Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы охватывают большой круг ситуаций:

• смешение товаров разной цены;
• смешение жидкостей с различным содержанием соли;
• смешение кислот разной концентрации;
• сплавление металлов с разным содержанием некоторого металла.

Основные сведения

При решении текстовых задач на смеси и сплавы постоянно приходится работать со следующими понятиями.

Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в обычных единицах измерения (граммах, литрах и т.д.).

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания к общей массе (объему) смеси, т.е.

абсолютное содержание

Относительное содержание =

общая масса

Часто относительное содержание называют концентрацией или процентным содержанием, а абсолютное содержание - количество чистого вещества.

Алгоритм1. Арифметический способ решения

При образовании смеси складываются абсолютные содержания. Поэтому, если известны только относительные содержания, то нужно:

• подсчитать абсолютные содержания компонентов каждой смеси;
• сложить абсолютные содержания, то есть подсчитать абсолютные содержания компонентов полученной смеси;
• найти массу полученной смеси;
• подсчитать относительное содержание компонентов полученной смеси.
• Записать ответ.

Задача 1. Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300г, содержит 20% олова. Второй, массой 200г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков?

Решение.

• 300 • 20 : 100 = 60 (г) - олова в первом сплаве, 200 • 40 : 100 = 80 (г) - олова во втором сплаве ;
• 60 + 80 = 140 (г) - олова в двух сплавах вместе;
• 200 + 300 = 500 (г) – масса куска после сплавления;
• 140 : 500 • 100 = 28% -содержится олова после сплавления.

200г

40% олова

300г

Ответ: 28%.

20% олова

Проверь себя

• Смешали 300г 50%-го и 100г 30%-го раствора кислоты. Определите процентное содержание кислоты в полученной смеси.
• (Из «Арифметики» А.П. Киселева) 30 ведер вина в 48 градусов смешано с 24 ведрами вина в 36 градусов. Сколько градусов в смеси? (Число градусов означает процентное содержание чистого спирта в вине)
• Имеется чай двух сортов – по 80р. И 120р. За 1кг. Смешали 300г первого и 200 г второго сорта. Определите цену 100г полученной смеси.
• (Из «Арифметики» А.П. Киселева) Смешано три сорта муки: 15 фунтов по 8к., 20фунтов по 7к. и 25 фунтов по 4к. за фунт. Что стоит фунт смеси?
• Сплавили 2 кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6 кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

Алгоритм2. Применение линейного уравнения

При составлении уравнения прослеживается содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые сплавляются (смешиваются) и т.д.

• Обозначить неизвестную величину через х.
• Составить уравнение по условию задачи.
• Решить получившееся уравнение.
• Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
• Записать ответ.

Задача 2 . Сколько литров воды надо добавить к 20 литрам 5% раствора соли, чтобы получить 4% раствор?

Решение.

Пусть количество добавленной воды – х (л),

тогда масса нового раствора – 20+х (л),

20×0,05=1(л)- содержится соли в 20 литрах 5% раствора.

Имеем : соли 1 (л) это 4%,

раствора 20+х (л) это 100 %.

Составим и решим уравнение:

20 (л)

5% соли

Ответ: 5 литров воды надо добавить.

Проверь себя.

• У торговца имеется два бочонка вина: емкостью 40л и емкостью 10л. Цены вина за литр различны, но неизвестны. По какому одинаковому количеству вина надо взять из каждого бочонка и перелить в другой бочонок, чтобы цена вина за литр в двух бочонках сравнялась.

• Имеется кусок сплава меди с оловом 12кг содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получился новый сплав содержащий 40% меди?
• Из сосуда, содержащего 54л чистой кислоты, вылили несколько литров и после этого долили сосуд водой до прежнего объема. Затем из сосуда вылили смеси столько же литров, как и в первый раз. В результате в смеси, оставшейся в сосуде, осталось чистой кислоты 24л. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Алгоритм 3. Применение систем линейных уравнений

• Обозначить одну неизвестную величину через х, другую неизвестную величину через у.
• Составить систему двух линейных уравнений по условию задачи.
• Решить получившуюся систему уравнений.
• Перейти к условию задачи (ответить на вопрос).
• Записать ответ.

Задача 3 . Имеется два раствора поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50%-й раствор. Если же слить вместе 300г первого раствора и 200г второго, то получится 42%-й раствор. Найти концентрацию второго раствора.

Решение.

Пусть процентное содержание соли

в первом растворе – х %,

а во втором растворе – у %.

Составим и решим систему уравнений:

х + 2у = 0,5·(100+200),

3х + 2у = 0,42(300+200);

х + 2у = 150,

3х + 2у = 210;

х = 30,

у = 60.

100 (г)

200 (г )

Ответ: 60% концентрация второго раствора.

Проверь себя.

• В сосуде было 12 л чистого спирта. Часть спирта отлили и сосуд долили водой. Затем отлили ещё столько же и опять долили водой. Сколько (в литрах) отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25%-й раствор спирта?
• В каждой из двух бочек содержится по 10 вёдер смеси спирта с водой. На 3 части воды приходится в первой бочке 7 частей спирта, а во второй- 2 части спирта. По сколько вёдер нужно взять из этих бочек для составления новой смеси, содержащей спирт и воду в отношении 5:3, чтобы из оставшейся в бочках смеси получить смесь, в которой спирта и воды поровну?
• Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора – 4л, а другого -6л. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из них первоначальных растворов?
• Имеются два раствора кислоты разной концентрации. Объем одного раствора – 4л, а другого -6л. Если их слить вместе, то получится 35%-ный раствор кислоты. Если же слить равные объемы этих растворов, то получится 36%-ный раствор кислоты. Сколько литров кислоты содержится в каждом из них первоначальных растворов?

Способы решения задач

• с помощью таблиц
• с помощью схем
• старинным арифметическим способом
• алгебраическим способом
• с помощью графика
• построением диаграмм

Задача 1 . Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?

• Решение:

Наименование веществ, смесей

Процентное

содержание вещества

Исходный раствор

70 % = 0,7

Масса

раствора (г)

Вода

Новый раствор

Масса вещества (г)

200

-

8 % = 0,08

0,7·200

х

-

200 + х

0,08(200 + х)

Анализируя таблицу, составляем уравнение :

0,08(200 + х) = 0,7·200

16 + 0,08х = 140

0,08х = 124

х = 1550

Ответ :1,55 кг воды.

Задача 2 . Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Решение:

м

м

м

с

с

с

30%

65%

15%

(200-х) г

200г

Х г

ОТВЕТ :140г, 60г .

Задача 3 Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?

Решение:

При высыхании абрикос испаряется вода, количество сухого вещества не меняется . Схема для решения такой задачи имеет вид:

с.в.

вода

с.в.

вода

вода

=

-

20%

88%

12%

100%

80%

х кг

10 кг

(10-х)кг

Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:

0,2х=8,8

х=44.

Ответ:44кг.

Задача 4 При смешивании 5% -ного раствора кислоты с 40% -ным раствором кислоты получили 140 г 30% -ного раствора. Сколько грамм каждого раствора надо было взять?

Решение: Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре их большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема

5 10

30

40 25

Из неё делается заключение, что 5% раствора следует взять 10 частей, а 40 % - 25 частей. Узнав, сколько приходится на одну часть 140: (10+25) = 4 г., получаем, что 5% - ного раствора необходимо взять 40г, а 40% -ного -100 г

Ответ: 40 г - 5% -ного раствора и 100г - 40% - ного раствора

Задача 6 Рассмотрим прямоугольники с площадями S 1 и S 2 Прямоугольники равновелики, так как количество соляной кислоты в обоих растворах после смешивания одинаково (Масса смеси умножить на концентрацию равно количество чистого вещества.)

• Приравняв площади, равновеликих прямоугольников получаем

15x = 5 (600- x)

15х = 3000 – 5х

15х + 5х = 3000

20х = 3000

Х = 150

600 – 150 = 450г.

• Ответ: 150 г 30% и 450г 10% раствора

Задача 7 . Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найти концентрацию получившегося раствора.

Решение:

До выпаривания:

25% 25% 25% 25%

После выпаривания:

Сейчас соль стала составлять одну треть всего раствора или

Ответ :

соль

вода

вода

вода

соль

вода

вода

Задача 7 . Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найти концентрацию получившегося раствора.

Решение:

До выпаривания:

25% 25% 25% 25%

После выпаривания:

Сейчас соль стала составлять одну треть всего раствора или

Ответ :

соль

вода

вода

вода

соль

вода

вода

Метод Пирсона

при решении задач на смеси и сплавы

Обозначим массу 1-го раствора m 1 , а 2-го m 2 ,

тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс. Массовая доля растворённого вещества в 1-м растворе – ω 1 , во 2-м – ω 2 , а в их смеси – ω 3 .

2 способ (метод Пирсона)

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

10х+30(200-х)=25∙200

10х+6000-30х=5000

20х=1000

х=50

50кг- масса первого сплава, 150кг- масса второго сплава

150-50=100(кг)- На столько килограммов масса первого сплава меньше массы второго.

Ответ:100

Литературные источники.

1. Шевкин А.В. Текстовые задачи. 7-11 классы: Учебное пособие по математике. –М.:Русское слово – РС,2005.

2. Шагин В.Л. Вступительные экзамены по математике в Высшей школе экономики,1995-1996. – М.:Вита-Пресс,1998

3. Семёнова А.Л. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые экзаменационные варианты. -М.: Национальное образование , 2011.

4. Лебедев В.В.,Михайлов П.А.,Ефимова М.В. Пособие по математике для подготовки к вступительному экзамену в Государственную академию управления. -М.:ГАУ,УЦ «АЗЪ»,1998.

5. Математика, № 6, 2006. (Приложение «1 сентября»).