Вариант профильного ЕГЭ по математике 2023 - №1

Вариант №1-2023

1 .  Периметр правильного треугольника равен . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

2.  В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 . Боковые рёбра призмы равны . Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы.

3.  В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца − Иван и Игорь. Класс случайным образом разбивается на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.

4.  В ящике семь красных и девять синих фломастеров. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?

5.  Найдите корень уравнения: .

6 .  Известно, что и . Найдите значение выражения .

7.  На рисунке приведён график производной , на графике отмечены шесть точек . Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции ?

8 .  Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу тонн, представляют собой две пустотелые балки длиной метров и шириной метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где − масса экскаватора (в тоннах), − длина балок в метрах, − ширина балок в метрах, − ускорение свободного падения (считайте м/с²). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.

9.  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге велосипедист сделал остановку на 8 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

10.  На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

11.  Найдите точку максимума функции .

================================================================

12.  Дано уравнение: .

а)  Решите уравнение;

б)  Укажите его корни, принадлежащие отрезку .

13.  Дана правильная треугольная призма .

а)  Докажите, что прямая перпендикулярна линии пересечения плоскостей и .

б)  Найдите угол между линией пересечения этих плоскостей и плоскостью , если , .

14.  Решите неравенство: .

15.  15 декабря планируется взять кредит в банке на тысяч рублей на 68 месяцев. Условия его возврата таковы:

-  1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1,5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

-  со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

-  15-го числа последних трёх месяцев долг уменьшается на 300 тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на тысяч рублей.

Найдите , если известно, что всего выплачено банку было 3 748 тысяч рублей?

16.  Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром O1 касается основания ML и продолжений боковых сторон.

а) Докажите, что треугольник OLO1 прямоугольный.

б) Найдите радиус второй окружности, если известно, что радиус первой равен 6 и AK = 16.

17.  Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение

имеет различные корни, удовлетворяющие неравенству .

18.  Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а)  Существуют ли двадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых есть три очень счастливых?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2016?

в)  Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.