Вариант 5: Тренировочный вариант ЕГЭ по математике 2018г (профильный уровень)

Вариант № 5

1.  В среднем за день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 4 дней. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?

2. На диаграмме показано распределение выплавки меди в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимало Марокко, одиннадцатое место — Болгария. Какое место занимала КНДР?

3. 

Найдите площадь трапеции, вершины которой имеют координаты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

4. На борту самолёта 15 мест рядом с за­пас­ны­ми вы­хо­да­ми и 24 мест за пе­ре­го­род­ка­ми, раз­де­ля­ю­щи­ми са­ло­ны. Осталь­ные места не­удоб­ны для пас­са­жи­ра вы­со­ко­го роста. Пас­са­жир В. вы­со­ко­го роста. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что на ре­ги­стра­ции при слу­чай­ном вы­бо­ре места пас­са­жи­ру В. до­ста­нет­ся удоб­ное место, если всего в самолёте 300 мест.

5.  Найдите корень уравнения 

6.

В треугольнике  угол  равен 90°, , Найдите 

7. Прямая  параллельна касательной к графику функции  Найдите абсциссу точки касания.

8. 

Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π.

9.Найдите значение выражения 

10. В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения  (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 83,2 с. Ответ дайте в киловольтах.

11. Игорь и Паша красят забор за 24 часа. Паша и Володя красят этот же забор за 35 часов, а Володя и Игорь — за 40 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

12. Найдите точку максимума функции 

13. 

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. В правильной шестиугольной призме  все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости 

15. Решите неравенство: 

16. 

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ=10 и 

17. В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена барреля сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет хотя бы один корень.

19. На доске написано 30 чисел: десять «5», десять «4» и десять «3». Эти числа разбивают на две группы, в каждой из которых есть хотя бы одно число. Среднее арифметическое чисел в первой группе равно А, среднее арифметическое чисел во второй группе равно В. (Для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу.)

а) Приведите пример разбиения исходных чисел на две группы, при котором среднее арифметическое всех чисел меньше 

б) Докажите, что если разбить исходные числа на две группы по 15 чисел, то среднее арифметическое всех чисел будет равно 

в) Найдите наибольшее возможное значение выражения 

Решения задач № 13-19

№13 Решение.

а) Решим уравнение:

б) Среди представленных корней с помощью тригонометрической окружности отберем те, которые принадлежат отрезку  Получим число 

Ответ: а)  б) 

№14 Решение.

Прямые  и FB перпендикулярны прямой EF. Плоскость  содержащая прямую EF, перпендикулярна плоскости  значит искомое расстояние равно высоте BHпрямоугольного треугольника  в котором  Поэтому

Ответ: 

№ 15 Решение.

Пусть  тогда первое неравенство запишется в виде:

Возвращаясь к исходной переменной, получим: 

Ответ: 

№ 16 Решение.

а) Рассмотрим окружность с диаметром AC. Углы APC и AQC — прямые, а значит являются вписанными опирающимися на диаметр AC. Значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда  или  но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен  откуда  Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 

Ответ: 

№ 17 Решение.

Пусть сумма, которой первоначально располагала администрация края, составляла  у. е., а цена барреля сырой нефти  у. е. Тогда первоначально возможный объем закупок составлял баррелей. Этот объем примем за 100 процентов. За 2 месяца хранения в банке положенная сумм выросла до  у. е., а цена барреля сырой нефти за это же время убыла до  у.е. Следовательно, 1 ноября 2001 г. руководство края на эту сумму могла закупить  баррелей сырой нефти. Процентное отношение этого объема к первоначально возможному объему закупок составит:

 % то есть  % =  %.

Значит, руководство края смогло пополнить 1 ноября 2001 г. нефтяные запасы края на 96% больше, чем 1 сентября того же года.

Ответ: 96.

№ 18 Решение.

Пусть  тогда уравнение примет вид:

При  левая часть уравнения принимает наименьшее значение 

При  правая часть уравнения убывает и принимает значения от 12|a| до  а при  — возрастает, принимая значения от  до 12|a| (не включая), то есть наибольшее значение правой части уравнения достигается при  и равно 12|a|.

Чтобы уравнение имело решение, наибольшее значение правой части должно быть не меньше наименьшего значения левой части:

Ответ: 

№19 Решение.

а) Среднее арифметическое всех чисел равно 4. Разобьём исходные числа на две группы: в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4». Тогда

б) Пусть числа разбиты на две группы по 15 чисел в каждой; сумма чисел в первой группе равна S₁, а во второй группе — S₂. Тогда

что равно среднему арифметическому всех чисел.

в) Если в каждой из двух групп количество «3» равно количеству «5», то

 и 

В противоположном случае в одной из групп количество «3» больше количества «5». Значит, среднее арифметическое чисел в этой группе меньше 4. Можно считать, что это верная группа. Среди дробей, меньших 4, знаменатель которых не превосходит 29, наибольшая дробь — это , то есть Ане превосходит  Очевидно, что В не может быть больше 5. Значит,

Если в одной группе одна «5», а в другой все остальные числа, то

Ответ: а) например, в первой группе все «5», во второй — все «3» и «4»; в)