Задание № 9 на ЕГЭ по математике

Ответ: -0,5

Задание.

Найдите значение выражения

Решение:

Выносим за скобки общий множитель √32, получим

Воспользуемся формулой двойного аргумента

cos²α – sin²α = cos2α, получим

Ответ: — 4

Задание.

Найдите значение выражения

(√3 - √8)(√3 + √8).

Решение:

Используя формулу сокращенного умножения: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений, получим:

(√3 - √8)(√3 + √8) = (√3)² – (√8)² = 3 – 8 = — 5.

Ответ: — 5.

Задание.

Найдите значение выражения

Решение:

Преобразуем подкоренное выражение 11 — 6√2. Для этого воспользуемся формулой сокращенного выражения: квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.

Тогда исходное выражение будет иметь вид:

3 — √2 + √2 = 3

Ответ: 3

Задание.

Найдите значение выражения

(√3 - √18)(√3 + √18).

Решение:

Используя формулу сокращенного умножения: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений, получим:

(√3 - √18)(√3 + √18) = (√3)² – (√18)² = 3 – 18 = — 15.

Ответ: — 15.

Задание.

Найдите значение выражения

2⁴ · 7³ : 14²

Решение:

Представим число 14 в виде произведения 2·7, тогда степень произведения равна произведению степеней:

14²  = (2 · 7)² = 2² · 7²

Используя свойства степеней, преобразуем данное выражение:

Ответ: 28

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

По определению логарифма получим:

Тогда данное выражение примет вид:

Ответ: 14

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

Представим радикалы, входящие в данное выражение, в виде степени с рациональным показателем.

Воспользуемся свойствами степеней с рациональным показателем, получим:

Ответ: 1

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

По определению логарифма получим:

Тогда данное выражение примет вид:

Ответ: 14

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся тем, что произведение корней равно корню произведения и частное корней равно корню частного, получим

Ответ: 2

Задание

Найдите значение тригонометрического выражения

Решение:

Так как косинус — функция четная, то

cos(-π/4) = cos(π/4) = √2/2

Так как синус — функция нечетная, то

sin(-π/6) = — sin(π/6) = -1/2

Тогда исходное выражение принимает вид:

Ответ: — 23

Задание

Найдите tgα, если

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством:

sin²α + cos²α = 1.

Выразим из этого тождества:

cos²α =1 — sin²α

По условию, аргумент α принадлежит первой четверти числовой окружности, а в ней cosα 0. Получаем

Тангенс числа α  — это отношение синуса числа α к косинусу числа α, т. е.

Подставим в это выражение значения синуса и косинуса:

Ответ: 5

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Разность логарифмов чисел равна логарифму частного этих чисел, поэтому:

Ответ: 2

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся тем, что произведение корней равно корню произведения и частное корней равно корню частного, получим

Ответ: 7

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Разность логарифмов чисел равна логарифму частного этих чисел, поэтому:

Ответ: 2

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

Преобразуем данное выражение и воспользуемся формулой двойного аргумента, получим

Ответ: — 3,5

Задание.

Найдите значение выражения

Решение:

Преобразуем данное выражение, для этого вынесем за скобки общий множитель √27, получим

Воспользуемся формулой двойного аргумента cos2α = 2cos²α – 1, получим

Ответ: 4,5

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Сумма логарифмов чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:

Ответ: 2

Задание

Найдите значение выражения

Решение:

Представим радикалы, входящие в данное выражение, в виде степени с рациональным показателем. Воспользуемся свойствами степеней с рациональным показателем, получим:

Ответ: 11

Задание.

Найдите значение выражения

Решение:

Представим число 20 в виде произведения 4·5, тогда степень произведения равна произведению степеней:

20^-3,9 = (5·4)^-3,9 = 5^-3,9·4^-3,9

Тогда исходное выражение можно переписать в виде:

Используя свойства степеней, получим:

5^-3,9·5^2,9·4^-3,9·4^4,9 = 5^-1·4¹ = 4/5 = 0,8

Ответ: 0,8

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой двойного аргумента:

Тогда решение имеет вид:

Ответ: 19.

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой двойного аргумента:

Тогда решение имеет вид:

Ответ: 11.

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Представим:

0,2 = 2/10 = 1/5 = (1/5)^(-1)

25 = 5^2

Тогда выражение имеет вид:

Воспользуемся формулами:

Получим:

Ответ: — 6.

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Представим:

2,5 = 25/10 = 5/2

0,4 = 4/10 = 2/5.

Тогда выражение имеет вид:

Представим: 2/5 = (5/2)^(-1).

Воспользуемся формулами

Получим:

Ответ: — 8.

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Получаем:

.

Тогда данное выражение примет вид:

Сумма логарифмов чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:

Ответ: 2

Задание. Найдите значение выражения

Решение:

Воспользуемся формулой перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Получаем:

.

Тогда данное выражение примет вид:

Сумма логарифмов чисел равна логарифму произведения этих чисел, поэтому:

Ответ: 1