Задание 25 в ОГЭ по математике

Задачи планиметрии

Составила учитель математики Шестирикова Т.Е.

Треугольники в ОГЭ по математике ЗАДАЧА № 25

Задание № 25 - Уметь выполнять действия с геометрическими фигурами. Решать планиметрические задачи на нахождение геометрических величин. Различать взаимное расположение геометрических фигур на плоскости, изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задачи. Проводить доказательные рассуждения при решении задач.

Ключевая задача

• Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если гипотенуза равна 12.

Найти медиану прямоугольного треугольника, проведенную из прямого угла, если гипотенуза равна 12.

Решение.

По свойству медианы:

медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника  равна половине гипотенузы.

Следовательно, медиана равна 6.

Ответ: 6.

Ключевая задача

Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна ее половине, то треугольник прямоугольный.

Доказать, что если медиана, проведенная к стороне треугольника, равна ее половине, то треугольник прямоугольный.

Доказательство.

По следствию из теоремы о вписанном угле ∠АСВ = .

Следовательно, △ АВС – прямоугольный .

Задача №1.

Найти:

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, АС = 3МВ. Найти сумму квадратов медиан и , если АС = 20.

В

С

А

Медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, АС = 3МВ. Найти сумму квадратов медиан и , если АС = 20.

В

, тогда

С

А

Вспомним!!!

• Теорема, обратная теореме Фалеса.

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины , то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

назад

Утверждение о пропорциональных отрезках: если стороны угла А пересечены параллельными прямыми EF и CK, то отрезки AE и AF пропорциональны отрезкам EC и FK, т.е.

C

Доказательство: Проведем через точку Е прямую ЕN, параллельную прямой FK (N-точка пересечения этой прямой с прямой СК).

N

E

Рассмотрим

1. ˪А=˪СЕN (соответственные при пересечении параллельных прямых EN и AK секущей АС)

F

A

K

( по двум углам)

2. ˪АEF=˪ЕCN (соответственные при пересечении параллельных прямых EF и CK секущей АС)

Утверждение о пропорциональных отрезках: если стороны угла А пересечены параллельными прямыми EF и CK, то отрезки AE и AF пропорциональны отрезкам EC и FK, т.е.

( по двум углам)

C

N

E

F

A

K

Задача № 2 : В треугольнике АВС из вершин А и В проведены отрезки АК и ВЕ, причем точки К и Е лежат на сторонах ВС и АС соответственно. Отрезки АК и ВЕ пересекаются в точке М так, что АМ:МК=51 , ВМ:МЕ=2:1 . Найдите отношение АЕ:ЕС и ВК:КС.

С

Е К

М

Обозначение: MK=x, AM=5x, ME=y, BM=2y

В

Проведём KD││AC

Рассмотрим ΔMKD и ΔAEM:

1)˪EMA=˪KMD-вертикальные

2)˪EAM=˪MKD-накрест лежащие

Проведём прямую EF││CB

MD =

Рассмотрим ΔFEM и ΔMKB:

FM =

x

y

1)˪EMF=˪KMB-вертикальные

2)˪FEM=˪KBM-накрест лежащие

F

2y

ΔMKDΔAEM- по первому признаку подобия треугольников

5x

т.к. AM=5x; FM = 0,5x; то AF=5x-0,5x=4,5x

D

BD=2y-0,2y=1,8y

А

Δ FEM подобия треугольников

13

Задача№2 : В треугольнике АВС из вершин А и В проведены отрезки АК и ВЕ, причем точки К и Е лежат на сторонах ВС и АС соответственно. Отрезки АК и ВЕ пересекаются в точке М так, что АМ:МК=5, ВМ:МЕ=2. Найдите отношение АЕ:ЕС и ВК:КС.

Обозначение: MK=x, AM=5x, ME=y, BM=2y

С

Е К

М

А В

FM

AF = 4,5x

MD

BD = 1,8y

x

y

F

2y

5x

D

4,5x

0,5x

0,2y

1,8y

x

y

C

Утверждение о пропорциональных отрезках:

E

Рассмотрим ˪САК:

F

A

K

=

=

C

Рассмотрим ˪ СВЕ:

E

K

M

D

F

Ответ: АЕ:ЕС = 3:1; ВК:КС = 3:2.

A

B

Ключевая задача

• Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ = 18, ВС = 15, АС = 12.

Вычислите длину биссектрисы угла А △АВС со сторонами АВ = 18, ВС = 15, АС = 12.

А

С В

К

Ключевая задача

• Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны 3 и 6.

Найти площадь треугольника, две медианы которого перпендикулярны и равны 3 и 6.

Ключевая задача

• На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки М и К соответственно . Найти площадь △ВМК, если площадь △АВС равна 24.

На серединах сторон АВ и ВС △АВС взяты точки М и К соответственно . Найти площадь △ВМК, если площадь △АВС равна 24.

.

Ключевая задача

• В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2, ВС = 3, АС = 3 . Найти АМ, МС.

В треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ. АВ = 2, ВС = 3, АС = 3 . Найти АМ, МС.

16

Задача №3.

Основание  AC  равнобедренного треугольника  ABC  равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания  AC  в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник  ABC .

Основание  AC  равнобедренного треугольника  ABC  равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания  AC  в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник  ABC .

Решение. Пусть O — центр данной окружности, а Q — центр окружности, вписанной в треугольник ABC.

Точка касания M окружностей делит AC пополам. Лучи AQ и AO — биссектрисы смежных углов, значит, угол OAQ прямой .

Ключевая задача.

Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Доказательство: Пусть CM – медиана треугольника ABC . Треугольники AMC и BMC имеют равные основания AM = BM и общую высоту CH . Следовательно, их площади равны и треугольники равновелики.

16

№ 4

Точка D делит сторону AB треугольника ABC в отношении 2:3. Найдите площадь треугольника ACD , если площадь треугольника ABC равна 10.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 4 .

16

№ 5

Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M . Какую часть площади данного треугольника составляет площадь треугольника ABM ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: .

16

№ 6

Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 3:2 и 2:1. Найдите площадь треугольника A 1 B 1 C , если площадь треугольника ABC равна 15.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2 .

16

№ 7

Точки A 1 и B 1 делят стороны BC и AC треугольника ABC в отношениях соответственно 1:2 и 2:3. Отрезки AA 1 и BB 1 пересекаются в точке M . Найдите площадь треугольника ABM , ес ли площадь треугольника ABC равна 18.

Решение. Через точку A 1 проведем отрезок A 1 D , параллельный прямой BB 1 . Тогда B 1 D : DC = 1:2, следовательно, AM : MA 1 = 2:1.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Площадь треугольника ABA 1 равна 6. Искомая площадь треугольника ABM равна 4.

35

№ 8

В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC и BC равны соответственно 4 и 3, CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD .

Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Отрезок AD составляет четыре седьмых отрезка AB , следовательно, площадь треугольника ACD равна четыре седьмых площади треугольника ABC , т.е. равна

36

№ 9

В треугольнике ABC AC= 6, BC= 4, угол ACB равен 30 о , CD – биссектриса. Найдите площадь треугольника AСD .

Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам .

Площадь треугольника ABC равна 6. Отрезок AD составляет шесть десятых отрезка AB , следовательно, площадь треугольника ACD равна 3,6.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

36

№ 10

В треугольнике ABC AC=BC= 5, AB= 6, биссектрисы AA 1 и BB 1 пересекаются в точке D . Найдите площадь треугольника ABD .

Решение. Воспользуемся тем, что биссектриса треугольника делит его сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам .

Площадь треугольника ABC равна 12. Отрезок AB 1 составляет 6/11 отрезка AC , следовательно, площадь треугольника ABB 1 равна 72/11.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Проведем отрезок B 1 E , параллельный прямой AA 1 . Тогда CE : EA 1 = 5:6, EA 1 : A 1 B = 5:11. Площадь треугольника ABD равна 4,5.

38

М

В треугольнике АВС угол В равен 120 градусам, а длина стороны АВ на 5√3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и ВС .

С

N

О

А

К

В

В треугольнике АВС угол В равен 120 градусам, а длина стороны АВ на 5√3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус окружности, касающейся стороны ВС и продолжений сторон АВ и ВС.

М

С

О

N

А

К

В

Ключевая задача

• В треугольнике АВС угол В тупой, ВС = 2, АС = 3 , радиус описанной окружности равен . Найти сторону АВ.

Замечание:

В треугольнике АВС угол В тупой, ВС = 2, АС = 3 , радиус описанной окружности равен . Найти сторону АВ. Замечание:

3

.

2

.

Типичные ошибки:

- доказательство верное, но записи неаккуратные, иногда просто невозможно понять, что написано учеником;

- присутствуют только отдельные факты, по сути, не связанные с тем, что необходимо доказать;

- неправильно понимают условие задания;

- использовали неверные методы решения.

Биссектриса угла A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 5:4, считая от вершины. BC равно 6. Найдите радиус описанной окружности.

Комментарий.

Решение незаконченное: формула для нахождения радиуса выписана, все компоненты найдены, но не получен итоговый результат.

Оценка эксперта: 1 балл .

Биссектриса A, треугольника ABC делит высоту BH в отношении 25:24, считая от вершины. BC равно 14. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 25.

Комментарий .

Решение верное.

Оценка эксперта: 2 балла.

Спасибо за внимание! Удачи на ОГЭ.

Вспомним!!!

• Теорема, обратная теореме Фалеса.

Если прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной и на другой стороне угла равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины , то такие прямые параллельны.

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

назад

Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника  равна половине гипотенузы

1) В прямоугольном △ АВС из вершины прямого угла С проведем к гипотенузе AB отрезок CO так, чтобы CO=OA.

2) ∆ AOC — равнобедренный с основанием AC ⇒ ∠OAC=∠OCA=α.

3) Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90º, то в △АВС ∠B=90º- α.

4) Так как ∠BCA=90º (по условию), то ∠BCO=90º- ∠OCA=90º-α.

5) Рассмотрим треугольник BOC.

∠ BCO=90º-α, ∠B=90º- α, следовательно, ∠BCO=∠B ⇒ BOC — равнобедренный с основанием BC. Отсюда BO=CO.

6) Так как CO=OA (по построению) и BO=CO (по доказанному), то CO=OA=BO, AB=OA+BO=2∙OA=2∙CO ⇒

назад