Смотрите запись вебинара для учителей о современных инструментах, повышающих эффективность обучения в классе и дистанционно

СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Выбрать материалы

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Была в сети 16.02.2020 08:43

Давыдова Людмила Владимировна

преподаватель

67 лет

13 171

2 182

Подписчики

Подписки

Местоположение

Казахстан, Павлодар

Специализация

Математика

Обо мне Блог Файлы Тесты Галерея Активность Награды

Вторая производная, ее механический смысл.

Категория: Математика

26.10.2018 17:38

Практическая работа, включающая в себя: "Уравнение касательной к графику функции", "Мехенический смысл второй производной", "Нахождение второй производной функции"

Просмотр содержимого документа
«Вторая производная, ее механический смысл.»

Инструкционная карта № 20

Тақырыбы/ Тема: «Вторая производная и ее физический смысл».

Мақсаты/ Цель:

Уметь находить уравнение касательной, а также тангенс угла наклона касательной к оси ОХ. Уметь находить скорость изменения функции, а также ускорение.
Создать условие для формирования умений сравнить, классифицировать изученные факты и понятия.
Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении уравнения касательной, а также при нахождении скорости изменения функции и ускорения .

Теоретический материал:

(Геометрический смысл поизводной)

Уравнение касательной к графику функции таково:

Пример 1: Найдём уравнение касательной к графику функции в точке с обсцистсой 2.

Ответ: у = 4х-7

Угловой коэффициент k касательной к графику функции в точке с абсциссой х_{о равен}f^/(x_o) (k= f^/(x_o)). Угол наклона касательной к графику функции в заданной точке равен

arctg k = arctg f^/(x_o), т.е. k= f^/(x_o)= tg

Пример 2: Под каким углом синусоида пересекает ось абсцисс в начале координат?

Угол, под которым график данной функции пересекает ось абсцисс, равен углу наклона а касательной, проведенной к графику функции f(x) в этой точке. Найдем производную: Учитывая геометрический смысл производной, имеем: и a = 60°. Ответ: =60⁰.

Если функция имеет производную в каждой точке своей области определения, то ее производная есть функция от . Функция , в свою очередь, может иметь производную, которую называют производной второго порядка функции (или второй производной) и обозначают символом .

Пример 3: Найти вторую производную функции: f(x)=x³-4x²+2x-7.

В начале найдем первую производную данной функции f'(x)=( x³-4x²+2x-7)’=3x²-8x+2,

Затем, находим вторую производную от полученной первой производной

f''x)=(3x²-8x+2)’’=6x-8. Ответ: f''x) = 6x-8.

(Механический смысл второй производной)

Если точка движется прямолинейно и задан закон ее движения , то ускорение точки равно второй производной от пути по времени:

Скорость материального тела равна первой производной от пути, то есть:

Ускорение материального тела равно первой производной от скорости, то есть:

Пример 4: Тело движется прямолинейно по закону s (t) = 3 + 2t + t²(м). Определите его скорость и ускорение в момент времени t = 3 с. (Путь измеряется в метрах, время в секундах).
Решение
v (t) = s΄ (t) =(3+2t+t²)’= 2 + 2t
a (t) = v΄ (t) =(2+2t)’= 2 (м/с²)
v (3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Ответ: 8 м/с; 2 м/с².

Практическая часть:

1вариант	2вариант	3вариант	4 вариант	5 вариант
Найдите тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной, проходящей через данную точку М график функции f.
f(x)=x², M(-3;9)	f(x)=x³, M(-1;-1)	f(x)=x²+2x, M(1;3)	f(x)= M(2;)	f(x)=2cosx, M(;0)
Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х₀.
f(x)=х³-1, х₀=2	f(x)=х²+1, х₀=1	f(x)= 2х-х², х₀= -1	f(x)=3sinx, х₀=	f(x)= х₀= -1
Найдите угловой коэффициент касательной к функции f в точке с абсциссой х₀.
f(x)= х₀=8	f(x)=1+sinx, х₀=	f(x)=х(х-2), х₀=4	f(x)= х₀= -1	f(x)=+х, х₀=9
Найти вторую производную функции:
f(x)=	f(x)=	f(x)=	f(x)= .	f(x)= .
f(x)= 2sinx	f(x)= 3cosx	f(x)= 3+sinx	f(x)= 2cosx-х²	f(x)= -2sinx+х³
Тело движется прямолинейно по закону х (t). Определите его скорость и ускорение в момент времени t. (Перемещение измеряется в метрах, время в секундах).
х(t)=t²-3t, t=4	х(t)=t³+2t, t=1	х(t)=2t³-t², t=3	х(t)=t³-2t²+1,t=2	х(t)=t⁴-0,5t²=2, t=0,5

Контрольные вопросы:

Как вы считаете физический смысл производной – это мгновенная скорость или средняя скорость?
Какая существует связь между касательной, проведенной к графику функции через любую точку, и понятием производной?
Какое можно дать определение касательной к графику функции в точке М(х₀;f(х₀))?
Каков механический смысл второй производной?