Задание по теме "Функции нескольких переменных"

Функция одной действительной переменной

Функция двух действительных переменных

1. Определение

X, Y – числовые множества, хХ, уY.

f: X →Y или y=_______

f - __________________________________

x - __________________________________

_____________________________________

y - __________________________________

X - __________________________________

Y - __________________________________

D, Z – числовые множества, (х,y)D, zZ.

f: D →Z или z=________

f - __________________________________

x,y - ________________________________

____________________________________

z - __________________________________

D - __________________________________

Z - __________________________________

1. Способы задания функции

1.___________________________________

2. ___________________________________

3. ___________________________________

График функции - ______________ в системе координат Оху

1.___________________________________

2. ___________________________________

3. ___________________________________

График функции - _____________­­­­­­________

в системе координат Охуz

1. -окрестность точки

Точка х₀

______________

Число направлений, по которым х→ х₀ - __________________________________

Точка М₀(х₀, у₀)

______________________________________

Число направлений, по которым М→ М₀ - _________________________________

1. Предел функции

в точке х₀ (х→ х₀).

в точке М₀(х₀, у₀) (х→ х₀, у→ у₀).

(____________________________(х,у):_______

__________________________________________

_______________________________________)

_______________________________________

Свойства пределов функций одной и двух действительных переменных ________________________________

1. Непрерывность функции

в точке х₀, если

1)_______________________________________

2)_______________________________________

3)_______________________________________

Точки, в которых непрерывность нарушается, называются __________________________________

Функция непрерывна на некотором промежутке, если _____________________________________________

_____________________________________________

в точке М₀(х₀, у₀), если

1)_______________________________________

2)_______________________________________

3)_______________________________________

Точки, в которых непрерывность нарушается, называются _____________________________,

которые могут образовывать_______________

________________________________________

Функция непрерывна в некоторой области, если _________________________________________

_________________________________________

1. Приращение функции

Дадим х приращение х: х+х, тогда

у = ____________________________________

1. Дадим х приращение х: х+х (у не изменяется), тогда частное приращение по х

_xz = ____________________________________

1. Дадим y приращение y: y+y (x не изменяется), тогда частное приращение по y

_yz = ____________________________________

1. Дадим х приращение х, y приращение y, тогда полное приращение функции

z = ____________________________________

1. Производная функции

===

Частная производная по переменной х (у – постоянна) ===

Частная производная по переменной у (х – постоянна) ===

Правила дифференцирования и таблица производных для функций одной и двух действительных переменных__________________________________________

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она ______________________________в этой точке

1. Производная функции второго порядка

===________

Частные производные

=== _______

=== _______

=== _______

_{____________} частные производные

=== ________

1. Дифференциал функции

dy = ________________________

Полный дифференциал функции

dz = ____________________________

Частные дифференциалы функции

d_хz = __________________ d_уz = _________________

1. Экстремумы функции (локальные)

Точка х₀ – точка максимума функции, если х: х≠ х₀ из -окрестности х₀ __________________

Точка х₀ – точка минимума функции, если х: х≠ х₀ из -окрестности х₀ __________________

Точка (х₀, у₀) – точка максимума функции, если (х,у): х≠ х₀, у≠ у₀ из -окрестности (х₀, у₀) _____________________________________________

Точка (х₀, у₀) – точка минимума функции, если (х,у): х≠ х₀, у≠ у₀ из -окрестности (х₀, у₀) _____________________________________________

1. Необходимое условие экстремума

Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет экстремум в точке х₀, то ______________________

____________________________________________

Если в точке М₀(х₀, у₀) дифференцируемая функция z=f(x,y) имеет экстремум, то ______________________

_______________________________________________

1. Достаточное условие экстремума

Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в некоторой окрестности критической точки х₀ и при переходе через нее

производная________________________________

___________________________________________,

то х₀ - точка максимума; _____________________,

то х₀ - точка минимума.

_{Пусть в стационарной точке (х0}, у₀) и некоторой ее окрестности функция z=f(x,y) имеет непрерывные частные производные второго порядка и А=_{В=, С=,  = ______________.}

Тогда: 1) если 0, то в точке (х₀, у₀) _______________

_______________________________________________

2) если 0, у₀)______________________

_{3) если} =0, то в точке (х₀, у₀)______________________