Второй и третий признаки равенства треугольников

Второй и третий признаки равенства треугольников

Софронова Н.А.

Учитель математики

МОУ «Упшинская ООШ»

Второй признак равенства треугольников

Теорема: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника , то такие треугольники равны.

В

В 1

Дано: Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1

АС = А 1 С 1

ے А = ے А 1

ے С = ے С 1

Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

С 1

А 1

С

А

В

В 1

С 1

А

С

А 1

Наложим треугольник АВС на треугольник А 1 В 1 С 1 , так что вершина А совместилась с вершиной А 1, сторона АС с равной ей стороной А 1 С 1 , а вершина В и В 1 казались по одну сторону от прямой А 1 С 1.

Так как ے А = ے А 1 , то луч АВ совместиться с лучом А 1 В 1 ,

Так как ے С = ے С 1 , то луч СВ совместиться с лучом С 1 В 1 ,

Точка В, общая для лучей АВ и СВ , окажется лежащей как на луче А 1 В 1, так и на луче С 1 В 1 , следовательно совместится с их общей точкой, то есть с точкой В 1 .

Итак треугольники полностью совместились , значит они равны.

Задача 1

В

С

Дано: BD∩AC = O

АО = ОС, ے А= ے С

Доказать: ΔВОС = ΔDOA

О

D

А

Доказательство

Рассмотрим ΔВОС и ΔDOA. У них:

АО = ОС по условию

ے А= ے С по условию

ے BOC = ے DOA (вертикальные)

Вывод: ΔВОС = ΔDOA по I I признаку

~

Задача 2

В

Дано: ے АВO = ے CBO

ے AOB = ے COB

Доказать: ΔВAO = ΔBCO

О

С

А

Доказательство

Рассмотрим ΔВAO и ΔBCO. У них: …, …., ….

Вывод: ΔВАС = ΔDАС по II признаку

~

Задача 3

В

С

Дано: ے BAC = ے DCA

ے BCA = ے DAC

Доказать: AB = CD

D

А

Доказательство

Рассмотрим ΔВAC и ΔDCA. У них: …, …., ….

Вывод: ΔВАС = ΔDCA по II признаку

Из равенства ΔВАС = ΔDCA следует AB = CD

В

~

Задача 5

Дано: ے BAD = ے CAD

ے 1 = ے 2

Доказать: AB = AC

1

3

D

А

4

2

Доказательство

С

Рассмотрим ΔВAD и ΔCAD.

У них: …, …., ….

Вывод: ΔВАD = ΔCAD по II признаку

Из равенства ΔВАD = ΔCAD следует AB = AC

Задача 6

В

Дано: ے BCA = ے PKD

ے A = ے D, AK=CD

С

D

К

А

Р

Рассмотрим ΔВAC и ΔPDK. У них: …, …., ….

Вывод: ΔВАС = ΔPDK по II признаку

Из равенства ΔВАС = ΔPDK следует ے B = ے P

~

Задача 7

Дано: ے BAC = ے DCA

ے BCA = ے DAC

Доказать: АВ=СD

D

В

С

А

Третий признак равенства треугольников

Теорема: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника , то такие треугольники равны.

Дано: Δ АВС и Δ А 1 В 1 С 1

В

В 1

АС = А 1 С 1

АВ = А 1 В 1

ВС = В 1 С 1

Доказать: Δ АВС = Δ А 1 В 1 С 1

С 1

А 1

С

А

В 1

В

3

1

А 1

А

С

С 1

А

С

Приложим треугольник АВС к треугольнику А 1 В 1 С 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А 1 , вершина С с вершиной С 1 , а точки В и В 1 оказались по разные стороны от А 1 С 1 .

4

2

Проведем отрезок В 1 В.

В

Треугольник А 1 В 1 В – равнобедренный с основанием ВВ 1 , значит ے 1 = ے 2

Треугольник С 1 В 1 В – равнобедренный с основанием ВВ 1 , значит ے 3 = ے 4

Рассмотрим треугольники А 1 В 1 С 1 и А 1 В С 1 (АВС). У них …

Вывод: ΔАВС = ΔА 1 В С 1 = ΔА 1 В 1 С 1 по первому призна ку

В

~

Задача 8

Дано: AВ = AC, BD = CD

Доказать: ΔABD = ΔACD

D

А

С

Доказательство

Рассмотрим ΔABD и ΔACD. У них: …, …., ….

Вывод: ΔABD = ΔACD по III признаку

~

T

M

Задача 9

Дано: KM = DT, KT = DM

Доказать: ΔTKM = ΔMDT

K

D

Доказательство

Рассмотрим ΔTKM и ΔMDT. У них: …, …., ….

Вывод: ΔTKM = ΔMDT по III признаку

~

Задача 10

В

Дано: О - центр окружности

Найдите ے АОВ

С

А

О

Доказательство

OA=OC=R

Рассмотрим ΔAOB и ΔCOB. У них: …, …., ….

Вывод: ΔAOB = ΔCOB по III признаку

Из равенства ΔAOB = ΔCOB следует ے AOB = ے COB = 90 0

Задача 11

С

В

Дано:

AB = CD,

AP = PK = KD,

BK = CP

D

К

А

Р

Найдите равные треугольники.

Докажите их равенство.

Задача 12

А

D

Дано:

AB = CB,

ے BAK = ے BCD

В

К

С

Найдите равные треугольники.

Докажите их равенство.

Задача 13

D

С

Дано:

AC = AK,

AD = AB,

А

К

В

Найдите равные треугольники.

Докажите их равенство.

Задача 14

В

С

Дано:

AP = KC,

BC = AD,

BP = DK

К

Р

D

А

Найдите равные треугольники.

Докажите их равенство.

Задача 15

В

С

О

Дано:

AO = OC,

BO = OD,

А

D

Найдите равные треугольники.

Докажите их равенство.