Выражения и их преобразования

Выражения и их преобразования

 1. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют произведение n множителей, каждый из которых равен а:
Степенью числа а с показателем 1 называют само число а:  а¹ = а.
Степень числа а ≠ 0 с показателем 0 равна 1:  а⁰ = 1.

 2. Свойства степеней с натуральными показателями:

 а^m • аⁿ = а^m+n

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

а^m : аⁿ = а^m-n, где а ≠ 0, m ≥ n

(а^m)ⁿ = а^mn

При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают.

(ab)ⁿ = аⁿbⁿ

При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают.

 3. Одночленами называют произведения чисел, переменных и их степеней, а также сами числа, переменные и их степени. Например, 5а²х, –3а²b³, 4, х, у⁵ — одночлены.

 Степенью одночлена называют сумму показателей степеней всех переменных, входящих в одночлен. Например, степень одночлена –8а²b⁴ равна 6.

 4. Многочленом называют сумму одночленов. Например, 3х⁵ – 4х² + 1, 7a³b – ab² + ab + 6—многочлены. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Например, степень многочлена 5х³у + 3х²у⁵ + ху равна степени одночлена 3х²у⁵, т. е. равна 7.

Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

 5. При сложении многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(3аb + 5с²) + (ab – с²) = 3ab + 5с² + ab – с² = 4аb + 4с²

При вычитании многочленов пользуются правилом раскрытия скобок: если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключённого в скобки. Например,

(6x² – у) – (2x² – 8у) = 6х² – у – 2х² + 8у = 4х² + 7у

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Например,

а² (3аb – b³ + 1) = 3а³b – а²b³ + а²

Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Например,

(5х – 1)(3х + 2) = 15x² – Зx + 10x – 2 = 15x² + 7x – 2

 6. Формулы сокращённого умножения:

(а + b)² = а² + 2аb + b²

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а – b)² = а² – 2аb + b²

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

(а + b)³ = а³ + 3а²b + 3ab² + b³

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(а – b)³ = а³ – 3а²b + Заb² – b³

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

(а – b)(а + b) = а² – b²

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

а³ + b³ = (а + b)(a² – аb + b²)

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.

а³ – b³ = (а – b)(a² + ab + b²)

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.

Подробнее читайте в конспекте «Формулы сокращенного умножения»

 7. Разложением многочлена на множители называют представление многочлена в виде произведения многочленов.

Для разложения многочленов на множители применяют вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращённого умножения. Например, многочлен 5х³ – х²у можно разложить на множители, вынеся за скобки х² : 5х³ – х²у = х² (5х – у). Многочлен 3х – 3у – ах + ау можно разложить на множители, используя способ группировки:

3х – 3у – ах + ау = (3x – 3у) – (ах – ау) = 3(х – у) – а (х – у) = (х – у)(3 – а).

Многочлен а⁴ – 25x² можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов двух выражений:

а⁴ – 25x² = (а²)² – (5x)² = (а² – 5x)(а² + 5x).

Иногда многочлен удаётся разложить на множители, применив последовательно несколько способов.