Задачи к математическим боям

Задачи к математическим боям

В математических боях обычно используются задачи повышенной трудности, на глубокое знание материала, нестандартность мышления, так как для их решения отводится достаточно много времени и в таких играх участвуют в основном только сильные ученики.

Задача 1.

Сколько мостов соединяют 40 островов, если известно, что каждый остров соединяется с остальными островами ровно тремя мостами?

Решение:

На каждом острове имеется 3 конца мостов, следовательно, на всех островах всего 120 концов мостов, самих же мостов будет ровно в 2 раза меньше, то есть 60 мостов.

Ответ: 60 мостов

Задача 2.

Два человека одновременно отправились из пункта А в пункт В. Первый поехал на велосипеде, второй - на автомобиле со скоростью, в 5 раз большей скорости первого. На полпути с автомобилем произошла авария, и оставшуюся часть пути автомобилист прошёл пешком со скоростью, в 2 раза меньшей скорости велосипедиста. Кто из них раньше прибыл в пункт В?

Решение:

За время, которое автомобилист затратил на вторую половину пути, велосипедист проделал весь путь. Таким образом, велосипедист прибудет в пункт В раньше.

Задача 3.

Четыре школьника должны внести по 3 копейки. Смогут ли они это сделать, если у Алёши имеется только одна 15-копеечная монета, у Бори - две 10-копеечных монеты, у Вани - одна 5-копеечная монета, у Геннадия - четыре 2-копеечных монеты?

Решение:

Алёша должен получить сдачи 12 копеек, Боря - 17 копеек, Ваня - 2 копейки, Геннадий - 5 копеек. Следует сложить все имеющиеся монеты вместе, после чего каждый должен взять оттуда сдачу. Алёша: 10 + 2= 12 (коп.); Боря: 15 + 2 = 17 (коп.); Ваня - 2 (коп.); Гена - 5 (коп.). Оставшиеся 10 + 2=12 (коп.) пойдут на оплату.

Задача 4.

Грани игральных кубиков пронумерованы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, что сумма чисел, записанных на противоположных гранях, равна 7. Строится высотное здание: ставится один кубик на другой так, что сумма чисел на соприкасающихся гранях равна 8. Какое максимальное число этажей будет в здании?

Решение:

1) Если начать с кубика (1), то в здании будет 6 этажей: (2)

2) Если начать с «2», то получится 5 этажей: (3)

3) Если начать с «3», то получится 4 этажа: (4)

4) Если начать с «4», то в здании получится 3 этажа: (5)

5) Если начать с «5», то получится 2 этажа: (6)

6) Если начать с «6», то не получится ни одного этажа.

Ответ: 6 этажей.

Задача 5.

Верно ли, что среди любых 5 различных чисел, записанных в ряд, всегда можно вычеркнуть 2 числа так, чтобы оставшиеся три числа стояли либо по возрастанию, либо по убыванию?

Решение:

Рассмотрим наибольшее и наименьшее числа, обозначив их А и В соответственно. Если А и В стоят рядом, то либо слева, либо справа от них есть 2 числа. Эти 2 числа и образуют искомую тройку либо с А, либо с В. Если же А и В не стоят рядом, то между ними есть число С. Тогда А, В, С и есть искомая тройка.

Ответ: да, верно.

Задача 6.

Даны 6 чисел: 11, 22, 33, 44, 55, 66. Разрешается к любым двум числам прибавить 1. Можно ли за несколько таких операций все числа сделать равными?

Решение:

Общая сумма всех 6 чисел изначально нечётна и остаётся нечётной при каждой операции. Если бы все числа стали равными, их сумма была бы числом чётным.

Ответ: нельзя.