Задачи по Магницкому

«Экономическая грамотность» по Магницкому

В последнее время много разговоров ведётся вокруг всяких «грамотностей», среди которых упоминается и экономическая. Решать задачи, связанные с торговыми расчётами, — это давняя традиция у каждого народа. Есть древние письменные источники из Вавилона, Китая, Греции. В России были математические рукописи и наиболее известная «Арифметика» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г.).

В то время в Европе и в России было принято обучать вычислениям в процессе решения задач про то, как купцы складывали деньги «в купечество», т. е. в закупку товаров, продавали эти товары, делили прибыль пропорционально вкладу каждого купца. При этом Л.Ф. Магницкий не обращал внимания на то, что ответы в некоторых задачах получались далёкими от реальности, например, 5 и 6 рубля — такие суммы было невозможно выплатить ходившими в то время в обращении деньгами. Скорее всего, Л.Ф. Магницкий считал, что учащиеся должны освоить план решения таких задач и научиться вычислять с любыми дробями. Тогда решали задачи на части, на деление числа в данном отношении и другие.

Ниже приведены 7 задач из «Арифметики» Л.Ф. Магницкого, которые интересно решать в любом возрасте, чтобы почувствовать стиль обучения математике того времени. Даже старшеклассникам полезно поломать над ними голову задолго до того, как они обратятся к списку экономических задач № 17 из ЕГЭ.

Задача 1. Два человека хотят 12 рублей делить, чтобы первому взять , а второму . Спрашивается, сколько из тех 12 рублей достанется каждому.

Замечание 1. Во времена Магницкого ещё не использовали вопросительного знака, писали так: «Ведательно есть, сколько…».

Замечание 2. Здесь не берут и от 12 рублей. Эту сумму надо разделить так, чтобы первому досталось части, а второму части, т. е. 12 рублей делят в отношении : .

Решение. Разделим 12 рублей в отношении : = 8 : 9,

1) = 5 (рубля) — достанется первому,

2) 12 – 5 = 6 (рубля) — достанется второму.

Ответ. 5 и 6 рубля.

Вот ещё одна задача на деление числа в данном отношении с «непрактичным» ответом.

Задача 2. Два человека подрядились колодец копать. Денег взяли 7 рубля. Первый компаньон выкопал в глубину 4 сажени, второй до текущего ключа ещё три сажени. Спрашивается, сколько каждому компаньону из тех 7 рубля взять.

Ответ. 4 и 3 рубля.

Опустим решение ещё одной простой задачи.

Задача 3. Разделите на три части 300 рублей так, чтобы первая часть составила без 20 рублей, вторая — с 10 рублями, третья — без 15 рублей. Спрашивается, сколько будет в каждой части.

Ответ. 130, 110 и 60 рублей.

Задача 4. Три человека сложили денег в купечество, из них первый положил неизвестную сумму, второй положил 6 кусков сукна, а третий положил 30 рублей. Из прибыли в 24 рубля первый взял 6 рублей, второй взял 8 рублей. Спрашивается, сколько первый положил денег и сколько стоило сукно.

Решение. 1) 24 – (6 + 8) = 10 (руб.) — прибыль третьего купца.

Деньги были вложены на одинаковый срок, полученные доходы пропорциональны вложенным суммам денег. То есть купцы вложили суммы, пропорциональные числам 6, 8, 10, или 3, 4, 5. Они вложили 3 части, 4 части и 5 частей (каждая часть содержит одно и то же число рублей).

2) 30 : 5 = 6 (руб.) — приходится на 1 часть,

3) 6 3 = 18 (руб.) — вложил первый купец,

4) 6 4 = 24 (руб.) — вложил второй купец (стоимость сукна).

Ответ. 18 руб., 24 руб.

Ох, нелёгкая это работа — решать задачи во времена Л.Ф. Магницкого! Приведём запись решения из «Арифметики», используя современный шрифт. Попробуйте найти в ней наши действия. Оказывается, тогда задача решалась значительно сложнее.

На рисунке встречаются две записи умножения столбиком 30 6 = 180 и
30 8 = 240. Записи с зачёркнутыми цифрами и фигурной скобкой — это аналог современной записи деления уголком: 180 : 10 = 18 и 240 : 10 = 24.

А
теперь поясним старинное решение, двигаясь по строчкам вниз, все вычисления в рублях.

Из 24 прибыли 6 получил первый, 8 получил второй, а вместе 14 (ниже). Вычитаем столбиком 24 – 14 = 10 — получил третий. Дальше запись трёх чисел в строку с длинными линиями читается так: 10 пришло из 30, из 6 сколько придёт? Применяем тройное правило: «Заметь ещё числа, стоящие сзади и спереди. Надо стоящее сзади число помножить на среднее и [результат] разделить на переднее». Умножаем и делим по «правилу»:

30 6 = 180 и 180 : 10 = 18.

Дальше ещё раз применяем тройное правило:

30 8 = 240 и 240 : 10 = 24.

Тройное правило применяли последователи Л.Ф. Магницкого, включая А.П. Киселёва, для решения задач на прямую и обратную пропорциональность. Позже их научились решать проще, с помощью пропорции:

10 — 30 10 : 6 = 30 : x,

6 — x 10x = 30 6,

x = 18.

Давайте дальше применять современные методы к решению старинных задач, опираясь на идеи, заложенные в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого.

Задача 5. Три человека сложили денег в купечество. Первый положил 19 рублей 2 гривенника. Второй положил 2 рубля и слиток серебра, а третий положил некоторую сумму денег. Приторговали 100 рублей. Из прибыли первый взял 16 рублей, второй взял 24 рублей, третий взял 60 рублей. Спрашивается, за сколько второй положил слиток серебра и сколько третий положил денег (1 гривенник = 10 коп.).

Замечание. Во времена Магницкого не использовали десятичных дробей. При решении этой задачи, видимо, переводили все суммы в копейки.

Решение. Деньги были вложены на одинаковый срок, полученные доходы пропорциональны вложенным суммам денег. То есть купцы вложили суммы, пропорциональные числам 16, 24, 60, или 4, 6, 15. Они вложили 4 части, 6 частей и 15 частей (каждая часть содержит одно и то же число рублей).

1) 19,2 : 4 = 4,8 (руб.) — приходится на 1 часть,

2) 4,8 6 = 28,8 (руб.) — вложил второй купец,

3) 28,8 – 2 = 26,8 (руб.) — стоимость серебра,

4) 4,8 15 = 72 (руб.) — вложил третий купец.

Ответ. 26,8 руб., 72 руб.

Задача 6. Два человека сложили в купечество денег. Первый положил 20 рублей на 12 месяцев, второй — неизвестную сумму денег на 5 месяцев, а прибыли первый взял рубля, а второй — рубля. Спрашивается, сколько второй положил денег.

Замечание. Задача интересна тем, что прибыль купцов была слишком мала (3 % за год), а также тем, что деньги вкладывались на разные сроки. Она решалась при помощи переформулировки, т. е. составления новой задачи про вложение денег на одинаковый срок.

Решение. Чтобы получить тот же доход за 1 месяц, первый должен вложить в 12 раз больше денег, т. е. 240 рублей, а второй — в 5 раз больше. Будем считать, что 240 рублей первого купца и 5 сумм второго купца вложены на 1 месяц. Так как отношение доходов равно : = 3 : 2, то первый вложили 3 части, а второй 2 части (каждая часть содержит одно и то же число рублей).

1) 240 : 3 = 80 (руб.) — приходится на 1 часть,

2) 80 2 = 160 (руб.) — вложил второй купец из расчёта на 1 месяц,

3) 160 : 5 = 32 (руб.) — вложил второй купец.

Ответ. 32 руб.

Задача 7. Три человека сложили в купечество денег. Первый положил 30 рублей на 10 месяцев, второй — неизвестную сумму денег на 6 месяцев, третий — тоже неизвестную сумму денег на 5 месяцев, а прибыли первый взял , а второй — . Спрашивается, сколько второй и третий денег положили.

Решение. Если бы первый вложил в 10 раз больше денег, т. е. 300 рублей, то тот же доход получил за 1 месяц. Если бы второй вложил в 6 раз, а третий — в 5 раз больше денег, то тот же доход они получили бы за 1 месяц.

1) = = — часть дохода, полученная первым и вторым купцами,

2) 1 – = — часть дохода, полученная третьим купцом.

Так как отношение доходов равно 5 : 3 : 7, то купцы вложили 5, 3 и 7 частей соответственно (каждая часть содержит одно и то же число рублей).

3) 300 : 5 = 60 (руб.) — приходится на 1 часть,

4) 60 3 = 180 (руб.) — вложил второй купец из расчёта на 1 месяц,

5) 180 : 6 = 30 (руб.) — вложил второй купец на 6 месяцев,

6) 60 7 = 420 (руб.) — вложил третий купец из расчёта на 1 месяц,

7) 420 : 5 = 84 (руб.) — вложил третий купец на 6 месяцев,

Ответ. 30 и 84 руб.

2