Задачи на семинар

Задание 5.В-5  На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t.

Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения.

1) В точке D ускорение тела и его скорость направлены в противоположные стороны.

2) На участке CD модуль скорости тела монотонно увеличивается.

3) Проекция перемещения тела на ось Ох при переходе из точки А в точку С отрицательна.

4) В точке В проекция ускорения тела на ось Ох отрицательна.

5) В точке А проекция скорости тела на ось Ох отрицательна

Решение.

Скорость – это производная от перемещения тела, следовательно, значение скорости в той или иной точке равно угловому коэффициенту касательных, проведенных в них.

1) В точке D производная положительна (возрастание графика x(t)), значит, скорость положительна. Кроме того, видим ускорение увеличения координаты x со временем, следовательно, ускорение также положительно.

2) На участке CD в точке C производная отрицательна, а в точке D – положительна, а координата x плавно меняется. Следовательно, скорость постоянно (монотонно) увеличивается. Но модуль скорости будет сначала уменьшаться, а потом, увеличиваться.

3) Да, так как точка A по оси x выше точки C, то результирующее перемещение отрицательно.

4) В самой точке B касательная параллельна оси времени t, значит, скорость равна 0. Вместе с тем, при увеличении t координата x уменьшается, значит, скорость становится отрицательной под действием отрицательного ускорения.

5) В точке А скорость положительна (производная больше 0), а координата x ускоряет свой рост, следовательно, ускорение также положительно.

Ответ: 34.

Задание 7.В-5  Шайба массой m, скользящая по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v абсолютно неупруго сталкивается с покоящейся шайбой массой М. Удар центральный.

Установите соответствие между физическими величинами и формулами, выражающими их в рассматриваемой задаче.

Ответ 32

Решение.

Согласно закону сохранения энергии, в данном случае, можно записать следующее равенство:

,

откуда

,

где u – скорость двух шайб после удара.

А) Кинетическая энергия налетающей шайбы после столкновения, равна

Формула под номером 3.

Б) Импульс покоившейся шайбы после столкновения, равен:

Формула под номером 2.

Задание 5.В-7 Автомобиль массой 3 т проезжает верхнюю точку выпуклого моста, радиус кривизны которого равен 60 м, двигаясь с постоянной скоростью 54 км/ч. Из приведённого ниже списка выберите два правильных утверждения, характеризующих движение автомобиля.

1) Сила, с которой автомобиль действует на мост, направлена вертикально вниз и равна 18 750 Н.

2) Сила, с которой мост действует на автомобиль, больше 20 000 Н и направлена вертикально вверх.

3) Сила тяжести, действующая на автомобиль, равна 25 000 Н.

4) Центростремительное ускорение автомобиля равно 3,75 м/с2.

5) Сумма сил, действующих на автомобиль, направлена вертикально вверх.

Ответ: 14

Решение.

1) Сила F, с которой автомобиль действует на мост, складывается из силы тяжести автомобиля mg, направленной вниз, и центробежной силы , направленной вверх (здесь учтено, что 54 км/ч = 15 м/с):

2) Согласно третьему закону Ньютона, мост действует на автомобиль с той же силой, с которой автомобиль действует на мост, но направленной в противоположную сторону. То есть, мост действует на автомобиль с силой N=18750 Н, направленной вертикально вверх.

3) Сила тяжести для автомобиля, равна F=mg=30 000 Н.

4) Центростремительное ускорение, равно  м/с2.

5) Нет, иначе бы автомобиль взлетал.

Задание 25.В-9  Груз поднимают с помощью рычага (см. рисунок). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного стержня массой m = 20 кг и длиной L = 4 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза равно b = 1 м. Какую вертикальную силу надо приложить к концу рычага, чтобы медленно поднимать груз массой М = 80 кг?

Решение.

Чтобы рычаг находился в горизонтальном положении, необходимо равенство моментов, движущих рычаг вниз и вверх. Моменты сил, направленные вниз, это груз массой M с моментом  и сама балка с моментом  (здесь m – масса рычага, а величина L/2 говорит о том, что вес балки, создающий ее момент, отсчитывается от ее центра). Момент силы, направленный вверх, равен . Получаем уравнение:

,

откуда величина силы F, равна:

Ответ: 300.

Задание 25. Человек на санках, общей массой 100 кг, спустился с ледяной горы высотой 6 м. Сила трения при его движении по горизонтальной поверхности равна 160 Н. Какое расстояние проехал он по горизонтали до остановки? Считать, что по склону горы санки скользили без трения.

Решение.

В конце спуска вся начальная потенциальная энергия человека с санками перешла в кинетическую энергию, то есть

.

В то же время эта энергия равна работе, совершенной силой тяжести:

.

И, затем, вся эта работа затрачивается на перемещение санок по горизонтальной плоскости:

,

откуда

 м.

Ответ: 37,5.

Задание 25 В-26

Однородный стержень АВ массой m = 100 г покоится, упираясь в стык дна и стенки банки концом В и опираясь на край банки в точке С (см. рисунок). Модуль силы, с которой стержень давит на стенку сосуда в точке С, равен 0,5 Н. Чему равен модуль вертикальной составляющей силы, с которой стержень давит на сосуд в точке В, если модуль горизонтальной составляющей этой силы равен 0,3 Н? Трением пренебречь. Ответ укажите в ньютонах с точностью до одного знака после запятой.

Ответ: 0,6

Решение.

Поскольку стержень покоится, согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на него, должна быть равна нулю. На стержень действует три силы: сила тяжести и силы со стороны стакана в точках С и В. Сила тяжести имеет только вертикальную составляющую, а значит, горизонтальные проекции сил в точках С и В должны компенсировать друг друга. Следовательно, величина проекции силы в точке С равна  Из теоремы Пифагора найдём величину вертикальной проекции силы в точке С:

Рассмотрим теперь второй закон Ньютона для стержня в проекции на вертикальную ось:  Отсюда получаем, что модуль вертикальной составляющей силы в точке B равен 

.Задание 7. На рисунке показан график зависимости координаты x тела, движущегося вдоль оси Ох, от времени t (парабола). Графики А и Б представляют собой зависимости физических величин, характеризующих движение этого тела, от времени t.

Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Ответ:23

Решение.

А) Закон изменения координаты x от времени t записывается в виде:

.

Отсюда видно, что для изменения координаты по квадратическому закону (параболе), необходимо наличие постоянного ускорения a. Из графика x(t) следует, что тело имело некоторую начальную скорость v0 0. Это говорит о том, что тело двигалось с постоянным положительным ускорением при начальной отрицательной скорости. Таким образом, график А соответствует графику изменения скорости тела.

Б) График расположен в положительной плоскости и имеет нелинейную зависимость. Такой график может быть получен для изменения кинетической энергии тела согласно формуле . Здесь квадрат скорости создает параболический вид графика.

Ответ: 23.

Снаряд массой 2кг, летящий со скоростью 100 м/с, разрывается на два осколка. Один из осколков летит под углом 90° к первоначальному направлению. Под каким углом к этому направлению полетит второй осколок, если его масса 1кг, а скорость 400 м/с?

Ответ: 60

Импульс снаряда до взрыва:
p = m*V=2*100 = 200 кг*м/с

Импульс второго осколка:
p2 = m2*V2 = 1*400 = 400 кг*м/с

Находим угол (см. рисунок):
cos α = p / p2
cos α = 200 / 400 = 1/2
α = 60°

Задание 25.В - 28 Шайба массой m1 скользящая по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащую неподвижно на той же поверхности более тяжёлую шайбу такого же размера массой m2. В результате частично неупругого удара первая шайба остановилась, а 50 % её первоначальной кинетической энергии перешло во внутреннюю энергию. Чему равно отношение масс шайб m2 /m1?

Ответ 2.

Решение.

Начальный импульс первой шайбы равен , а второй шайбы  (так как она лежит неподвижно). После удара первая шайба остановилась , а вторая шайба получила импульс . По закону сохранения импульсов, имеем:

откуда

.

Закон сохранения энергии при ударе шайб можно записать в виде

,

где  - кинетическая энергия первой шайбы до удара;  - кинетическая энергия второй шайбы после удара;  - величина внутренней энергии (50% от первоначальной кинетической энергии). Из закона сохранения энергии следует:

откуда

Дальнейшие преобразования дают

.

Ответ: 2.

Задание 25 В29. Определите объём воздушного шара, висящего неподвижно на высоте, где плотность воздуха равна 0,9 кг/м3. Шар заполнен газом плотностью 0,8 кг/м3. Масса оболочки шара равна 60 кг.

Ответ: 600

Решение.

На шар со стороны воздуха действует выталкивающая сила Архимеда, равная

,

где V – объем шара; ρ=0,9 кг/м3 – плотность воздуха. Так как шар висит неподвижно, то данная сила уравновешивается силой тяжести газа в шаре и массой его оболочки:

,

где m – масса газа; M=60 кг – масса оболочки. Массу газа m можно выразить через его плотность и объем , получим:

,

откуда объем шара

.

Подставляя числовые значения, получаем:

 м3.

Ответ: 600.

адание 28. Небольшой брусок массой m = 1 кг начинает соскальзывать с высоты Н = 3 м по гладкой горке, переходящей в мёртвую петлю (см. рисунок). Определите радиус петли R, если на высоте h = 2,5 м от нижней точки петли брусок давит на её стенку с силой F = 4 Н. Сделайте рисунок с указанием сил, поясняющий решение.

Решение.

Пусть скорость бруска на высоте h равна v, а в нижней точке петли потенциальная энергия равна нулю. Тогда по закону сохранения механической энергии, получаем:

,

откуда

.      (1)

Когда брусок находится на высоте h, на него действую две силы: сила тяжести  и сила реакции опоры N. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на радиальное направление (Ox на рисунке):

,                   (2)

где  - центростремительное ускорение. По третьему закону Ньютона . Из рисунка видно, что , тогда из выражения (2) получаем:

.

Подставив полученное значение  из (1), найдем:

и после подстановки числовых значений, имеем:

 м.