Вариант 3: Тренировочный вариант ЕГЭ по математике 2018г (профильный уровень)

Вариант № 3

1. 

Футболка стоила 650 рублей. После повышения цены она стала стоить 780 рублей. На сколько процентов была повышена цена на футболку?

2. 

На ри­сун­ке жирными точ­ка­ми показано су­точ­ное количество осадков, вы­па­дав­ших в Ка­за­ни с 3 по 15 фев­ра­ля 1909 года. По го­ри­зон­та­ли указываются числа месяца, по вер­ти­ка­ли — ко­ли­че­ство осадков, вы­пав­ших в со­от­вет­ству­ю­щий день, в миллиметрах. Для на­гляд­но­сти жирные точки на ри­сун­ке соединены линией. Опре­де­ли­те по рисунку, сколь­ко дней из дан­но­го периода вы­па­да­ло более 3 мил­ли­мет­ров осадков.

3.

Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

4. 

На экзамене 40 вопросов. Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

5. 

Найдите корень уравнения 

6. 

В треугольнике ABC AC = BC. Внешний угол при вершине B равен 122°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

7. 

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале  Найдите промежутки убывания функции  В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

8. 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

9. 

Найдите значение выражения 

10. 

При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону, где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

11. 

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 9 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

.

12. 

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

.

13. 

а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. 

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостью A₁BC и прямой BC₁, если AA₁ = 8, AB = 6, BC = 15.

15. 

Решите неравенство: 

16. 

В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B₁ симметрична точке B относительно прямой CO.

а) Докажите, что A, B, O и B₁ лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь четырёхугольника ABOB₁, если AB = 10, AC = 8 и BC = 6.

17. 

Производство x тыс. единиц продукции обходится в q = 0,5x² + 2x + 5 млн рублей в год. При цене pтыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px − q. При каком наименьшем значении p через четыре года суммарная прибыль составит не менее 52 млн рублей?

18. 

Найдите все значения  при каждом из которых неравенство выполняется для всех 

19. 

Решите в натуральных числах уравнение  где 

Решения заданий 13-19

№ 13 Решение.

а) Запишем уравнение в виде:

Значит, или  откуда  или  откуда  или 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 

Ответ: а)  б) 

№ 14 Решение.

Сечение плоскостью A₁BC есть прямоугольник A₁BCD₁

Из точки C₁ проведем перпендикуляр C₁H к CD₁. BH— проекция BC₁ на плоскость A₁BC. Значит, нужно найти угол C₁BH.

В прямоугольном треугольнике D₁C₁C находим: 

В прямоугольном треугольнике BCC₁ находим: 

В прямоугольном треугольнике C₁HB находим: 

Ответ: 

№ 15 Решение.

Вынесем общий множитель за скобку:

Ответ: 

№ 16 Решение.

а) Луч CO является биссектрисой угла ACB, поэтому точка B₁ лежит на отрезке AC (рис. 1). Луч BO является биссектрисой угла ABC, поэтому

Значит, около четырёхугольника ABOB₁ можно описать окружность.

б) Треугольник ABC прямоугольный (рис. 2), поскольку  Радиус r вписанной в него окружности равен

Найдем площади треугольников ABC, BOC и B₁OC:

Треугольник ABC составлен из четырёхугольника ABOB₁ и треугольников BOC и B₁OC. Значит, площадь четырёхугольника ABOB₁ равна

Ответ: б) 12.

№ 17 Решение.

Прибыль (в млн рублей) за один год выражается как

Это выражение является квадратным трёхчленом и достигает своего наибольшего значения при x = p − 2. Наибольшее значение равно  Через 4 года прибыль составит не менее 52 млн рублей при

то есть при p ≥ 8, поскольку цена продукции не может быть отрицательной. Таким образом, наименьшее значение p = 8.

Ответ: p = 8.

№ 18 Решение.

Рассмотрим функцию  Эта функция возрастает на промежутке  и убывает па промежутке 

Исходное неравенство имеет вид  значит, график функции  на отрезке  должен находиться в пределах горизонтальной полосы: 

Отрезок  не должен лежать на участке монотонности функции  иначе приращение  на отрезке длины  будет не меньше  поэтому ее график не поместится в полосе ширины  следовательно,  откуда 

Наибольшее значение функции  на отрезке  достигается либо при , либо при 

Наименьшее значение функции  на отрезке  достигается при Получаем систему:

откуда 

Ответ: 

№ 19 Решение.

I способ Так как m и n натуральные числа, то для решения задачи требуется решить в натуральных числах уравнение 16n + 16m = mn (1), где m n.

При n = 16 равенство (1) неверно, поэтому из равенства (1) можно выразить неизвестную m:

Теперь очевидно, что m является натуральным числом при n  16 лишь в случаях:

1) n − 16 = 1,

2) n − 16 = 2,

3) n − 16 = 2²,

4) n − 16 = 2³,

5) n − 16 = 2⁴.

3) n − 16 = 2⁵,

4) n − 16 = 2⁶,

5) n − 16 = 2⁷.

3) n − 16 = 2⁸,

Но при этом условие m  n будет выполнено лишь в случаях: m = 272, n = 17; m = 144, n = 18; m = 80, n = 20; m = 48, n = 24 .

Ответ: m = 272, n = 17;m = 144, n = 18; m = 80, n = 20; m = 48, n = 24.