Вариант 2: Тренировочный вариант ЕГЭ по математике 2018г (профильный уровень)

Вариант № 2

1.  На счету Олиного мобильного телефона был 61 рубль, а после разговора с Игорем осталось 46 рублей. Сколько минут длился разговор с Игорем, если одна минута разговора стоит 2 рубля 50 копеек?

2.  На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку наименьшую температуру воздуха 27 апреля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

3На клетчатой бумаге с размером клетки 1  1 изображён равносторонний треугольник. Найдите радиус описанной около него окружности.

4.  Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 56 шашистов, среди которых 12 спортсменов из России, в том числе Валерий Стремянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Стремянкин будет играть с каким-либо шашистом из России.

5.  Найдите корень уравнения 

6.  Площадь параллелограмма ABCD равна 14. Найдите площадь параллелограмма A'B'C'D', вершинами которого являются середины сторон данного параллелограмма.

7.На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой  Найдите значение производной функции f(x) в точке 

.

8.  Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны  и наклонены к плоскости основания под углом 30°.

9.  Найдите значение выражения 

10.  На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где  — постоянная, r — радиус аппарата в метрах,  — плотность воды, а g — ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 511 014 Н? Ответ выразите в метрах.

11. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 1% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?

12.  Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

13.  Решите уравнение: 

14.  В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите косинус угла между плоскостями BA₁C₁ и BA₁D₁.

15.  Решите неравенство: 

16.  В окружности проведены хорды PQ и CD, причём PQ = PD = CD = 10, CQ = 6. Найдите CP.

17.  15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы:

− Первого числа месяца долг увеличивается на r% по сравнению с концом предыдущего месяца, где r целое число.

− Со 2 по 14 число необходимо выплатить часть долга.

− 15 числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей

Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,25 млн руб.

18. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение  имеет ровно два неотрицательных решения.

19.  Вася перемножил несколько различных натуральных чисел из отрезка [23; 84]. Петя увеличил каждое из Васиных чисел на 1 и перемножил все полученные числа.

а) Может ли Петин результат быть ровно вдвое больше Васиного?

б) Может ли Петин результат быть ровно в 6 раз больше Васиного?

в) В какое наибольшее целое число раз Петин результат может быть больше Васиного?

Решения заданий 13-19

№ 13 Решение.

Левая часть уравнения имеет смысл при  Выражение  положительно при всех допустимых 

Значит,

Так как  только во второй и третьей четвертях, числа  не являются решениями уравнения.

Ответ: 

№ 14 Решение.

Пусть точка  — центр куба, а  — середина   а  — средняя линия треугольника  поэтому Треугольник  — равносторонний,  следовательно, искомый угол равен углу 

Примем длины ребер куба за  Найдем стороны треугольника  Из треугольника  находим  из равностороннего треугольника  находим

поскольку  — середина диагонали  то  Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

Ответ: 

№15 Решение.

Решим неравенство методом интервалов:

Ответ: 

№ 16 Решение.

Решение.

Возможны два случая. Первый случай: точки D и Q лежат в разных полуплоскостях относительно прямой CP (рис. 1), тогда ∠PQC = 180° − ∠PDC.

В треугольниках PQC и PDC:

откуда ; 

Второй случай: точки D и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой CP (рис. 2), тогда ∠PQC = ∠PDC. В треугольниках PQC и PDC

откуда ; 

Ответ: 

№ 17 Решение.

Долг перед банком (в млн рублей) на 15-е число каждого месяца должен уменьшаться до нуля следующим образом:

Пусть  тогда долг на первое число каждого месяца равен:

Следовательно, выплаты со 2-го по 14-е число каждого месяца составляют:

Общая сумма выплат составляет:

По условию, общая сумма выплат будет меньше 1,25 млн рублей, значит,

Наибольшее целое решение этого неравенства — число 9. Значит, искомое число процентов — 9.

Ответ: 9%.

№ 18 Решение.

Пусть  x — неотрицательное, поэтому нужно, чтобы уравнение  имело два решения, которые не меньше 1. Решим уравнение 

1) Раскроем оба модуля со знаком плюс: Вершина параболы в точке  что означает, что оба корня не могут быть больше 1.

2) Раскроем оба модуля со знаком минус: Вершина параболы в точке  Оба корня не могут быть больше 1.

3) Раскроем первый модуль с минусом, второй с плюсом:  Вершина в точке  оба корня не могут одновременно быть больше 1.

4) Раскроем первый модуль с плюсом, второй с минусом:  Чтобы два решения были больше 1 необходимо выполнение следующих условий: 

Теперь убедимся, что для найденных значений a модуль раскрывается именно так 

Чтобы корни находились в этом промежутке:

Найденные нами ранее a удовлетворяют условию.

Ответ: 

№ 19 Решение.

а) Например, для набора чисел {24; 25; ...; 47} Васин результат равен 24 · 25 · ... · 47, Петин результат равен 25 · 26 · ... · 48, то есть в два раза больше.

б) От добавления новых чисел отношение результатов Пети и Васи становиться только больше. Значит, наибольшее отношение будет, если Вася перемножит все натуральные числа из отрезка [23; 84]. В этом случае Васин результат равен 23 · 24 · 25 · ... · 84, а Петин результат равен 24 · 25 · 26 · ... · 85. Отношение этих чисел равно  Значит, Петин результат не может быть ровно в 6 раз больше Васиного.

в) В пункте б было показано, что Петин результат превосходит Васин не более чем в  раза. Наибольшее целое число, меньшее  — это 3.

Для набора чисел {23; 24; 25; ...; 68} Васин результат равен 23 · 24 · 25 · ... · 68, Петин результат равен 24 · 25 · 26 · ... · 69, то есть в три раза больше.

Значит, наибольшее целое отношение результатов Пети и Васи равно 3.

Ответ: а) да; б) нет; в) 3.