Задачи на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы – подробнее

Концентрация какого-то вещества в растворе – это отношение массы или объема этого вещества к массе или объему всего раствора.

То же самое относится и к сплавам: содержание одного из металлов в сплаве – это отношение массы этого металла к массе всего сплава.

Обычно концентрация измеряется в процентах.

Что такое процент?

Напомню, что это сотая доля числа. То есть, если массу или объем разделить на 100, получим 1% этой массы или объема.

Чтобы вычислить концентрацию в процентах, достаточно полученное число умножить на 100%.

Почему?

Сейчас покажу: пусть масса всего раствора равна M, а масса растворенного вещества (например, соли или кислоты) – m. Тогда один процент от массы раствора равен M100.

Как узнать, сколько таких процентов содержится в числе m?

Просто: поделить число m на этот один процент: mM100=mM⋅100, но ведь mM – это концентрация.

Вот и получается, что ее надо умножить на 100, чтобы узнать, сколько процентов вещества содержится в растворе.

Более подробно о процентах – в темах  “Дроби, и действия с дробями”и “Проценты”.

Поехали дальше.

Масса раствора, смеси или сплава равна сумма масс всех составляющих.

Логично, правда?

Например, если в растворе массой 10 кг содержится 3 кг соли, то сколько в нем воды? Правильно, 7кг.

И еще одна очевидность:

При смешивании нескольких растворов (или смесей, или сплавов), масса нового раствора становится равной сумме масс всех смешанных растворов.

А масса растворенного вещества в итоге равна сумме масс этого же вещества в каждом растворе отдельно.

Например: в первом растворе массой 10 кг содержится 3 кг кислоты, а во втором растворе массой 14 кг – 5 кг кислоты.

Когда мы их смешаем, чему будет равна масса нового раствора?

10+14=24 кг.

А сколько в новом растворе будет кислоты? 3+5=8 кг.

Перейдем к задачам.

Решение задач на смеси и сплавы

Задачи на смеси и сплавы бывают двух основных видов:

• Две смеси определенной массы с некоторой концентрацией вещества сливают вместе. Нужно определить массу и концентрацию этого вещества в новой смеси.

• В некоторый раствор, с некоторой концентрацией вещества, добавляют, например, чистую воду (с нулевой концентрацией этого вещества). Нужно определить, какой стала концентрация вещества.

Строго говоря, подход к решению от этого не меняется.

Во втором случае мы тоже смешиваем две смеси, просто в одной концентрация вещества больше 0, а в другой равна 0.

Давай попробуем решить несколько задачек. Попробуй решить каждую самостоятельно, а если не получится – посмотри в решение.

Задача №1

В 5% раствор кислоты массой 3,8 кг добавили 1,2 кг чистой воды. Чему стала равна концентрация раствора (в процентах)?

Решение

• Для начала вычислим, сколько кислоты содержится в 5% растворе. Из 3,8 кг 5% – это кислота, а значит в растворе 0,05⋅3,8=0,19 кг кислоты

• Далее определим массу нового раствора. Как мы уже знаем – масса раствора равна массе его составляющих, т.е. 3,8 кг + 1,2 кг = 5 кг

• Поскольку в чистой воде кислоты нет, то в новом растворе количество кислоты не изменилось – 0,19 кг. Таким образом, концентрация кислоты стала равна 0,195=0,038

• Теперь выразим концентрацию в процентах – 0,038⋅100%=3,8%

Ответ: 3,8.

Теперь давай попробуем решить задачу посложнее.

Задача №2

Смешали 3 кг 5%-го водного раствора щелочи и 7 кг 15%-го. Какова концентрация вновь полученного раствора? Ответ дайте в процентах.

Решение

Давай попробуем визуализировать ситуацию. 3 кг 5% водного раствора. Значит воды в этом растворе 95%.

После смешивания, вновь получившийся раствор будет весить 3 кг + 7 кг = 10 кг. Обозначим количество щелочи в новом растворе за x, а количество воды – (10−x):

Из картинки видно, что количество щелочи в новом растворе равно сумме весов кислоты в старых растворах: x=0,15+1,05=1,2 кг кислоты.

Теперь, зная количество щелочи в новом растворе и зная его массу, мы можем легко определить концентрацию:

1,210=0,12

Поскольку ответ просят дать в процентах – умножим на 100% –0,12⋅100%=12%.

Ответ: 12.

Эту визуализацию удобно использовать в любых задачах на растворы, смеси и сплавы.

Задача №4

Имеются два сплава серебра с медью. В первом содержится 10% серебра, во втором – 25%. Сколько килограмм второго сплава нужно добавить к 10кг первого, чтобы получить сплав с 20% содержанием серебра?

Решение:

1. Обозначим за x искомый вес второго сплава, а за y – массу получившегося сплава.

2. Масса серебра в первом сплаве –10%⋅10 кг=0,1⋅10 кг=1 кг, во втором–25%⋅x=0,25x, в новом сплаве –20%⋅y=0,2y.

3. Теперь у нас есть система уравнений, решив которую найдем искомый x:     {10+x=y1+0,25x=0,2y     ⇒{10+x=y1+0,25y=0,2(10+x)⇒⇒{10+x=y1+0,25x=2+0,2x⇒{10+x=y0,25x−0,2x=2−1⇒{10+x=y0,05x=1            ⇒{y=30x=20

4. Получается, добавив в 10 килограммов 10% сплава, 20 килограммов 25% сплава – мы получим 30 килограммов 20% сплава.

Ответ: 20.