Задачи на проценты, смеси

4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8 . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Пусть стоимость рубашки равна  , стоимость куртки  . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет 96  от цены куртки, то есть
4    0,92  .

Стоимость одной рубашки — в 4 раза меньше:
 0,23  ,
а стоимость пяти рубашек:
5    1,15     115/100     115   .

Получили, что пять рубашек на 15  дороже куртки.

Ответ: 15.

5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67 . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4 . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась…») назовем «ситуация А» и «ситуация В».

Осталось записать систему уравнений.

Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти  ,   и   по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму          . Получим:

 0,67 (         )
Это значит, что зарплата мужа составляет 67  от общего дохода семьи.

Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение          , упростим и получим, что

 0,06(         )
Значит, стипендия дочки составляет 6  от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет 27  общего дохода.

Ответ: 27.

Следующий тип задач — задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.

6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим  .

Первый сосуд содержал 0,12   5   0,6 литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:

 5.

7. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Пусть масса первого раствора равна  . Масса второго — тоже  . В результате получили раствор массой 2 . Рисуем картинку.

Получаем: 0,15    0,19    0,34    0,17   2

Ответ: 17.

8. Виноград содержит 90  влаги, а изюм — 5 . Сколько килограммов винограда требуется для получения20 килограммов изюма?

Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось 90  воды, значит, «сухого вещества» было 10 . В изюме 5  воды и 95  «сухого вещества». Пусть из   кг винограда получилось 20 кг изюма. Тогда

10  от     95  от 20

Составим уравнение:
0,1    0,95   20

и найдем  .

Ответ: 190.

9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10  никеля, второй — 30  никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25  никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Пусть масса первого сплава равна  , а масса второго равна  . В результате получили сплав массой        200.

Запишем простую систему уравнений:

Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.

Решая, получим, что     50,     150.

Ответ: 100.

10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Пусть масса первого раствора  , масса второго равна  . Масса получившегося раствора равна         10. Запишем два уравнения, для количества кислоты.

Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на 100, поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.

 60;     30

Ответ: 60.

Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула  . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.

11. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за  и  . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через   часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть   часа.

Запишем эти данные в таблицу:

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть  .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через   часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

Решим получившуюся систему.

Получим, что     20,     80. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.

12. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача В13. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа, ровно в 12.00.
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая   часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и   (круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на   круга больше, поэтому уравнение будет таким:

Решив его, получим, что   часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через   часа. Пусть во второй раз они поравняются через время  . Минутная стрелка пройдет расстояние 1 , а часовая  , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

Решив его, получим, что   часа. Итак, через   часа стрелки поравняются во второй раз, еще через   часа — в третий, и еще через   часа — в четвертый.

Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

.

Если участков пути было два, то

13. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за 1 (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно  , а время, затраченное на полет, равно  . Общее время равно  .
Средняя скорость равна  38,4  км/ч.

Ответ: 38,4.

Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче В13.

14. Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Мы уже решали задачи на работу и производительность. Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть   — производительность Андрея,   — производительность Паши, а   — производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за 1 — ведь мы ничего не можем сказать о его размере.

Андрей и Паша покрасили забор за 9 часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
(     )   9   1

Аналогично,
(     )   12   1
(     )   12   1.

Тогда
     
     
      .

Можно искать  ,   и   по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
.
.

Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за 8 часов.

Ответ: 8.