Вариант 4: Тренировочный вариант ЕГЭ по математике 2018г (профильный уровень)

Вариант № 4

1. 

Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?

2. 

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Нижнем Новгороде (Горьком) за каждый месяц 1994 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Определите по диаграмме, сколько было месяцев с положительной среднемесячной температурой.

3. 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 1 изображён угол. Найдите тангенс этого угла.

4. 

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков. Результат округлите до сотых.

5. 

Найдите корень уравнения 

6.

Площадь параллелограмма  равна 155. Точка  — середина стороны  Найдите площадь треугольника 

.

7. 

На рисунке изображён график некоторой функции  (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

8. 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

9. 

Найдите значение выражения  при 

10. Груз массой 0,2 кг колеблется на пружине. Его скорость v меняюется по закону где  — время с момента начала колебаний, T = 2 с — период колебаний,  м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле  где m — масса груза в килограммах, v — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

11. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 120 метров, второй — длиной 80 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 400 метров. Через 12 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 600 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

12. 

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

13. 

а) Решите уравнение: 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. 

Точка E — середина ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми BE и B₁D.

15. 

Решите не­ра­вен­ство 

16. 

Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.

а) Доказать, что CO = KO.

б) Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет  площади трапеции ABCD.

17. 

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t² часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Григорий платит рабочему 500 рублей.

Григорий готов выделять 5 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

18.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.

19. 

Ученик должен перемножить два трехзначных числа и разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного. Найдите все три числа.

Решения заданий № 13-19

№ 13 Решение.

а) Запишем уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  Получим числа 

Ответ: а)  б) 

№ 14 Решение.

Примем ребро куба за  Тогда  Проведём через точку прямую, параллельную  Она пересекает продолжение ребра  в точке  причём  Искомый угол равен углу  (или смежному с ним).

В прямоугольном треугольнике  с прямым углом 

В прямоугольном треугольнике  с прямым углом 

В треугольнике  по теореме косинусов

откуда  а тогда 

Ответ: 

Примечание.

Ответ может быть представлен и в другом виде:

№ 15 Решение.

Перепишем неравенство в виде  и положим 

Тогда  и, значит, 

Далее имеем:  откуда 

Ответ: 

№ 16 Решение.

а) Пусть BC ∩ AE = L, тогда треугольники AED и LECравны, так как DE = CE, ∠AED = ∠LEC, ∠ADE = ∠LCE. Следовательно, BE — медиана ABL. Далее, ΔABE ∼ ΔKBO, , и ΔLBE ∼ ΔCBO с тем же коэффициентом подобия  Тогда

б) Поскольку ΔAED = ΔLEC,  Далее, ΔKBC∼ΔABL. Значит,  то есть  Тогда

Ответ: 2 : 9.

№ 17 Решение.

Пусть на первом заводе работают суммарно , а на втором —  часов в неделю. Требуется найти максимум суммы  при условии

Выразим  из первого соотношения:  подставим в (*), получим уравнение:

Полученное уравнение имеет решения, если неотрицателен его дискриминант, а значит, и четверть дискриминанта:

Тем самым, наибольшее возможное значение  равно 500. Покажем, что оно достигается при натуральных значениях переменных: действительно, из (**) находим, что значению  соответствует  а тогда 

Ответ: 500 единиц товара.

№ 18 Решение.

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система  имеет единственное решение.

Преобразуем исходную систему:

Уравнение  задает пару пересекающихся прямых  и 

Система

задает части этих прямых, расположенные в полуплоскости  то есть лучи  и  включая точки  и , см. рис.

Уравнение  задает прямую  с угловым коэффициентом  проходящую через точку  Следует найти все значения  при каждом из которых прямая  имеет единственную общую точку с объединением лучей  и 

а) Прямая  задается уравнением  Поэтому при  прямая  не пересечет ни луч  ни луч  а при  есть только одна точка пересечения — точка 

б) Прямая  задается уравнением  Поэтому при  прямая  пересекает луч  но не пересекает луч  то есть условие задачи выполнено.

в) При  прямая  пресечет и луч  и луч 

г) Наконец, при  прямая  пересечет только луч  а при  она не пересечет ни луч  ни луч 

Ответ: 

№ 19 Решение.

Обозначим эти числа за a, b и c. Имеем

,

а значит, 

Так как правая часть полученного равенства делится на a, значит , левая часть тоже делится на a и  Получаем

,

что равносильно

 Обратим внимание, что k не превосходит 9, так как a и b — трехзначные числа, а делится на 3. Значит, возможны только варианты 

Если  то , а  или  (других пятизначных делителей у ab нет).

 Если , то , что противоречит условию.

Если , то , что противоречит условию.

 Ответ: 167, 334 и 27889 или 167, 334 и 55778.