Задание 19. "Цифровая запись числа" . ЕГЭ (Базовый уровень"

Задание 19

Цифровая запись числа

1. Приведите при­мер трёхзначного числа, сумма цифр ко­то­ро­го равна 20, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9.

Пояснение.

Разложим число 20 на сла­га­е­мые раз­лич­ны­ми способами:

 

20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.

 

При раз­ло­же­нии спо­со­ба­ми 1−4, 7 и 8 суммы квад­ра­тов чисел не крат­ны трём. При раз­ло­же­нии пятым спо­со­бом сумма квад­ра­тов крат­на девяти. Раз­ло­же­ние ше­стым спо­со­бом удо­вле­тво­ря­ет усло­ви­ям задачи. Таким образом, усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет любое число, за­пи­сан­ное циф­ра­ми 5, 7 и 8, например, число 578.

Ответ: 578|587|758|785|857|875

506263

578|587|758|785|857|875

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ЕГЭ—2015 по математике. Ба­зо­вый уровень. Ва­ри­ант 1.

2. Найдите трёхзначное на­ту­раль­ное число, боль­шее 400, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 5 и на 6, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 30, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не боль­ше 400

При : 421, 422, 423, 424. Пер­вая слева цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр

При : 451, 452, 453, 454. Число 453 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи.

Также подходят числа 573 и 693.

 

Ответ: 453,573, 693.

Ответ: 453|573|693

510015

453|573|693

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10103.

3. Цифры четырёхзначного числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзначное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 4536. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 5, значит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

 

 

Второе сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Значит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое слагаемое. То есть От­ку­да Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в уравнение, получим, что Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого равенства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся ответом: 9605, 9715, 9825, 9935.

Ответ: 9605|9715|9825|9935

510035

9605|9715|9825|9935

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 24.09.2015 ва­ри­ант МА10104.

4. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 24 можно пред­ста­вить мно­ги­ми способами, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - . При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть четным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Ответ: 2134|4312|1342|3124

510210

2134|4312|1342|3124

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10205.

5. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 40. В от­ве­те

ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 40 можно пред­ста­вить мно­ги­ми способами, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть четным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5412, 5214, 1452, 1254, 1518

Ответ: 1452|1254|5412|5214|1518

510230

1452|1254|5412|5214|1518

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10206.

6. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 22, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 60. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Чтобы число abcd де­ли­лось на 22, оно долж­но де­лить­ся и на 2, и на 11. Про­из­ве­де­ние цифр 60 можно пред­ста­вить мно­ги­ми способами, ос­но­вой ко­то­рых яв­ля­ют­ся про­из­ве­де­ния - . При­знак де­ли­мо­сти на 11: Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо от­ли­ча­ет­ся от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число де­лит­ся на 2, то оно долж­но быть четным. Со­глас­но пе­ре­чис­лен­ным при­зна­кам можно по­до­брать сле­ду­ю­щие числа: 5126, 2156, 6512, 1562

Ответ: 5126|2156|6512|1562

510250

5126|2156|6512|1562

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10207.

7. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 18, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го равно 24. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Если число abcd крат­но 18, оно крат­но 2, 9, 3, 6: то есть оно долж­но быть чет­ным и сумма его цифр долж­на быть крат­на 9. Таким об­ра­зом d - четное, де­лит­ся на 9, . Про­из­ве­де­ния цифр могут быть пред­став­ле­ны в виде . Числа, удо­вле­тво­ря­ю­щие дан­ным условиям: 3222, 2322, 2232

Ответ: 2232|3222|2322

510270

2232|3222|2322

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 18.12.2015 ва­ри­ант МА10208.

8. Найдите трёхзначное число, крат­ное 25, все цифры ко­то­ро­го различны, а сумма квад­ра­тов цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. В от­ве­те укажите какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

 

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3 и на 9.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3 и на 9.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

 

Таким образом, условию удовлетворяет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

 

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: 125|175|275|725|825|875

510326

125|175|275|725|825|875

9. Найдите трёхзначное число, сумма цифр ко­то­ро­го равна 25, если известно, что его квад­рат де­лит­ся на 16.

Пояснение.

Разложим число 25 на слагаемые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.

Квадрат числа де­лит­ся на 16, значит, само число де­лит­ся на 4. Это значит, что оно как ми­ни­мум заканчивается на чётную цифру. То есть пер­вый набор отпадает, так как в нём та­ко­вых нет. Из вто­ро­го мы можем со­ста­вить числа 988 и 898. Пер­вое число удо­вле­тво­ря­ет условиям задачи.

Ответ: 988

506318

988

Источник: РЕШУ ЕГЭ

10. Приведите при­мер четырёхзначного на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их произведению. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Пусть наше число имеет вид . Тогда имеем И так как число де­лит­ся на 4, де­лит­ся на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то ра­вен­ство невозможно, так как сумма будет боль­ше произведения. То же самое, если еди­ниц меньше, чем две. В этом слу­чае произведение будет слиш­ком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рас­смот­рим двузначные числа, ко­то­рые делятся на 4, это кон­цов­ка нашего числа. Нель­зя брать числа с нулём, так как в этом слу­чае произведение будет равно нулю, что плохо.

12: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая — 4.

16: тогда одна из остав­ших­ся цифр 1, а дру­гая никакая не подойдёт.

24: значит, остав­ши­е­ся цифры — единицы. Всё сходится.

Остальные числа будут да­вать слишком боль­шое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, ис­ход­ные числа: 1412, 4112, 1124.

Ответ: 1412|4112|1124

507010

1412|4112|1124

11. Найдите наи­мень­шее четырёхзначное число, крат­ное 11, у ко­то­ро­го про­из­ве­де­ние его цифр равно 12.

В от­ве­те укажите наи­мень­шее такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид Про­из­ве­де­ние цифр числа равно 12, то есть от­ку­да получаем, что может быть на­бо­ром цифр: 1, 2, 2, 3; 1, 1, 3, 4. Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, сто­я­щих на нечётных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на чётных местах. Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее этому тре­бо­ва­нию и со­сто­я­щее из име­ю­щих­ся наборов цифр, — 1232.

 

Ответ: 1232.

Ответ: 1232

507056

1232

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

12. Найдите четырёхзначное на­ту­раль­ное число, крат­ное 19, сумма цифр ко­то­ро­го на 1 боль­ше их произведения.

Пояснение.

Если хотя бы одна цифра в за­пи­си числа — нуль, то про­из­ве­де­ние цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Един­ствен­ное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не крат­но 19. По­это­му нулей среди цифр нет. От­сю­да следует, что все цифры не мень­ше 1, и их сумма не мень­ше четырёх, а значит, про­из­ве­де­ние цифр не мень­ше трёх. Чтобы про­из­ве­де­ние было не мень­ше трёх хотя бы одна из цифр долж­на быть боль­ше 1. Рас­смот­рим такие числа в по­ряд­ке воз­рас­та­ния суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной двой­кой и тремя еди­ни­ца­ми (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Про­из­ве­де­ние цифр равно 2, по­это­му они не удо­вле­тво­ря­ют условию.

Если сумма цифр равна 6, то число за­пи­сы­ва­ет­ся одной трой­кой и тремя еди­ни­ца­ми или двумя двой­ка­ми и двумя еди­ни­ца­ми (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Про­из­ве­де­ние цифр равно 3 или 4 соответственно, по­это­му такие числа не удо­вле­тво­ря­ют условию.

Если сумма цифр равна 7, то про­из­ве­де­ние долж­но быть равно 6. Это вы­пол­не­но для чисел, за­пи­сы­ва­е­мых тройкой, двой­кой и двумя единицами. По­сколь­ку число 3211 крат­но 19, оно и яв­ля­ет­ся искомым.

 

Ответ: 3211.

 

Примечание.

Четырёхзначное число, об­ла­да­ю­щее тре­бу­е­мы­ми свойствами, единственно. Покажем это, приведя другое решение.

 

Приведём решение Дмитрия Мухина (Москва).

Пусть a, b, c, d — цифры числа и пусть а самая боль­шая из них (порядок цифр не важен). Покажем, что произведение меньших цифр не больше четырёх. Действительно, из равенства a + b + c + d = 1 + abcd, получаем 4a ≥ abcd + 1. Деля на наибольшую цифру a, получаем, что bcd

Рас­смот­рим теперь следующие случаи.

1. Пусть среди чисел b, c, d есть нуль, тогда поскольку a + b + c + d = 1, это число 1000, но оно на 19 не делится. Итак, все три меньшие цифры числа отличны от нуля.

2. Пусть все три меньшие цифры равны единице, тогда a + 3 = a + 1. Этот случай невозможен.

3. Пусть меньшие цифры это две еди­ни­цы и двойка. Тогда a + 4 = 2a + 1, откуда a = 3. Пе­ре­би­рая 12 чисел, со­став­лен­ных из цифр 1, 1, 2, 3, находим, что из них крат­но 19 толь­ко число 3211. Оно и является ответом.

4. Пусть меньшие цифры это две еди­ни­цы и тройка. Тогда a + 5 = 3a + 1. От­сю­да a = 2, но тогда a не наибольшая цифра. Противоречие.

Поскольку bcd

Ответ: 3211

507054

3211

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

13. Найдите наи­мень­шее пя­ти­знач­ное число, крат­ное 55, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 50, но мень­ше 75.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 55, то оно де­лит­ся на 5 и на 11. Если число де­лит­ся на 5 то оно может окан­чи­вать­ся на 0 или на 5. Если в за­пи­си числа есть ноль, то про­из­ве­де­ние цифр числа равно нулю, следовательно, за­пись числа долж­на окан­чи­вать­ся на 5. Пусть число имеет вид Число де­лит­ся на 11, если сумма цифр на нечётных ме­стах равна сумме цифр на чётных местах: Рас­смот­рим раз­лич­ные про­из­ве­де­ния такие, что По­след­няя цифра числа равна пяти, следовательно, воз­мож­ные зна­че­ния про­из­ве­де­ния 50, 55, 60, 65, 70. Раз­ло­жим каж­дое число на про­стые множители:

 

 

Попытаемся удо­вле­тво­рить урав­не­нию Пе­ре­би­рая раз­лич­ные воз­мож­ные значения, получим, что толь­ко число раз­ло­же­ние числа 70 в виде удо­вле­тво­ря­ет уравнению: Наи­мень­шее число, удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям за­да­чи — 11 275.

 

Ответ: 11 275.

Ответ: 11275

507059

11275

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

14. Найдите ше­сти­знач­ное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 0 и де­лит­ся на 24.

Пояснение.

Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8, если три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, де­ля­ще­е­ся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.

Число де­лит­ся на 3, если его сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Поскольку три послледние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.

 

Ответ: 111 000.

Ответ: 111000

507052

111000

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

15. Найдите наи­мень­шее трёхзначное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 2 даёт оста­ток 1, при де­ле­нии на 3 даёт оста­ток 2, при де­ле­нии на 5 даёт оста­ток 3 и ко­то­рое за­пи­са­но тремя раз­лич­ны­ми нечётными цифрами.

Пояснение.

Число при делении на 2 даёт остаток 1, следовательно, оно нечётное. При делении на 3 число даёт остаток 2, то есть число имеет вид При делении на 5 число даёт остаток 3, то есть число имеет вид то есть число может оканчиваться либо на тройку, либо на восьмёрку. Число нечётное, следовательно, может оканчиваться только на тройку. Учитывая, что число оканчивается на 3: Перебирая значения что при получаем число, удовлетворяющее условиям задачи. Это число 173.

 

Ответ: 173.

Ответ: 173

507053

173

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

16. Найдите наи­мень­шее трёхзначное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 11 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и у ко­то­ро­го сред­няя цифра яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух край­них цифр.

Пояснение.

По мо­ду­лю 6 и 11 число имеет оди­на­ко­вые остатки, следовательно, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 66, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше шести. Таким образом, ис­ко­мое число может иметь вид:

 

 

При получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не яв­ля­ют­ся трёхзначными.

При получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи.

 

Ответ: 135.

Ответ: 135

507057

135

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

17. Сумма цифр трёхзначного на­ту­раль­но­го числа А де­лит­ся на 12. Сумма цифр числа (А + 6) также де­лит­ся на 12. Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное число А.

Пояснение.

Пусть число имеет вид Если , то сумма цифр в новом числе будет на 6 больше, чем в исходном. Пусть де­лит­ся на 12, тогда то есть число не де­лит­ся на 12. Аналогично, если число де­лит­ся на 12, то число не де­лит­ся на 12. Значит, . Рас­смот­рим три случая:

1) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа

2) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа

3) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Подберём число так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 12. Наи­мень­шее воз­мож­ное удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям задачи, — 699.

 

Ответ: 699.

Ответ: 699

507058

699

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

18. Сумма цифр трёхзначного числа A де­лит­ся на 13. Сумма цифр числа A+5 также де­лит­ся на 13. Най­ди­те такое число A.

Пояснение.

Пусть число имеет вид Если , то сумма цифр в новом числе будет на 5 больше, чем в исходном. Пусть де­лит­ся на 13, тогда то есть число не де­лит­ся на 13. Аналогично, если число де­лит­ся на 13, то число не де­лит­ся на 13. Значит, . Рас­смот­рим 3 случая:

1) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 3 мень­ше суммы цифр числа

2) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 12 мень­ше суммы цифр числа

3) Число имеет вид: , сумма цифр числа на 21 мень­ше суммы цифр числа

Ясно, что усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа, рас­смот­рен­ные в пунк­те 2). Подберём число так, чтобы сумма его цифр де­ли­лась на 13. Наи­мень­шее воз­мож­ное удо­вле­тво­ря­ю­щее усло­ви­ям задачи, — 899.

 

Ответ: 899.

Ответ: 899

507524

899

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

19. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся трёхзначное число де­ли­лось на 27. В от­ве­те ука­жи­те по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 27, тогда оно де­лит­ся на 3 и на 9. Число де­лит­ся на 9, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 9. Число де­лит­ся на 3, тогда и толь­ко тогда, когда сумма цифр числа де­лит­ся на 3. Заметим, что, если число де­лит­ся на 9, то оно де­лит­ся и на 3 (но необязательно, что делится на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вы­черк­нув цифры 2, 4 и 6, получим число, сумма цифр ко­то­ро­го равна девяти. 135 делится на 27.

 

Ответ: 135.

Ответ: 135

507055

135

Источник: Типовые те­сто­вые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.

20. Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 30. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 30, то оно также де­лит­ся на 3 и на 10. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль. Тогда вычёркиваем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число де­ли­лось на три необходимо, чтобы сумма цифр была крат­на трём, значит, нужно вы­черк­нуть цифру 1 или цифру 4. Таким образом, по­лу­ча­ем числа 145650, 115650 и 415650

 

Ответ: 145650, 115650 или 415650.

Ответ: 415650|145650|115650

507967

415650|145650|115650

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10102.

21. Вычеркните в числе 74513527 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 15. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 15, то оно также де­лит­ся на 3 и на 5. По­это­му в по­след­нем раз­ря­де числа дол­жен быть ноль или цифра пять. Тогда вычёркиваем 27. Остаётся 745135. По­счи­та­ем сумму цифр — 25. Для того, чтобы число де­ли­лось на три необходимо, чтобы сумма цифр была крат­на трём. В таком слу­чае можно вы­черк­нуть цифру 1 и по­лу­чить число 74535, цифру 4 и по­лу­чить 75135 или вы­черк­нуть цифру 7 и по­лу­чить число 45135.

 

Ответ: 74535, 75135 или 45135.

Ответ: 74535|75135|45135

508010

74535|75135|45135

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10103.

22. Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 18. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно по­лу­чив­ше­е­ся число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 18, то оно также де­лит­ся на 9 и на 2. Число долж­но быть чётным, для этого вы­черк­нем цифру 7, по­лу­чим 8541762. По­счи­та­ем сумму цифр — 33. Для того, чтобы число де­ли­лось на де­вять необходимо, чтобы сумма цифр была крат­на девяти. Можно вы­черк­нуть цифры 5 и 1, по­лу­чив число 84762, либо вы­черк­нуть цифры 4 и 2 и по­лу­чить число 85176. Также воз­мож­но вычеркнуть цифры 7 и 8 и по­лу­чить число 54162.

 

Ответ: 84762, 85176 или 54162.

Ответ: 84762|85176|54162

508051

84762|85176|54162

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 21.01.2015 ва­ри­ант МА10104.

23. Вычеркните в числе 181615121 три цифры так, чтобы по­лу­чив­ше­е­ся число де­ли­лось на 12. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 12 тогда и толь­ко тогда, когда оно де­лит­ся на 3 и на 4. Из при­зна­ка де­ли­мо­сти на 4 следует, что число чётное — вы­черк­нем по­след­нюю цифру. Те­перь ис­поль­зу­ем при­знак де­ли­мо­сти на 3. Найдём сумму цифр в числе 1 + 8 + 1 + 6 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25. Бли­жай­шие суммы цифр — 24, 21, 18. Чтобы по­лу­чить сумму цифр 18 вы­черк­нем из числа цифры 6 и 1. По­лу­чим число 181512. Это число де­лит­ся и на 4, и на 3. Число 116112 также под­хо­дит для ответа.

 

Ответ: 181512, 116112.

Ответ: 181512|116112|811512|181152

509226

181512|116112|811512|181152

Источник: ЕГЭ — 2015. До­сроч­ная волна.

24. Найдите трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 2, и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 2, следовательно, оно чётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 2, то оно может окан­чи­вать­ся на 2 или на 7. Таким образом, число обя­за­тель­но должно за­кан­чи­вать­ся цифрой 2.

Подбором находим, что усло­вию задачи удо­вле­тво­ря­ют числа 662 и 722.

 

Ответ: 662, 722.

Ответ: 662|722

508400

662|722

Источник: Пробный эк­за­мен по математике Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 1.

25. Найдите трех­знач­ное на­ту­раль­ное число, боль­шее 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 дает в остат­ке 3, и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева направо. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

При де­ле­нии на 4 число даёт в остат­ке 3, следовательно, оно нечётное. По­сколь­ку число при де­ле­нии на 5 даёт в остат­ке 3, то оно может окан­чи­вать­ся на 2 или на 8. Таким образом, число обя­за­тель­но долж­но за­кан­чи­вать­ся циф­рой 3.

Подбором находим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа 963 и 843.

 

Ответ: 963, 843.

Ответ: 963|843

508420

963|843

Источник: Проб­ный эк­за­мен по математике Санкт-Петербург 2014. Ва­ри­ант 2.

26. Найдите трёхзначное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свойствами:

 · сумма цифр числа A де­лит­ся на 8;

 · сумма цифр числа A + 1 де­лит­ся на 8;

 · в числе A сумма край­них цифр крат­на сред­ней цифре.

В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид , если , то сумма цифр в новом числе будет на 1 больше, чем в исходном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Зна­чит . Рас­смот­рим те­перь 2 слу­чая:

1) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 8.

2) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 18.

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида , где крат­но . Одним из таких чисел яв­ля­ет­ся 349.

 

Ответ: 349.

Ответ: 349|789|619|969|529

509744

349|789|619|969|529

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10406.

27. Найдите четырёхзначное число, крат­ное 88, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и чётны. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 88, если оно де­лит­ся на 8 и на 11. При­знак де­ли­мо­сти на 8: число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры — нули или об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. При­знак де­ли­мо­сти на 11: число де­лит­ся на 11, если сумма цифр, ко­то­рые стоят на чет­ных ме­стах равна сумме цифр, сто­я­щих на не­чет­ных местах, либо раз­ность этих сумм де­лит­ся на 11. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 8, и учитывая, что все цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны быть чётны и раз­лич­ны получаем, что по­след­ни­ми циф­ра­ми числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Ис­поль­зуя при­знак де­ли­мо­сти на 11 получим, что усло­вию за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа: 6248, 8624, 2640.

 

Ответ: 2640, 6248 или 8624.

 

 

Приведём идею дру­го­го решения.

Искомое число долж­но быть за­пи­са­но четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каж­дая из ко­то­рых взята один раз. Причём сумма цифр в раз­ря­дах тысяч и де­сят­ков должна быть равна сумме цифр в раз­ря­дах сотен и единиц, а три по­след­ние цифры ис­ко­мо­го числа долж­ны образовывать трёхзначное число, крат­ное восьми. Пусть в раз­ря­де тысяч стоит 8, тогда в раз­ря­де десятков долж­на быть 2, а в раз­ря­де сотен и еди­ниц — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удо­вле­тво­ря­ет условию. Далее ана­ло­гич­но для чисел, на­чи­на­ю­щих­ся с 2, 4 и 6.

Ответ: 2640|6248|8624

509764

2640|6248|8624

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 22.04.2015 ва­ри­ант МА10407.

28. Трёхзначное число при де­ле­нии на 10 даёт в остат­ке 3. Если по­след­нюю цифру числа пе­ре­не­сти в на­ча­ло его записи, то по­лу­чен­ное число будет на 72 боль­ше первоначального. Най­ди­те ис­ход­ное число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид

Тогда условие записывается так:

Подставив значение в третье выражение и преобразовав его, получим, что

Подходит только пара .

Таким образом, условиям задачи удовлетворяет число 253.

Ответ: 253

506312

253

Источник: РЕШУ ЕГЭ

29. Приведите при­мер четырёхзначного числа А, об­ла­да­ю­ще­го сле­ду­ю­щи­ми свойствами:

1) сумма цифр числа А де­лит­ся на 8;

2) сумма цифр числа (А + 2) также де­лит­ся на 8;

3) число А мень­ше 3000.

В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид . Если , то сумма цифр в новом числе будет на 2 больше, чем в исходном, и обе они не могут де­лить­ся на 8. Значит, . Рас­смот­рим те­перь 3 случая:

1) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 7.

2) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 16.

3) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 25.

 

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида . Так как , не­слож­но вы­пи­сать все варианты: 1698, 2598, 1599, 2499.

Ответ: 1698|2598|1599|2499

506291

1698|2598|1599|2499

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 120911.

30. Приведите при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 1 и 2 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 24, то оно также де­лит­ся на 3 и на 8.

Число де­лит­ся на 8 тогда и толь­ко тогда, когда три его по­след­ние цифры об­ра­зу­ют число, ко­то­рое де­лит­ся на 8. Пе­ре­брав трёхзначные числа из 1 и 2, получим, что толь­ко 112 де­лит­ся на 8. Это число об­ра­зу­ет по­след­ние три цифры ис­ко­мо­го числа.

Число де­лит­ся на 3 тогда и толь­ко тогда, когда сумма его цифр де­лит­ся на 3. По­след­ние три цифры 112 дают к сумме 4. Рас­смот­рим пер­вые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ет сумма цифр, рав­ная 5. Троек с дан­ной сум­мой цифр три: 122, 212, 221.

Таким образом, под­хо­дят числа: 122112, 212112, 221112.

Ответ: 122112|212112|221112

506342

122112|212112|221112

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 120912.

31. Приведите при­мер ше­сти­знач­но­го на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое за­пи­сы­ва­ет­ся толь­ко циф­ра­ми 2 и 0 и де­лит­ся на 24. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 24, то оно де­лит­ся на 3 и на 8.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя цифрами, тоже де­лит­ся на 8. Трёхзначных чисел из 0 и 2, де­ля­щих­ся на 8, два: 000 и 200. Это окон­ча­ния ис­ход­но­го числа.

Если число де­лит­ся на 3, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 3.

000 даёт к сумме 0, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 6, то есть это 222.

200 даёт к сумме 2, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это пер­вые цифры, а пер­вая цифра в числе не может рав­нять­ся 0).

Таким образом, ис­ко­мые числа: 220200, 202200, 222000.

Ответ: 220200|202200|222000

506482

220200|202200|222000

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166212.

32. Приведите при­мер шестизначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое записывается толь­ко цифрами 1 и 2 и де­лит­ся на 72. В от­ве­те укажите ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 72, то но де­лит­ся на 8 и на 9.

Если число де­лит­ся на 8, то число, об­ра­зо­ван­ное по­след­ни­ми его тремя цифрами, тоже де­лит­ся на 8. Шестизначных чисел из 1 и 2, де­ля­щиеся на 8 должны заканчиваться тройкой цифр 112.

Если число де­лит­ся на 9, то сумма его цифр тоже де­лит­ся на 9.

112 даёт к сумме 4, то есть сумма пер­вых цифр долж­на рав­нять­ся 5, то есть должна состоять из перестановок двух двоек и единицы.

Таким образом, ис­ко­мые числа: 122112, 212112, 221112.

 

Ответ: 122112, 212112 или 221112.

Ответ: 122112|212112|221112

506585

122112|212112|221112

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 137752.

33. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая слева цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

По мо­ду­лю 5 и 8 число имеет оди­на­ко­вые остатки. Оно будет иметь тот же оста­ток и при де­ле­нии на 40. Этот оста­ток боль­ше нуля и мень­ше пяти. Пусть наше число имеет вид , тогда имеем:

 

 

Заметим, также, что искомое число должно быть чётным. Переберём все варианты, их четыре: 564, 684.

 

Ответ: 564; 684.

Ответ: 564|684

506442

564|684

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166083.

34. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 600, ко­то­рое при де­ле­нии на 4, на 5 и на 6 даёт в остат­ке 3 и цифры ко­то­ро­го расположены в по­ряд­ке убывания слева направо. В от­ве­те укажите ровно одно такое число.

Пояснение.

Так как число даёт одинаковый остаток по модулям 4, 5 и 6, то оно также даёт такой же остаток и по модулю 60. То есть число имеет вид Все такие числа: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Из них подходят под последнее условие только 843 и 963.

Ответ: 843|963

506772

843|963

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 153693.

35. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 4 и на 5 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Раз число даёт один и тот же остаток по модулю 3, 4 и 5, то оно даёт такой же остаток и по модулю . А значит, число имеет вид Все числа, удовлетворяющие этому неравенству: 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962. Из них удовлетворяют условию про две различные цифры: 662, 722.

Ответ: 662|722

506645

662|722

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 152741.

36. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 1 и цифры ко­то­ро­го рас­по­ло­же­ны в по­ряд­ке убы­ва­ния слева направо. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число имеет одинаковые остатки по каким-то модулям, то оно имеет такой же остаток по модулю, являющемуся НОК этих модулей. То есть в данном случае по модулю 105. Тогда наше число . Переберём все возможные варианты: 106, 211, 316, 421, 526, 631, 736, 841, 946. Условиям задачи удовлетворяют числа 421, 631 и 841.

 

Ответ: 421; 631; 841.

Ответ: 421|631|841

506605

421|631|841

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 137753.

37. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 3, на 5 и на 7 даёт в остат­ке 2 и в за­пи­си ко­то­ро­го есть толь­ко две раз­лич­ные цифры. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Так как число даёт оди­на­ко­вые остат­ки по мо­ду­лям 3, 5 и 7, то оно также даёт такой же оста­ток по мо­ду­лю 105. То есть число имеет имеет вид . Все такие числа: 107, 212, 317, 422, 527, 632, 737, 842, 947. Под по­след­нее усло­вие под­хо­дят толь­ко числа 212, 422 и 737.

Ответ: 212|422|737

506854

212|422|737

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166704.

38. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 6 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Найдём все трёхзначные числа, большие пятисот, такие, что средняя цифра равна среднему арифметическому крайних. Пусть первая цифра числа 5, тогда если последняя цифра чётная, то средняя — не целое число. Следовательно, последняя цифра должна быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Среднюю цифру находим как среднее арифметическое крайних. Получаем: 531, 543, 555, 567, 579.

Рассуждая аналогично, находим оставшиеся трёхзначные числа, обладающие этим свойством: 630, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.

Определим, какие из найденных чисел дают одинаковые остатки при делении на 5 и на 6. Это числа 543 (остаток 3), 630 (остаток 0), 753 (остаток 3), 840 (остаток 0), 963 (остаток 3).

Ненулевые равные остатки дают числа 543, 753, 963.

Ответ: 543|753|963

506462

543|753|963

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166084.

39. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, боль­ше­го 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные ненулевые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го является сред­ним арифметическим край­них цифр. В от­ве­те укажите ровно одно такое число.

Пояснение.

Число даёт одинаковые остатки при делении на 5 и 8. Значит, оно даёт такой же остаток и по модулю 40. То есть число имеет вид Первая цифра не меньше 5. Первая и последняя цифры в сумме дают чётное число. Разность числа и p делится на 40, то есть число, образованное первыми двумя цифрами, делится на 4. Теперь можно выписать все числа, которые подходят под эти условия: 642, 963.

Ответ: 642|963

506792

642|963

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 153694.

40. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность на­ше­го числа и долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя цифрами, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это значит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. Из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское также следует, что сумма пер­вой и по­след­ней цифры в ис­ход­ном числе чётная. Переберём по­след­нюю и вто­рую цифры, а по ним од­но­знач­но вос­ста­но­вим первую и по­лу­чим числа: 123, 543, 963.

Ответ: 123|543|963

506752

123|543|963

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 153692.

41. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число даёт оди­на­ко­вые остатки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность нашего числа и долж­на делиться на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное первыми двумя цифрами, долж­но делиться на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это значит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из условия на среднее арифметическое следует, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия подходят числа 24, 42 и 60. А соответствующие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

Ответ: 243|423|603

506727

243|423|603

Источник: Копия Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 153691.

42. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и на 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и пер­вая спра­ва цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским двух дру­гих цифр. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число даёт оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, то оно даёт такой же оста­ток и при де­ле­нии на 60. То есть те­перь мы знаем, что на наше число имеет вид То есть раз­ность на­ше­го числа и долж­на де­лить­ся на 60, то есть число, об­ра­зо­ван­ное пер­вы­ми двумя цифрами, долж­но де­лить­ся на 6. А если число де­лит­ся на 6, то оно также де­лит­ся на 2 и на 3. А это значит, что по­след­няя его цифра чётная, а сумма цифр де­лит­ся на 3. А из усло­вия на сред­нее ариф­ме­ти­че­ское следует, что сумма этих цифр также чётная. Под все эти усло­вия под­хо­дят числа 24, 42 и 60. А со­от­вет­ству­ю­щие им ис­ход­ные числа будут равны 243, 423 и 603.

Ответ: 243|423|603

506814

243|423|603

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166702.

43. Приведите при­мер трёхзначного на­ту­раль­но­го числа, крат­но­го 4, сумма цифр ко­то­ро­го равна их произведению. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы две единицы, то ра­вен­ство невозможно, так как сумма будет боль­ше произведения. То же самое, если еди­ниц нет вообще. В этом слу­чае про­из­ве­де­ние будет слиш­ком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно одна единица. Число де­лит­ся на 4, значит, по­след­няя цифра чётная, а это значит, что про­из­ве­де­ние тоже чётное. А значит, и сумма. И так как по­след­няя цифра чётная, то остав­ши­е­ся две цифры долж­ны быть одной чётности. А так как мы выяснили, что среди цифр есть ровно одна единица, то эти числа нечётные. Под эти огра­ни­че­ния подходят числа: 132, 136, 152, 156, 172, 176, 192, 196, 312, 316, 512, 516, 712, 716, 912, 916, из ко­то­рых удовлетворяют всем усло­ви­ям только числа 132 и 312.

Ответ: 132|312

506874

132|312

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 167692.

44. Приведите при­мер четырёхзначного числа, крат­но­го 12, про­из­ве­де­ние цифр ко­то­ро­го боль­ше 40, но мень­ше 45. В от­ве­те ука­жи­те ровно одно такое число.

Пояснение.

Если число де­лит­ся на 12, то оно де­лит­ся на 3 и на 4. Если число де­лит­ся на 3, то сумма всех его цифр тоже де­лит­ся на 3. Если число де­лит­ся на 4, то число, об­ра­зо­ван­ное двумя по­след­ни­ми его циф­ра­ми тоже де­лит­ся на 4. Пусть наше число имеет вид , тогда усло­вие за­пи­сы­ва­ет­ся так:

 

 

В ин­тер­ва­ле на­хо­дят­ся числа 41, 42, 43, 44. 41 и 43 — простые, а 44 де­лит­ся на 11 — тоже простое. Таким образом, 41, 43 и 44 не подходят, по­то­му что не могут быть пред­став­ле­ны в виде произведения. То есть Два на­бо­ра цифр под­хо­дят как решение: (1, 2, 3, 7) и (1, 1, 6, 7). Но в пер­вом на­бо­ре сумма цифр не крат­на трём, так что он отпадает. Имеем (1, 1, 6, 7). По­след­няя цифра в числе долж­на быть чётной, иначе число не будет де­лить­ся на 4. Осталь­ные цифры могут сто­ять в любом порядке.

Выпишем ис­ко­мые числа: 1176, 1716, 7116.

Ответ: 1176|1716|7116

506502

1176|1716|7116

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166213.

45. Цифры четырёхзначного числа, крат­но­го 5, за­пи­са­ли в об­рат­ном по­ряд­ке и по­лу­чи­ли вто­рое четырёхзначное число. Затем из пер­во­го числа вычли вто­рое и по­лу­чи­ли 1458. При­ве­ди­те ровно один при­мер та­ко­го числа.

Пояснение.

Число де­лит­ся на 5, значит, его по­след­няя цифра или 0, или 5. Но так как при за­пи­си в об­рат­ном по­ряд­ке цифры также об­ра­зу­ют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может на­чи­нать­ся с 0. Пусть число имеет вид . Тогда усло­вие можно за­пи­сать так:

 

 

Второе сла­га­е­мое в левой части де­лит­ся на 10. Значит, за раз­ряд еди­ниц в сумме от­ве­ча­ет толь­ко пер­вое слагаемое. То есть От­ку­да Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние в уравнение, получим, что Пе­ре­брав все пары b и с, ко­то­рые яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­ем этого равенства, вы­пи­шем все числа, яв­ля­ю­щи­е­ся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395.

Ответ: 7065|7175|7285|7395

506834

7065|7175|7285|7395

Источник: Апро­ба­ция ба­зо­во­го ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке, 13—17 октября: ва­ри­ант 166703.

46. Найдите четырёхзначное на­ту­раль­ное число, мень­шее 1360, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть - ис­ко­мое число ( - число тысяч, - число сотен, - число десятков, - число единиц) . По усло­вию . Кроме того, . Про­ана­ли­зи­ру­ем теперь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на стоять на 4-м месте. Это про­сто понять из того, что при­знак делимости на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-нибудь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но признаку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит условию задачи.

Первая цифра - единица. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число мень­ше 1360.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 1,2,3. Но число 1 уже было, по­это­му на 2-м месте могут сто­ять цифры 2 и 3.

Если на вто­ром месте цифра 2, то число долж­но делиться на 2, т.е. чет­вер­том месте обя­за­тель­но должно сто­ять четная цифра - 4,6,8.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 4, то по­след­ние две цифры числа долж­ны делиться на 4: 14 (не может быть), 24 (не может быть), 34 (не может быть), 44 (не может быть), 54 (не может быть), 64 (тогда число долж­но делиться на 3; при­знак делимости 3 - сумма цифр де­лит­ся на 3, по­это­му проверим по­лу­чив­ше­е­ся число 1264: 1+2+6+4=13 - не подходит), 74 (не может быть), 84 (число долж­но будет де­лить­ся на 8, то есть три по­след­ние цифры числа долж­ны составлять число, ко­то­рое делится на 8: 284 не де­лит­ся на 8 без остатка), 94 (не может быть)

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 6, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3. У нас есть сумма трех цифр: 1+2+6=9. Таким образом, на тре­тьем месте может сто­ять цифра 3, и 9 (обе цифры подходят, по­сколь­ку сумма цифр в этом слу­чае будет делиться, как на 3 и 6, так на 3 и 9. Таким образом, мы нашли числа 1236, 1296.

Если число окан­чи­ва­ет­ся на 8, то по­след­ние три цифры числа долж­ны делиться на 8. Мы имеем число в общем виде 2х8, где х - число десятков. 248 де­лит­ся на 8, а также по­след­ние две цифры де­лят­ся на 4. Таким образом, число 1248 - одно из ис­ко­мых чисел.

Если на вто­ром месте цифра 3, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим варианты:

4+x+y=21 (x=8, y=9 не подходят, так как число долж­но быть мень­ше 1360)

4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - не подходит, так как если число 5 будет сто­ять на конце, то ис­ко­мое число будет боль­ше 1360, x=6,y=8 - не подходит, x=7,y=7 - не подходит)

4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)

4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - число 1326 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)

4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - не подходит)

4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)

4+x+y=3 (x+y=1 - не возможно, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Таким образом, это еще одно най­ден­ное число - 1326

Ответ: 1236, 1296, 1248, 1326

Ответ: 1236|1296|1248|1326

510695

1236|1296|1248|1326

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по математике 20.01.2016 ва­ри­ант МА10305.

47. Найдите на­ту­раль­ное число, боль­шее 1340, но мень­шее 1640, ко­то­рое де­лит­ся на каж­дую свою цифру и все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и не равны нулю. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть - ис­ко­мое число ( - число тысяч, - число сотен, - число десятков, - число единиц) . По усло­вию . Кроме того, . Про­ана­ли­зи­ру­ем теперь то, что ис­ко­мое число де­лит­ся на каж­дую свою цифру.

Если ис­ко­мое число со­дер­жит цифру 5, то эта цифра долж­на стоять на 4-м месте. Это про­сто понять из того, что при­знак делимости на 5 - это 0, или 5 на конце числа. Если цифра 5 будет сто­ять где-нибудь не на по­след­нем месте, то тогда, со­глас­но признаку де­ли­мо­сти 5, еще одна 5 будет сто­ять в конце числа, а это про­ти­во­ре­чит условию задачи.

Первая цифра - единица. Это оче­вид­но из того, что ис­ко­мое число боль­ше 1340 и мень­ше 1640.

На вто­ром месте могут сто­ять цифры 3,4,6.

Если на вто­ром месте стоит цифра 3, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3. Сумма пер­вых двух цифр: 1+3=4. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая делится на 3, может быть мак­си­мум 21. Рас­смот­рим варианты:

4+x+y=21 (x=8, y=9: 1389 - не подходит, так как не де­лит­ся на 8, 1398 - не де­лит­ся на 9)

4+x+y=18 (x+y=14: x=5,y=9 - 1395 - число де­лит­ся на 3, на 9 и на 5, x=6,y=8 - 1368 - число де­лит­ся на 3, на 6. на 8, x=7,y=7 - не подходит)

4+x+y=15 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)

4+x+y=12 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - 1362- число де­лит­ся на каж­дую из своих цифр, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)

4+x+y=9 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - не подходит)

4+x+y=6 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)

4+x+y=3 (x+y=1 - не возможно, в связи с тем, что ни одна из цифр нулю не равняется.

Если на вто­ром месте цифра 4, то по­след­ние две цифры долж­ны делиться на 4. Среди таких чисел (без по­вто­ря­ю­щих­ся цифр): 28 (не подходит), 32 (не подходит), 36 (не подходит), 68 (не подходит), 72 (не подходит), 76 (не подходит), 82 (не подходит), 86 (не подходит), 98 (не подходит).

Если на вто­ром месте стоит цифра 6, то сумма цифр числа долж­на делиться на 3 и, кроме того, число долж­но оканчиваться на чет­ную цифру. Сумма пер­вых двух цифр 1+6=7. Тогда сумма всех 4 цифр, ко­то­рая делится на 3, может быть мак­си­мум 24. Рас­смот­рим варианты:

7+x+y=24 (x+y=17, x=8, y=9 не подходят, так как число долж­но быть мень­ше 1640)

7+x+y=21 (x+y=14: x=5,y=9 - не подходит, x=6,y=8 - не подходит, x=7,y=7 - не подходит)

7+x+y=18 (x+y=11: x=2,y=9 - не подходит, x=3,y=8 - не подходит, x=4,y=7 - не подходит, x=5,y=6 - не подходит)

7+x+y=15 (x+y=8: x=7,y=1 - не подходит, x=2,y=6 - не подходит, x=3,y=5 - не подходит, x=4,y=4 - не подходит)

7+x+y=12 (x+y=5: x=4,y=1 - не подходит, x=3, y=2 - число 1632 де­лит­ся на каж­дую из своих цифр)

7+x+y=9 (x+y=2: x=1,y=1 - не подходит)

Ответ: 1395, 1368, 1362, 1632

Ответ: 1362|1395|1368|1632

510715

1362|1395|1368|1632

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 20.01.2016 ва­ри­ант МА10306.

48. Найдите трёхзначное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свойствами:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 5;

· сумма цифр числа (A + 4) де­лит­ся на 5;

· число A боль­ше 350 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть наше число имеет вид 3yz. Если , тогда, при­бав­ляя 4, получим, что в новом числе сумма цифр из­ме­нит­ся на 4 по срав­не­нию с сум­мой цифр в ис­ход­ном числе, и тогда эти оба числа не смо­гут де­лить­ся на 5. Значит,

Рассмотрим два случая.

1) : перейдёт в , сумма цифр из­ме­нит­ся на 14.

2) : перейдёт в , сумма цифр из­ме­нит­ся на 5.

Во вто­ром слу­чае сумма цифр будет от­ли­чать­ся на 5, то есть также будет де­лить­ся на 5.

Таким образом, ис­ко­мые числа: 357, 366, 389.

 

Ответ: 357, 366, 389.

Ответ: 357|366|389

510735

357|366|389

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по математике 03.03.2016 ва­ри­ант МА10401.

49. Найдите трёхзначное число A, об­ла­да­ю­щее всеми сле­ду­ю­щи­ми свойствами:

· сумма цифр числа A де­лит­ся на 4;

· сумма цифр числа (A + 2) де­лит­ся на 4;

· число A боль­ше 200 и мень­ше 400.

В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Пусть число имеет вид . Если , то сумма цифр в новом числе будет на 2 больше, чем в исходном, и обе они не могут де­лить­ся на 4. Значит, . Рас­смот­рим те­перь 2 случая:

1) Число перейдёт в (для ) или в (для ) , сумма из­ме­нит­ся на 16

2) Число перейдёт в , сумма из­ме­нит­ся на 7.

 

Итак, усло­ви­ям за­да­чи удо­вле­тво­ря­ют числа вида . Так как , не­слож­но найти такие числа: 299, 398

 

Ответ: 299, 398.

Ответ: 299|398

510755

299|398

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 03.03.2016 ва­ри­ант МА10402.

50. Найдите че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66, все цифры ко­то­ро­го раз­лич­ны и четны. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь такое число.

Пояснение.

Наименьшее че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 66, — число 1056. Чтобы пер­вая цифра была чет­ной удвоим его, по­лу­чим 2112, до­ба­вим 66 · 2 = 132, чтобы и вто­рая цифра стала четной, по­лу­чим 2244, и будем до­бав­лять по 66 до тех пор, цифры не ста­нут различными. До­ба­вив 6 раз, по­лу­чим 2640. (Возможны и дру­гие примеры.)

Ответ: 2640|2046|6204|6402|4026|2046|4620

510905

2640|2046|6204|6402|4026|2046|4620

Источник: Пробный эк­за­мен по базовой математике Санкт-Петербург 05.04.2016. Ва­ри­ант 1.

51. Найти че­ты­рех­знач­ное число, крат­ное 44, любые две со­сед­ние цифры ко­то­ро­го от­ли­ча­ют­ся на 1. В от­ве­те ука­жи­те любое такое число.

Пояснение.

Одно из че­ты­рех­знач­ных чисел, крат­ных 44, равно 1012, оно удо­вле­тво­ря­ет условию.

 

Ответ: 1012 или 3432, или 5456, или 3212, или 1232, или 5676, или 7876, или 7656.

Ответ: 1012|3432|5456|3212|1232|5676|7876|7656

510925

1012|3432|5456|3212|1232|5676|7876|7656

Источник: Проб­ный эк­за­мен Санкт-Петербург по базовой математике 05.04.2016. Ва­ри­ант 2.

52. Найдите трёхзначное на­ту­раль­ное число, боль­шее 500, ко­то­рое при де­ле­нии на 8 и на 5 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-

нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 8 и на 5, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 40, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше пяти. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не боль­ше 500

При : 521, 522, 523, 524. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 641, 642, 643, 644. Число 642 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи.

При : 961, 962, 963, 964. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи.

Ответ: 642|963

510972

642|963

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.04.2016 ва­ри­ант МА10501.

53. Найдите трёхзначное на­ту­раль­ное число, ко­то­рое при де­ле­нии на 4 и 15 даёт рав­ные не­ну­ле­вые остат­ки и сред­няя цифра ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр. В от­ве­те ука­жи­те какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Число имеет оди­на­ко­вые остат­ки при де­ле­нии на 4 и на 15, сле­до­ва­тель­но, число имеет тот же оста­ток при де­ле­нии на 60, причём этот оста­ток не равен нулю и мень­ше 4. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое число может иметь вид: .

При . Ни одно из чисел не трехзначное

При : 121, 122, 123. Число 123 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи

При : 181, 182, 183. Сред­няя цифра не яв­ля­ет­ся сред­ним ариф­ме­ти­че­ским край­них цифр

При : 541, 542, 543. Число 543 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи

При : 961, 962, 963. Число 963 удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям задачи

Ответ: 123, 543, 963

Ответ: 123|543|963

510992

123|543|963

Источник: СтатГрад: Тре­ниро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 27.04.2016 ва­ри­ант МА10502.

54. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Пояснение.

Так как число должно делиться на 12, то должно делиться на 2 и на 6 (на 6, на 2 и на 3), т. е. число должно быть чётным и сумма цифр должна делиться на 3.

Таким образом, зачеркнём последнюю цифру, останется 2346214. Сумма цифр равна 22. Т. к. делится на 3, то это может быть 21, но для этого вычёркивается только одна цифра 1, а нужно вычеркнуть две цифры. Другим числом может быть число 18, для этого вычеркнем 2 цифры. Это могут быть 3 и 1 (т. к. 22 − 18 = 4). Получим число 24624.

 

Ответ: 24624.

Ответ: 24624|23424

511429

24624|23424

Источник: Пробный экзамен Саратов 2016. Вариант 1.

55. Найдите пятизначное натуральное число, кратное 5, сумма цифр которого равна их произведению. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.