа будет интересна ребятам, увлеченным математикой и поможет нам лучше подготовиться к ОГЭ.

6. Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика

М.: Педагогика 1985г.

2. Петраков И.С. Математические кружки

М.: Просвещение. 1987г.

3. Никольская И.Л. Факультативный курс по математике,

М.: «Просвещение», 1991.