Замечательные точки треугольника

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

“Замечательные точки и линии треугольника”

(Тема урока)

1. ФИО (полностью): Голубева Людмила Владимировна

2. Место работы: МСВУ

3. Должность: преподаватель математики

4. Предмет: геометрия

5. Учебник: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. «Геометрия, 10-11: учебник для общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни»

6. Класс 11/3

Тема и номер урока в теме: «Треугольники», 1 урок

1. Цель урока: Познакомить суворовцев с замечательными точками треугольника и методами доказательства свойств замечательных точек;

повторить и обобщить материал по теме «Треугольники»

1. Планируемые результаты урока:

• Предметные:

Знать: свойства медиан, биссектрис, высот треугольника.

Уметь: Применять свойства при решении задач.

Личностные: Развивать следующие компетенции: учебно-познавательные, коммуникативные, информационные, общекультурные (умение анализировать, синтезировать изучаемые факты, понятия, умение сравнивать, обобщать, развивать логическое мышление, навыки учебно-познавательной деятельности, развивать настойчивость)

• Метапредметные (универсальные): воспитание сознательной организованности, умения работать в группе, ответственности в учении, аккуратности, культуры общения, умение выступать перед аудиторией, логически грамотной речи, навыков работы с книгой, тетрадью и т.д.

1. Тип урока: изучение нового материала

2. Формы работы учащихся: фронтальная, групповая, самостоятельная (дифференцированные задания)

3. Необходимое техническое оборудование: Интерактивная доска в комплекте.

ХОД УРОКА

1. Орг.момент

Сообщение темы и целей урока.

1. Повторение

Вспомните, чтобы решить задачу по стереометрии, сколько раз мы прибегали к рассмотрению треугольников?

Треугольник – это самая простая и лаконичная фигура. В то же время, это очень универсальная фигура. С треугольника мы начинали изучать геометрию. Но не все свойства треугольника нам еще известны. О них мы сегодня и поговорим.

Итак, какие точки треугольника вы знаете?

*Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности)

*Точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности)

*Ортоцентр (точка пересечения высот треугольника)

*Центр тяжести (точка пересечения медиан треугольника)

Давайте вспомним, как с помощью циркуля и линейки построить все эти точки (выдаются задания по группам).

Задание 1.

1 группа. С помощью циркуля и линейки построить окружность, описанную около треугольника.

2 группа. С помощью циркуля и линейки построить окружность, вписанную в треугольник.

3 группа. С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения высот треугольника.

4 группа. С помощью циркуля и линейки построить точку пересечения медиан треугольника.

(Каждая группа получает листы формата А3 с нарисованными треугольниками, фломастеры. После выполнения каждая группа защищает свои ответы – объясняет и комментирует построения).

1. Свойства точек.

Давайте рассмотрим свойство точек, симметричных ортоцентру относительно сторон треугольника.

Задание 2.

Постройте произвольную окружность.

Впишите в нее произвольный треугольник АВС.

Постройте высоты треугольника АА₁, ВВ₁, СС₁. Обозначьте точку пересечения высот буквой М.

Постройте точку А₂, симметричную точке М относительно стороны ВС.

Постройте точку В₂, симметричную точке М относительно стороны АС.

Постройте точку С₂, симметричную точке М относительно стороны АВ.

Какое свойство вы заметили? Попробуйте его сформулировать.

1. Исследование новых точек.

*А вы знаете, что если на сторонах треугольника построить равносторонние треугольники и около них описать окружности, то эти окружности пересекутся в одной точке?

*А вы знаете, , что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой

* А вы знаете, что в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности?

* А вы знаете, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой?

Докажем рассмотренные свойства треугольника.

(Каждая группа получает карточку, которая содержит формулировку задачи, ее доказательство и чертеж. Необходимо обосновать места, отмеченные знаком вопроса и подготовить выступление). Рассматриваются:

а) точка Торичелли (На сторонах треугольника построены равносторонние треугольники и около них описаны окружности. Докажите, что эти окружности пересекутся в одной точке, называемой точкой Торричелли);

б) прямая Симпсона (Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из любой точки окружности на три стороны вписанного в нее треугольника, лежат на одной прямой;

в)окружность Эйлера (Докажите, в треугольнике середины его сторон, середины отрезков, соединяющих его вершины с его ортоцентром, и основания его высот лежат на одной окружности);

г) прямая Эйлера (Докажите, что в треугольнике центр описанной окружности, ортоцентр и центр тяжести лежат на одной прямой).

После выступления группа строит соответствующий чертеж.

1. Точки Фейербаха.

Эта окружность, найденная в XVIII веке великим ученым А.Эйлером, была заново открыта в следующем столетии учителем провинциальной гимназии в Германии. Звали его Карл Фейербах. Он был родным братом известного философа Людвига Фейербаха. Дополнительно К.Фейербах выяснил, что окружность девяти точек имеет еще четыре точки, тесно связанные с геометрией любого треугольника. Это точки ее касания с четырьмя окружностями специального вида.

Одна из этих окружностей вписанная, остальные три – вневписанные. Они вписаны в углы треугольника и касаются внешним образом его сторон. Точки касания этих окружностей с окружностью девяти точек К1, К2, К3 и К – называются точками Фейербаха. Таким образом, окружность девяти точек является в действительности окружностью тринадцати точек.

И это еще не все. На следующем уроке мы продолжим изучение свойств замечательных точек треугольника.

1. Подведение итогов урока. (обобщение нового материала, анализ работы групп. составление синквейна)

Треугольник.

Простой, лаконичный.

Строим, делим, отражаем.

Четыре замечательные точки треугольника.

Фантастика!

1. Задание для самоподготовки:

П.94 рассмотреть доказательство.

Выясните, как расположены точки, симметричные ортоцентру относительно середин сторон треугольника. Сформулируйте теорему и докажите ее.

Подготовьте сообщение об ученом, чьим именем была названа точка или линия, свойство которой вы сегодня доказывали (Торричелли, Симпсон, Эйлер, Фейербах).