Задание № 8 ЕГЭ по математике (профильный уровень): производная и первообразная

Задание № 8 ЕГЭ по математике (профильный уровень). Производная и первообразная

Производная в ЕГЭ.

Задание №8

Задание №12

Дан график функции

Дан график производной

Исследование функции при помощи производной

сделать выводы про производную

сделать выводы про функцию, которой соответствует эта производная

Геометрический смысл производной

Исследование графиков функции при помощи производной

х

График функции

• Функция возрастает   ⇒   производная от функции положительна;
• Функция убывает  ⇒   производная от функции отрицательна;
• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке  ⇒   производная от функции равна нулю;

На рисунке изображен график функции  y = f ( x ), определенной на интервале (−9;10).

Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Ответ: 11.

График функции

• Функция возрастает   ⇒   производная от функции положительна;

На рисунке изображен график функции  y = f (x)  и

восемь точек на оси абсцисс:

  x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 .

В скольких из этих точек производная функции 

f (x)  положительна?

Ответ: 2.

График функции

Экстремумы - это точки минимума и максимума функции 

• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке  ⇒   производная от функции равна нулю;

На рисунке изображен график функции  y = f (x), определенной на интервале (−3;5). Определите количество точек экстремума на интервале (−3;5).

На рисунке изображен график функции, определенной на промежутке  (−10;12) . Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

х

Ответ: 7.

График производной функции

• Производная от функции положительна  ⇒   функция возрастает;
• Производная от функции отрицательна  ⇒  функция убывает;
• Производная от функции равна нулю  ⇒   функция принимает максимальное или минимальное значение в этой точке;

На рисунке изображен график 

y = f ′( x ) — производной функции  y = f ( x ), определенной на интервале (−4;6). Укажите сумму целых точек, в которых функция убывает .

Просят найти сумму целых точек: -2+0+1+2+3+5= 9

-

-

-

-

Ответ: 9.

Перед вами график производной функции. Это значит, что имеет значение только знак производной (то есть выше или ниже график оси x). А где она растет и где убывает - абсолютно не важно.

Функция убывает , если производная отрицательна. Нам нужны целые точки, в которых график производной ниже оси x, находим их сумму.

График производной функции

• Производная от функции отрицательна  ⇒  функция убывает;

На рисунке изображен график

  y = f ′( x ) — производной функции 

y = f ( x ), определенной на интервале (−3;7). Найдите промежутки убывания функции  f ( x ).

В ответе укажите длину наибольшего из них.

Ответ: 4.

График производной функции

• Производная от функции равна нулю  ⇒   функция принимает максимальное или минимальное значение в этой точке;

На рисунке изображен график  y = f ′( x ) — производной функции  y = f ( x ), определенной на интервале (−5;6). Найдите количество точек, в которых производная функции  f ( x ) равна 0.

+

+

+

Ответ: 5.

-

На рисунке изображен график производной функции 

y = f ′( x )  на промежутке (−14;14).

Найдите количество точек максимума функции.

-

-

Точки минимума и максимума будут там, где производная равна нулю. Если происходит смена знака «–» на «+», то это значит, что функция сначала убывает (идет вниз), потом растет (идет вверх) - точка смены знака будет точкой минимума.

Ответ: 2.

График производной функции

• Производная от функции положительна  ⇒   функция возрастает;

На рисунке изображен график  y = f ′( x ) — производной функции  y = f ( x ), определенной на интервале (−5;6). В какой точке отрезка [−4;5] функция  f ( x ) принимает наибольшее значение?

+

Функция принимает наибольшее или наименьшее значение в точках, где производная равна нулю. Но на отрезке график производной нигде не пересекает ось x, а значит на заданном отрезке производная нигде не равна нулю. Обращаем внимание, что производная на промежутке всегда положительна, а значит функция возрастает на всем промежутке  . Если функция все время возрастает, то ее наибольшее значение будет в конце промежутка

Ответ: 5.

Геометрический смысл производной

Производная в точке равна будет равна тангенсу угла между касательной

к графику функции в этой точке и положительным направление оси ОХ. 

Геометрический смысл производной

На рисунке изображены график функции  y = f ( x ) и касательная к нему в точке с абсциссой  x 0 . Найдите значение производной функции  f ( x ) в точке  x 0 .

Ответ: -1,5.

Ответ: 0,2.

Геометрический смысл производной

На рисунке изображен график функции  y = f ( x ). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 4. Найдите  f ′(4).

Ответ: 0,75.

Геометрический смысл производной

На рисунке изображен график функции  y = f ( x ). На оси абсцисс отмечены точки  −3; 1; 6; 8.

В какой из этих точек значение производной наименьшее?

В ответе укажите эту точку.

Ответ: 8.

Геометрический смысл производной

На рисунке изображен график функции  y = f ( x ), определенной на интервале (−6;7). Определите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой  y = 3 или совпадает с ней.

Уравнение любой прямой в общем виде задается формулой : y=kx+b.

Где  k  - это коэффициент наклона прямой, а  b  - свободный член.

Переформулируем условие задачи:

необходимо найти на графике функции 

y = f (x),  точки, в которых производная равна нулю.

• Функция принимает максимальное или минимальное значение в точке  ⇒   производная от функции равна нулю;

Ответ: 7.

Геометрический смысл производной

На рисунке изображен график производной функции:  y = f ′( x ) . Найдите количество точек, в которых касательная, проведенная к графику функции  f ( x )  , параллельна прямой y=−2x−5 или совпадает с ней.

Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = –2x + 2 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = –2 , а значит нам нужно найти

количество точек, в которых производная функции

f ′(x) = –2 .

Для этого на графике производной проведем прямую

у = –2 , и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. Таких точек 3 .

Ответ: 3.

Геометрический смысл производной

На рисунке дан график производной функции  y = f ′(x)  . Найдите абсциссу точки, в которой касательная, проведенная к графику функции  f (x) , будет параллельна оси  x .

Если прямая параллельна оси x, то ее коэффициент наклона будет равен нулю: k=0 ;

На графике производной необходимо найти точки, в которых значение производной будет равно нулю.

То есть те точки, в которых график производной пересекает ось абсцисс.

Такая точка всего одна, ее координата  x=9 .

Ответ: 9.

На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

Ответ: 2143.

График первообразной функции

На рисунке изображен график функции  y = F ( x ) - одной из первообразных функции  f ( x ), определенной на интервале (−12;11). Найдите количество решений уравнения  f ( x ) = 0 на отрезке [−10;10].

Ответ: 7.

График первообразной функции

На рисунке изображен график функции  f ( x ) (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  F (5) − F (−1), где  F ( x ) — одна из первообразных функции  f ( x ).

Ответ: 13,5.

Прямая у = 3х + 11 является касательной к графику функции у = x 3 − 3x 2 − 6x + 6.

Найдите абсциссу точки касания.

• Если прямая является касательной к графику, то ее угловой коэффициент (k = 3) должен быть равен производной функции в точке касания : Зх 2 − 6х − 6 = 3
• Квадратное уравнение имеет два корня: −1 и 3 .
• Для того чтобы определить, в какой из этих двух точек прямая у = 3х + 11 касается графика функции, вычислим значения функции в этих точках и проверим, удовлетворяют ли они уравнению касательной.

Ответ: -1.

Прямая у = 4х – 4 является касательной к графику функции ах 2 + 34х + 11 .

Найдите а.

• Производная функции в точке касания должна совпадать с угловым коэффициентом прямой. Откуда, если за х o принять абсциссу точки касания, имеем: 2ах o + 34 = 4. То есть ах o = –15.
• Найдем значение исходной функции в точке касания: ах o 2 + 34х o + 11 = –15x o + 34х o + 11 = 19х o + 11.
• Так как прямая у = 4х – 4 – касательная, имеем : 19х o + 11 = 4х o – 4, откуда х o = –1.
• Значит a = 15.

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 0,5t 2 – 2t – 6, где x – расстояние от точки отсчета в метрах, t – время в секундах, измеренное с начала движения.

Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6с.

• Так как мгновенная скорость точки в момент времени t o , прямолинейного движения, совершаемого по закону х = х(t), равна значению производной функции х npu t = t o ,
• искомая скорость будет равна x ′ (t) = 0,5 ∙ 2t – 2 = t – 2,
• x ′ (6) = 6 – 2 = 4 м/с.

На рисунке изображен график функции  y = f ( x ) и двенадцать точек на оси абсцисс:  x 1 ,  x 2 ,  x 3 ,  x 4 ,  x 5 ,  x 6 ,  x 7 ,  x 8 ,  x 9 ,  x 10 ,  x 11 ,  x 12 . В скольких из этих точек производная функции  f ( x ) отрицательна?

Ответ: 5.

На рисунке изображен график  y = f ′( x )  — производной функции  y = f ( x ). На оси абсцисс отмечены восемь точек  x 1 ,  x 2 ,  x 3 ,  x 4 ,  x 5 ,  x 6 ,  x 7 ,  x 8 . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции  f ( x )?

Ответ: 3.

На рисунке изображен график  y = f ′( x )  — производной функции  y = f ( x ) , определенной на интервале (−4;6). Найдите количество целых точек на интервале (−4;6), в которых функция  f ( x )  возрастает.