ВАР на тему: "Формирование познавательных универсальных учебных действий обучающихся посредством решения текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в условиях реализации ФГОС ООО"

Министерство образования Московской области

ГБОУ ВО МО «АКАДЕМИЯ СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»

Итоговая аттестационная работа

слушателя программы профессиональной переподготовки

«Содержание и методика преподавания математики»

(название программы)

Учителя математики муниципального образовательного учреждения «Туровская основная общеобразовательная школа»

Резник Ирины Валериевны

на тему: "Формирование познавательных универсальных учебных действий обучающихся посредством решения текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в условиях реализации ФГОС ООО"

Руководитель ВАР:

Кандидат педагогических наук,

доцент кафедры математических дисциплин

ГБОУ ВО Московской области

«Академия социального управления»

Кашицына Ю.Н.

«__30___»_ноября_2017год

Москва 2017

Содержание

Введение 3

I. Общие вопросы методики обучения решению текстовых задач 6

1.1 Познавательные универсальные учебные действия – новые образовательные результаты 6

1.2 Роль математических задач в формирования познавательных универсальных учебных действий 8

1.3 Текстовые задачи, их структура и классификация, особенности решения текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений 10

II. Методика обучения решению текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса 17

2.1 Особенности восприятия учебной информации учащимися 8 класса 17

2.2 Анализ УМК 23

2.3 Опыт реализации методики обучения решению текстовых задач на

составление дробных рациональных уравнений в школьном курсе алгебры
8 класса 24

III. Заключение 42

IV. Список использованных источников 44

V. Приложения 46

Введение.

1. Актуальность исследования

Все развитые страны в 21 веке движутся к информационному обществу, которое предъявляет определенные требования. Современному человеку для полноценной жизни в этом обществе необходимо иметь высокий уровень информационного сознания, что посильно только интеллектуально развитой личности. В концепции развития математического образования в Российской Федерации сказано «Математика занимает особое место в науке, культуре и общественной жизни, являясь одной из важнейших составляющих мирового научно-технического прогресса. Изучение математики играет системообразующую роль в образовании, развивая познавательные способности человека, в том числе к логическому мышлению, влияя на преподавание других дисциплин. Качественное математическое образование необходимо каждому для его успешной жизни в современном обществе. Успех нашей страны в XXI веке, эффективность использования природных ресурсов, развитие экономики, обороноспособность, создание современных технологий зависят от уровня математической науки, математического образования и математической грамотности всего населения, от эффективного использования современных математических методов. Без высокого уровня математического образования невозможны выполнение поставленной задачи по созданию инновационной экономики, реализация долгосрочных целей и задач социально-экономического развития Российской Федерации, модернизация 25 млн. высокопроизводительных рабочих мест к 2020 году. Развитые страны и страны, совершающие в настоящее время технологический рывок, вкладывают существенные ресурсы в развитие математики и математического образования»[13]. В развитии интеллектуальных способностей ребенка основную роль играет математика и как учебный предмет и как наука. Каково же состояние математической подготовки современных школьников? По результатам проведенных международных исследований «Российские восьмиклассники не умеют эффективно применять полученные знания при выполнении нестандартных заданий по алгебре, связанных с выявлением закономерностей, разрешением проблем, возникающих в реальной ситуации, описанной в условии задачи. Это связанно с тем, что обучение решению задач фактически завершается в 5-6 классах, а в курсе алгебры не поддерживается систематическим повторением и учащимся не предлагаются задачи практического содержания» [6; стр. 10]. В МОУ «Туровская основная общеобразовательная школа» обучение алгебре в 8 классе осуществляется по учебнику Ю.Н. Макарычева и др., в котором решению текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений отведен один пункт параграфа. В нем автор предлагает восемнадцать задач. Из них пять базового уровня и две задачи повышенной сложности. Как показала практика, этого недостаточно для овладения навыками решения задач обучающимися 8 класса с помощью новой математической модели: составление дробных рациональных уравнений. Кроме того, текстовые задачи данного типа входят в ГИА и ЕГЭ, так же являются традиционным разделом на вступительных экзаменах в ВУЗы. Каковы же пути решения данной проблемы в условиях современного образовательного процесса? Наша российская школа переживает сегодня серьезные преобразования. На смену парадигме знаний, умений и навыков пришел федеральный государственный образовательный Стандарт нового поколения. В методику обучения современного учителя прочно входит работа над формированием у обучающихся УУД – универсальных учебных действий. Успешное освоение обучающимися новой математической моделью происходит в процессе формирования познавательных УУД. По мнению Л.И.Боженковой, автора учебно-методического издания «Методика формирования универсальных учебных действий при обучении алгебре»: «В настоящее время, согласно Стандарту, одной из важнейших задач учителя является освоение и внедрение в процессе обучения, в частности математике, УУД. Базовым положением служит тезис о том, что развитие личности в системе образования обеспечивается, прежде всего, формированием УУД, которые выступают в качестве основы образовательного и воспитательного процесса. При этом знания, умения и навыки рассматриваются как производные от соответствующих видов целенаправленных действий: навыки формируются, применяются и сохраняются в тесной связи с активными действиями самих учащихся» [6; стр.20]. С несформированностью УУД связано и значительное число школьных трудностей детей, приводящих часто к стойкой академической неуспеваемости. Предметные результаты содержат в себе систему предметных знаний и систему соответствующих предметных действий, в основе которых лежат познавательные УУД. Включение их в регуляторный процесс как усвоенных способствует формированию регулятивных УУД и является необходимым условием успешности решения математических и учебных задач обучающимися. Именно поэтому в первую очередь следует сформировать у учащихся познавательные УУД. Поэтому я выбрала тему дипломной работы "Формирование познавательных универсальных действий обучающихся посредством решения текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений в условиях реализации ФГОС ООО"

2. Объект исследования: Процесс формирования и развития познавательных универсальных учебных действий обучающихся посредством решения текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений.

3. Предмет исследования: Методика обучения решению текстовых задач при помощи дробных рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса в условиях реализации ФГОС ООО.

4. Цель исследования: Изучить специфические особенности и пути совершенствования процесса обучения школьников решению текстовых задач при помощи дробных рациональных уравнений в условиях реализации ФГОС ООО.

5. Задачи исследования:

5.1. Изучить и систематизировать теоретический материал по методике работы над текстовыми задачами на составление дробных рациональных уравнений.

5.2. Разработать методику обучения решению текстовых задач при помощи дробных рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса в условиях реализации ФГОС ООО.

5.3. Выяснено, какие трудности возникают в ходе решения задач алгебраическим способом, указаны способы преодоления.

6.Методы научно-педагогического исследования:

Теоретические: изучение и теоретический анализ психолого-педагогической и методической литературы, анализ учебно-методических комплектов и пособий по алгебре для 8 класса общеобразовательных школ.

Эмпирические: изучение педагогического опыта коллег - учителей математики, экспериментальная проверка основных положений исследования.

Структура работы: Дипломная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованных источников и приложений.

I. Общие вопросы методики обучения решению текстовых задач

1.1 Познавательные универсальные учебные действия – новые образовательные результаты

Государственные образовательные стандарты общего образования второго поколения определяют новые требования к результатам освоения основных образовательных программ начального общего образования. Особое место в реализации ФГОС отводится формированию универсальных учебных действий (УУД).

В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, т. е. способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путём сознательного и активного присвоения нового социального опыта. Примерной основной образовательной программой основного общего образования Министерства образования РФ познавательные универсальные учебные действия – это система способов познания окружающего мира, построения самостоятельного процесса поиска, исследования и совокупность операций по обработке, систематизации, обобщению и использованию полученной информации.

Способность обучающегося самостоятельно успешно усваивать новые знания, формировать умения и компетентности, включая самостоятельную организацию этого процесса, т. е. умение учиться, обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщённые действия открывают учащимся возможность широкой ориентации как в различных предметных областях, так и в строении самой учебной деятельности, включающей осознание её целевой направленности, ценностно-смысловых и операционных характеристик. Таким образом, достижение умения учиться предполагает полноценное освоение обучающимися всех компонентов учебной деятельности, которые включают: познавательные и учебные мотивы, учебную цель, учебную задачу, учебные действия и операции (ориентировка, преобразование материала, контроль и оценка). Умение учиться — существенный фактор повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования умений и компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора.

Функции универсальных учебных действий:

обеспечение возможностей обучающегося самостоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;

создание условий для гармоничного развития личности и её самореализации на основе готовности к непрерывному образованию; обеспечение успешного усвоения знаний, формирования умений, навыков и компетентностей в любой предметной области.

Познавательные УУД включают общеучебные, логические действия, а также действия постановки и решения проблем.

Общеучебные универсальные действия - это:

• самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

• поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

• структурирование знаний;

• осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

• выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

• рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

• смысловое чтение; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

• постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют

• знаково-символические действия:

• моделирование;

• преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Логические универсальные действия:

• анализ;

• синтез;

• сравнение, классификация объектов по выделенным признакам;

• подведение под понятие, выведение следствий;

• установление причинно-следственных связей;

• построение логической цепи рассуждений;

• доказательство;

• выдвижение гипотез и их обоснование.

Постановка и решение проблемы:

• формулирование проблемы;

• самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера [21,27].

По мнению Кашицыной Ю.Н. «Формирование познавательных универсальных учебных действий на уроках математики - важная составная часть педагогического процесса. Каждая группа универсальных учебных действий (УУД) направлена на работу с информацией. Деление на группы весьма условны. Процесс формирования познавательных УУД на уроках математики осуществляется при взаимосвязи всех действий. Учебная информация в содержании курса математики представлена часто в виде понятий и их определений, формулировок теорем (свойств в алгебре), их доказательств, математических задач, учебных авторских текстов, предписаний, учебных задач. Работа с математическими текстами неразрывно связана с умениями структурировать информацию, выполнять знаково - символические действия, моделировать, извлекать информацию, осуществлять поиск различных способов, рефлексию, контроль и оценку полученного результата. Вместе с тем, преобразование информации выполняется на основе познавательных логических учебных действий. К ним относятся: сравнение, анализ и синтез, подведение под понятие, выведение следствий, установление причинно - следственных связей, выдвижение гипотез и их обоснование. В методической работе учителя математики чаще всего предоставляется возможность формирования познавательных универсальных учебных действий при обучении решению задач, поскольку они являются одной из главных составляющих содержания учебного предмета Математика. Решение задач является основной деятельностью при обучении математике» [10].

Формирование у обучающихся познавательных универсальных учебных действий означает, что они научатся самостоятельно перерабатывать учебную информацию, т.е. у детей появятся такие качества, как самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

поиск и выделение необходимой информации; применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

структурирование знаний;

осознанное и произвольное построение речевого высказывания в устной и письменной форме;

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информации; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой информации;

постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятельности при решении проблем творческого и поискового характера [27].

1.2 Роль математических задач в формирования познавательных универсальных учебных действий.

Понятие «задача» является одним из фундаментальных в психологии, в кибернетике, в любой из наук естественно-математического цикла, в теории обучения и воспитания. В литературе, посвященной указанным отраслям знания, понятие это имеет разнообразные трактовки, поскольку в силу специфики той или иной научной дисциплины исследуются различные аспекты данного объекта. В самом общем значении задача трактуется как поставленная цель, которую необходимо достигнуть; как вопрос, требующий разрешения на основании определенных знаний и логических умозаключений. В свободной википедии понятие «задача» определяется как «проблемная ситуация  с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать. В более широком смысле под задачей также понимается то, что нужно выполнить — всякое задание, поручение, дело, — даже при отсутствии каких бы то ни было затруднений или препятствий в выполнении. В учебной и т. п. практике «задача», напротив, принимает более узкий смысл и обозначает упражнение, требующее нахождения решения по известным данным с помощью определённых действий (умозаключения, вычисления, перемещения элементов и т. п.) при соблюдении определённых правил совершения этих действий (логическая задача, математическая задача, шахматная задача). Задача может быть решена» [8]. Термин «задача» обычно используется в различных атрибутивных конструкциях – «практическая задача», «арифметическая задача», «текстовая задача», «сюжетная задача», «математическая задача». Под задачей в курсе школьной математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуа­ция, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности. Основным признаком задачи является временное отсутствие средств решения, т.е. невозможность осуществить решение с помощью установленной последовательности точно определенных операций, путем прямого применения известных схем. Процесс решения задач, как сложный аналитико-синтетический процесс, тесно связан с формированием таких приемов мышления, как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование. Решение математических задач воспитывает волю, приучает к систематическому умственному труду, к самоконтролю, развивает сообразительность.

В статье Кашицыной Ю.Н. , к. п. н., доцента кафедры математических дисциплин, рассматривается особенности методической работы учителя в парадигме формирования УУД в процессе обучения решению текстовых задач. «Особое внимание в курсе алгебры уделено текстовым задачам, решаемым алгебраическим способом. К ним относятся задачи на движение, на совместную работу и др. Значимость таких задач, подтверждается осуществлением связи между реальной практической ситуацией и таким математическим объектом, как уравнение, абстрактной моделью, с которой школьники встречаются при изучении линии уравнений во всех классах. Фактически при их решении впервые формируется одно из наиболее значимых компонентов познавательного логического УУД - моделирование. На практике большинство учащихся относят текстовые задачи к наиболее сложным заданиям, гораздо проще выполнить упражнения на вычисления, на преобразование выражений, на построение графиков. Несмотря на это текстовые задачи на составление дробно – рациональных уравнений встречаются часто в диагностических работах и рассматриваются в первой части ЕГЭ. В соответствии с требования ФГОС и программой формирования УУД таких действий недостаточно. В методической работе учителя появляются новые требования к решению текстовых задач». При новых, современных подходах к методике обучения «…ученик не только сможет решить задачу, но и научиться определять вид задачи, способ решения, записывать разные математические модели к решению данной задачи, предлагать разные способы проверки правильности решения, критерии оценивания решения задачи, указывать на возможные ошибки и трудности в решении задачи, приводить пример текстовой задачи не обязательно на движение, но которая так же могла быть решена с помощью дробно – рационального уравнения, составлять текст задачи по заданной модели, составлять обратную задачу. Для формирования познавательных УУД необходима специально организованная совместная учебно-познавательная деятельность учителя и учащихся, основанная на системно-деятельностном и компетентностном подходах. При этом вносить изменения нужно не в содержание, а в некоторые аспекты методики преподавания математики, в частности методики обучения решению текстовых задач»[11]. Учебная информация становится знанием человека в результате усвоения её посредством познавательных действий.

Формирование общеучебных действий в прогрессивной педагогике всегда рассматривалось как надежный путь кардинального повышения качества обучения.

«Формирование – это сознательное управление процессом развития человека или отдельных сторон личности, качеств и свойств характера и доведение их до задуманной формы (уровня, образа, идеи). В педагогической практике формирование означает применение приемов и способов (методов, средств) воздействия на личности учащегося с целью создания у него системы определенных ценностей и отношений, знаний и умений, склада мышления и памяти»[23].

Таким образом, процесс решения задач формирует у учащихся такие общеучебные умения, как умение планировать свою деятельность, внимательно воспринимать учебную информацию, творчески мыслить, интерпретировать полученные результаты, мотивировать каждый шаг деятельности, активно применять полученные знания, рационально оформлять результаты своих действий, осуществлять самоконтроль и пр. Следовательно, обучение учащихся решению задач можно рассматривать одним из основных методов формирования познавательных универсальных учебных действий на уроках математики.

1.3 Текстовые задачи, их структура и классификация, особенности решения текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений

Ряд авторов по характеру объектов разделяют задачи на прикладные задачи и математические задачи. Прикладная (практическая) задача – это задача, поставленная вне математики и решаемая математическими средствами, фабула которой раскрывает приложения математики в окружающей нас действительности, в смежных дисциплинах, знакомит ее с использованием в организации, технологии и экономике современного производства, в сфере обслуживания, в быту, при выполнении трудовых операций. Математическая задача – задача, которая выполняется посредством умозаключения, вычисления. А.А. Свечников в понятие «математическая задача» вкладывает следующий смысл: «это связный, лаконичный рассказ, в который введены значения некоторых величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии». Однако сам же замечает, что встречаются задачи без числовых данных, в которых требуется по указанным признакам и связям сделать логически выводимое умозаключение, или задачи, требующие выполнить доказательство на основе ранее известных определений и свойств. «Арифметической задачей называется вопрос, – пишет С.А. Пономарев, – для ответа на который приходится по двум или нескольким числам (данным) находить новое число (искомое)». Л.П. Стойлова и А.М. Пышкало называют текстовой задачей описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого- либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие отношений между ее компонентами. Она состоит из условия, в котором сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними, и вопроса (требования), содержащего указание на то, что надо найти, и выраженного предложением в повелительной или вопросительной форме. Сюжетные задачи - это задачи, в которых описывается некоторый жизненный сюжет. Сюжетные задачи считаются древними задачами. При решении таких задач впервые реализуется обучение методу моделирования. Моделирование является одной из важнейших задач математики. Моделирование - это описание реальных действий на языке математики. В школьном курсе задачи на движение, работу, смеси, проценты являются сюжетными задачами. Чтобы решить такие задачи, важно правильно воспринимать ситуации, и опираться на образ. Существуют так же другие виды за­дач, например, задачи геометрического характера: на доказа­тельство, на построение, где искомым является либо сам процесс решения (задачи на доказательство), либо результат этого процес­са, выраженный не в численных характеристиках (фигура в задаче на построение; буквенное выражение в алгебраической задаче).

Таким образом, всякая задача связана с языком, на котором она изложена, ибо оформлена в виде короткого и законченного текста, передающего её условие, но это лишь форма проявления задачи, причём далеко не единственная. Кроме словесной модели задачи выделяют еще знаковую (числовое выражение, уравнение, таблица, краткая запись с опорными словами), графическую (схема, чертеж, условный рисунок). Следовательно, представления о задаче носят авторский характер, зависят от области знания, которую они представляют, от их субъективных научных и философских воззрений.

Одной из основных составляющих содержания учебного предмета математика являются текстовые задачи. Текстовая задача – это описание некоторой проблемы или проблемной ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику того или иного компонента этой ситуации. При всех подходах к определению задачи можно отметить те компоненты, которые выделяются в структуре текстовой задачи как объекте мыслительной деятельности:

- словесное изложение сюжета, в котором явно или в завуалированной форме указана функциональная зависимость между величинами, числовые значения которых входят в задачу;

- числовые значения величин, о которых говорится в задаче;

- задание, обычно сформулированное в виде вопроса, в котором предлагается узнать неизвестные значения одной или нескольких величин, называемых искомыми.

Структуру тестовой задачи можно задачи выразить символически следующим образом:

условие (У) – предметная область задачи и отношения между объектами;

обоснование (базис) (О) – теоретические или практические основы перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;

решение (Р) – совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;

заключение (З) – требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать. Символически структуру задачи можно записать: УОРЗ.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какое именно действие должно быть выполнено для получения ответа на требование задачи.

 Колягин Ю.М.классифицировал задачи по величине проблемности (зависит от того, какие компоненты УОРЗ неизвестны) следующим образом:

1. Стандартные задачи – известны все компоненты УOРЗ. Такие задачи используются на этапах усвоения теоретического материала. Этот вид задач позволяет не только усвоить понятие, но и осуществить «обратную связь», оценить, как поняли учащиеся новый материал.

2. Обучающие задачи – неизвестен один компонент УОРх, УОхЗ, УхРЗ, хОРЗ.

3. Поисковые задачи – неизвестны два компонента УхуЗ, УОху, хОРу, хуРЗ, УхРуЗ, хОуЗ.

4. Проблемные задачи – неизвестны три компонента Ухуz, xOyz, xyPz, xyzЗ.

Структура текстовой задачи определяет и уровень проблемности в деятельности, которая направлена на решение задачи: репродуктивная или алгоритмическая (воспроизведение изученного способа), продуктивная (использование известного способа в новых ситуациях, привлечение знаний из других тем курса), творческая (использование эвристик). Кроме деления по структуре и уровню проблемности, существуют и другие типологии математических задач, которые применимы и к текстовым, например:

1) по содержанию: на работу, на движение, на смеси и сплавы и т.д.;

2) по методу решения: арифметические, алгебраические (составление уравнений, неравенств и их систем), геометрические (через использование геометрических фигур и их свойств), комбинированные;

3) по характеру требований: задачи на вычисление, доказательство, объяснение, преобразование, конструирование, построение и др.

Всякая типология задач является условной и зависит от многих обстоятельств. Так, например, одну и ту же задачу можно решить и арифметическим, и алгебраическим, и геометрическим методами. А отнесение задачи к тому или иному виду по степени проблемности зависит от того, кто решает задачу. Несмотря на это, различные типологии позволяют учителю более осознанно подходить к отбору задач в зависимости от целей обучения[6].

Структура решения текстовых задач

Структура процесса решения задачи зависит в первую очередь от характера задачи и от того, какими знаниями и умениями обладает решающий задачу. Но каким бы из основных методов, арифметическим или алгебраическим, ни решалась текстовая задача, приходится выполнять ряд действий, общих для всех методов.

Весь процесс решения задачи можно разделить на восемь этапов:

1. Анализ задачи;

Получив задачу, первое, что нужно сделать, - это разобраться в том, что это за задача, каковы ее условия, в чем состоят ее требования, т.е. провести первичный анализ задачи. Этот анализ и составляет первый этап процесса решения задачи.

2. Схематическая запись задачи;

В ряде случаев этот анализ надо как-то оформить, записать. Для этого используются разного рода схематические записи задач, построение которых составляет второй этап процесса решения.

3. Поиск способа решения задачи;

Анализ задачи и построение ее схематической записи необходимы главным образом для того, чтобы найти способ решения данной задачи. Поиск решения составляет третий этап процесса решения.

Основные рекомендации для поиска решения математических задач.

1. Прочитав задачу, надо попытаться установить, к какому виду задач она принадлежит.

2. Если вы узнали в ней стандартную задачу, то примените для её решения известное вам общее правило.

3. Если же задача не является стандартной, то следует действовать в двух направлениях: а) вычленять из задачи или разбивать её на подзадачи стандартного вида (способ разбиения); б) переформулировать её, свести к задаче стандартного вида (способ моделирования).

4. Для того чтобы легче было осуществлять способы разбиения или моделирования, полезно предварительно построить наглядную вспомогательную модель задачи – её схематическую запись.

5. При проведении анализа устанавливается количество ситуаций, имеющихся в задаче; выделяются известные и неизвестные величины и отношения между ними; выделяются предложения, в которых раскрываются функциональные связи между величинами, которые каким-либо образом фиксируются.

Для осмысления задачи результаты анализа представляются в виде схематической записи, которая может осуществляться параллельно с анализом. Схематическая запись — это модель текста задачи, которая может быть в виде:

– линейной или столбчатой диаграммы;

– отрезка с составляющими его частями;

– таблицы;

– отрезка или луча с положением на нем движущихся объектов в различные моменты времени;

– графиков равномерного движения;

– рисунков и других объектов

Анализ текста задачи и его схематическая запись позволяют перейти к поиску плана решения задачи, который завершается составлением математической модели задачи.

6. Осуществление решения задачи;

Когда способ решения задачи найден, его нужно осуществить, - это будет уже четвертый этап процесса решения – этап осуществления (изложения) решения. Термином «решение задачи» обозначают связанные между собой понятия:

решением задачи называют результат, то есть ответ на требование задачи;

решением задачи называется процесс нахождения этого результата, т.е. вся деятельность человека, решающего задачу;

решением задачи называют лишь те действия, которые производят над условиями и их следствиями на основе общих положений математики для получения ответа задачи.

Решить задачу – это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи.

Существуют различные методы решения задач:

а) арифметический - ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами;

б) алгебраический - решения задач составляются уравнения, неравенства, системы уравнений;

в) геометрический - строятся диаграммы или графики;

г) логический - начинается с составления алгоритма;

д) практический - находится ответ на требование задачи, выполнив практические действия с предметами или их копиями.

7. Проверка решения задачи;

После того, как решение осуществлено и изложено (письменно или устно), необходимо убедиться, что это решение правильное, что оно удовлетворяет всем требованиям задачи. Для этого производят проверку решения, что составляет пятый этап процесса решения. Средство проверки решения основной задачи – это обратная задача.

8. Исследование задачи;

При решении многих задач, кроме проверки, необходимо еще произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение и сколько таких в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения.

9. Формулирование ответа задачи;

Убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо четко сформулировать ответ задачи.

10. Анализ решения задачи.

В учебных и познавательных целях полезно также провести анализ выполненного решения, в частичности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли задачу обобщить, какие выводы можно сделать из этого решения и т.д. Все это составляет последний этап решения.

Приведенная схема дает лишь общее представление о процессе решения задач как о сложном и многоплановом процессе.

При фактическом решении указанные этапы обычно не отделены друг от друга, а переплетаются между собой. Так, в процессе анализа задачи обычно производится и поиск решения. При этом полный план решения устанавливается не до осуществления решения, а в процессе. Тогда поиск решения ограничивается лишь нахождением идеи решения. Из указанных восьми этапов пять являются обязательными, и они имеются в процессе решения любой задачи. Это этапы анализа задачи, поиска способа ее решения, осуществления решения, проверки решения и формулирования ответа. Остальные три этапа (схематическая запись задачи, исследование задачи и заключительный анализ решения) являются не обязательными и в процессе решения многих задач не имеются.

Особенности решения текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений.

Решение многих задач сводится к составлению дробных рациональных уравнений. Рациональные уравнения - это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными выражениями. Если в рациональном уравнении левая или правая части будут являться дробными выражениями, то такое рациональное уравнение называется дробным рациональным.

Рассмотрим следующий пример:

С автобусной станции выехал автобус до железнодорожного вокзала, находящемся на расстоянии 40 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению, и поехал на железнодорожный вокзал на такси, через 10 минут после автобуса. Автобус и такси приехали на железнодорожный вокзал одновременно. Известно также, что скорость такси на 20 км/ч больше скорости автобуса. Необходимо найти скорость такси и скорость автобуса.

Решение:

Для решения задачи, необходимо составить математическое уравнение. Положим, что х это скорость автобуса (в километрах в час). Тогда скорость такси (х+20) километров в час.

Тогда, время за которое автобус доехал до ж/д вокзала равно 40/х часов, а время такси равно 40/(х+20) часов. Исходя из условия разница между временем автобуса и такси равна 10 минутам или 1/6 часа. Так как время движения автобуса и такси у нас найдено в часах.

Получаем следующее уравнение: 40/х - 40/(х+20) = 1/6.

Это уравнение является дробным рациональным уравнением. Решаем его по общей схеме, приведенной выше:

Общий знаменатель равен 6*x*(x+20).

Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем

40*6*(x+20) – 40*6*x = x*(x+20);

Упростим это выражение.

Получим: 240*x +4800- 240*x = x^2 +20*x;

x^2+20*x-4800 = 0;

Получили квадратное уравнение. Решая его одним из известных нам способов получаем, что его корни равны x=60 и x =-80.

Теперь необходимо осуществить проверку найденных корней.

При х=60 общий знаменатель не равен нулю.

При х=-80 общий знаменатель так же не равен нулю.

Из этого следует, что оба корня подходят и являются решением дробного рационального уравнения.

Возвращаемся к условию задачи. У нас х это скорость движения автобуса. Но скорость автобуса не может быть отрицательным числом, и следовательно значение х=-80, не подходит. Значит х=60, скорость автобуса равна 60 километрам в час. А следовательно, скорость такси равна 80 км/ч.

Ответ: Скорость автобуса 60 км/ч, скорость такси 80 км/ч.

При решении задач на составление дробных рациональных уравнений обязательно следует исключать побочные корни, обращающие знаменатель в ноль.

II. Методика обучения решению текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса

2.1 Особенности восприятия учебной информации учащимися
8 класса

 В разработке методики обучения учителю важно учитывать возрастные и индивидуальные особенности обучающихся, что позволит повысить качество и снизить трудоемкость обучения. Изучение темы «Дробные рациональные уравнения» в образовательной области «Алгебра» включено в программу 8 класса, что приходится на возраст 13-14 лет. Рассмотрим особенности мышления и учебной деятельности подростков 13-14 лет. Самая существенная черта этого возраста та, что это - эпоха полового созревания и вместе с тем эпоха социального созревания личности. Подросток подвержен сильнейшим переживаниям, вызванным как чувством наступающей взрослости и формированием образа “Я”, так и идентификацией с образом пола. Для старших подростков характерны переживания, связанные с их отношением к себе, к собственной личности, процессом познания себя и преимущественно эти переживания отрицательные. Процесс самопознания идет по пути обнаружения все новых недостатков и негативных качеств, подросток во всем винит себя — и в плохой учебе, и в конфликте с родителями. Подросток еще не умеет опираться на сильные стороны своей личности, характера, свои достоинства, поэтому уязвим. В целом, у значительного числа подростков отношения дисгармонизированы в той или иной мере. Подростковый возраст 13 лет возраст считается подростковым кризисом.  Кризис 13 лет протекает со свойственной любому кризису симптоматикой: взрыв непослушания, грубость, немотивированное противостояние взрослым, негативизм по отношению к учителям, трагическое переживание ситуации невключенности в группу сверстников, надежда на неопределенное светлое будущее, бравада своей независимостью, приверженностью материальным интересам. Подростку 13-14 лет свойственны беспокойство, тревога, диспропорции в физическом и психическом развитии, агрессивность, противоречивость чувств, снижение работоспособности, меланхолия и т. д.  Для этого существуют как внешние, так и внутренние (биологические и психологические) предпосылки. К внешним  относятся изменение характера учебной деятельности, необходимость формирования собственной позиции, появление новых требований в семье — реальной помощи по хозяйству, ответственности, с ним начинают советоваться. Расширение социальных связей подростка — предоставляется возможность для участия в многогранной общественной жизни коллектива.

Наличие внутренних биологических предпосылок объясняется тем, что в этот период весь организм человека выходит на путь активной физиологической и биологической перестройки. Все это приводит к тому, что повышаются утомляемость, возбудимость, раздражительность, негативизм, драчливость подростков в 8—11 раз (А. П. Краковский, 1970).

В указанном контексте происходит и смена ведущей деятельности. Роль ведущей в подростковом возрасте играет социально-значимая деятельность, средством реализации которой служит: учение (Л. И. Божович), общение (Д. Б. Эльконин), общественно-полезный труд (Д. И. Фельдштейн).

Учение. Именно в процессе обучения происходит усвоение мышления в понятиях, без которого “нет понимания отношений, лежащих за явлениями” (Л. С. Выготский, 1984). Мышление в понятиях дает возможность проникать в сущность вещей, понимать закономерности отношений между ними. Поэтому в результате усвоения новых знаний перестраиваются и способы мышления. Знания становятся личным достоянием ученика, перерастая в его убеждения, что, в свою очередь, приводит к изменению взглядов на окружающую действительность (Л. И. Божович, 1968). Таким образом, “полная социализация мышления заключается в функции образования понятий” (Л. С. Выготский). Изменяется и характер познавательных интересов — возникает интерес по отношению к определенному предмету, конкретный интерес к содержанию предмета. (Л. И. Божович, 1968).

Мышление

В подростковом возрасте кардинально изменяется мышление человека.

Суть изменения - в переходе от наглядно-образного мышления и начальных форм словесно-логического к гипотетико-рассуждающему мышлению, в основе которого лежит высокая степень обобщённости и абстрактности.

Необходимым условием формирования такого типа мышления является способность сделать объектом своей мысли саму мысль. И именно в подростковом возрасте появляются все условия для этого.

Можно говорить о возникновении в начале подросткового возраста сензитивного периода по отношению к закладыванию основ гипотетико-рассуждающего (абстрактно-логического) мышления. Учителю в этот период необходимо способствовать развитию новых форм мышления подростка. Абстрактно-теоретическое, наглядно-действенное и наглядно-образное виды мышления развиваются в процессе обучения, при этом они находятся в тесном взаимодействии друг с другом. Учитывая их взаимодействие, уже давно одним из основных принципов обучения считается принцип наглядности, в соответствии с которым обучение строится на конкретных образах, непосредственно воспринимаемых учащимися. Учитель реализует принцип наглядности, подготавливая и отбирая наглядный материал для раскрытия той или иной учебной темы. Отвечая на вопрос о психологической функции наглядного материала, включенного в процесс обучения, А.Н. Леонтьев указывает, что она состоит в том, что «он (наглядный материал) служит как бы внешней опорой внутренних действий, совершаемых ребенком под руководством учителя в процессе овладения знаниями». При обучении учащиеся должны опираться на наглядность и на чувственные образы. Необходимо давать учащимся схемы, графики для упрочнения этих образов, их изучения. Так как в курсе математики основным содержанием как раз являются разного рода отношения, то, следовательно, основным для этого курса становится принцип моделирования. Принцип моделирования является высшей ступенью, развитием и обобщением принципа наглядности.

Так же при решении задач нужно уметь оперировать абстрактными понятиями и рассуждениями, т.е. должно развиваться теоретическое мышление.

Общее интеллектуальное развитие учеников, не умеющих оперировать абстрактными понятиями, сформированность которых является важным показателем мыслительно-речевого развития, значительно замедляется. Не владея способами логико-речевых преобразований, школьник демонстрирует низкий уровень языкового развития. При этом он неточно выражает свои мысли, делает неправильные выводы, стремится к дословному воспроизведению текста учебника, тем самым, создавая у учителя представление о себе как о неспособном, “трудном” ученике.

С несформированностью абстрактно-логического мышления связано и значительное число школьных трудностей детей, приводящих часто к стойкой академической неуспеваемости. Знания разного уровня - обобщённые и конкретные, приобретённые с помощью стихийно формирующихся процессов мыслительной деятельности, упорядочиваются слабо, и поэтому в голове ученика они часто “сосуществуют” вместо того, чтобы складываться в иерархизированные системы.

Не формировать абстрактное мышление у подростков, значит не научить их по-настоящему мыслить, по сути, остановить их умственное развитие.

Школьники, только начинающие учиться в средней школе, в связи с низким уровнем сформированности абстрактно-логического мышления уже с первых дней начинают испытывать значительные трудности в обучении, и, кроме того, у них может в связи с этим сформироваться стойкое отрицательное отношение к учению и интеллектуальной деятельности в целом. К 13 – 14 эти трудности могут усугубляться.

Особенности самосознания и самооценки проявляются и в поведении. При заниженной самооценке подросток стремится к решению самых простых задач, что мешает его развитию. При завышенной (что довольно редко встречается в этом возрасте) он переоценивает свои возможности, стремится выполнить то, с чем не в состоянии справиться.

Для прогрессивного развития подростка 13-14 лет необходимы такие педагогические воздействия как опора на положительные, конструктивные тенденции развития и новые психологические образования:  абстрактное мышление; самосознание; половая идентификация; чувство “взрослости”, переоценка ценностей, автономная мораль. Целенаправленное формирование абстрактно-логических форм мышления и развитие познавательной деятельности должно явиться основной задачей развития учащихся средней школы. [24, 26,28]

Психологическую основу процесса решения предметных задач, в том числе решаемых при помощи составления дробных рациональных уравнений составляют познавательные действия, являющиеся, по сути, умственными действиями.

Деятельность учащихся в процессе обучения теме «Решение текстовых задач на составление дробно-рациональных выражений» требует достаточно развитого абстрактного мышления, умения анализировать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи. При этом обучающийся использует такие познавательные УУД, как:

1. принятие и сохранение учебной задачи;

2. смысловое чтение условия задачи, определение основной и второстепенной информации;

3. структурирование информации и знаний;

4. выполнение знаково-символических действий, моделирование ситуации, описанной в условии задачи;

5. выбор эффективных способов решения задачи в зависимости от конкретного условия;

6. произвольное и осознанное построение речевых высказываний при устном объяснении решения задачи и в письменных комментариях;

7. рефлексия способов и условий действий в процессе проверки;

8. самоконтроль и самооценка процесса и результатов решения задач на составление дробного рационального уравнения.

(Список УУД, формирующихся при решении задач на составление дробного рационального уравнения составлен на основе Приложения 3 из учебно-методического издания «Методика формирования универсальных учебных действий при обучении алгебре» автора Л.И.Баженковой, (6;стр. 206)

В статье Кашицыной Ю.Н.[11] разработана таблица, иллюстрирующая взаимосвязь этапов решения текстовых задач, мыслительной деятельности учащихся и познавательных УУД.

Этапы решения текстовых задач на составление уравнения

Таблица 1.

Этап решения задачи	Интеллектуальная деятельность учащегося	Познавательные универсальные учебные действия
1.Анализ формулировки текста задачи	1. Определить тип задачи. 2. Назвать общий метод решения задач данного типа. 3.Перечислить этапы решения задачи. 4. Спрогнозировать ответ.	-постановка цели -выделение необходимой информации - смысловое чтение - анализ -осознанное построение речевого высказывания -прогнозирование результата
2.Схематическая запись задачи	5. Назвать величины, о которых идёт речь в задаче. 6. Установить операцию связи между этими величинами. 7. Проверить согласованность величин и если необходимо – согласовать величины. 8.Составить схему, рисунок реальной ситуации (если возможно).	-знаково-символические действия -структурирование знаний - осознанное построение речевого высказывания
3. Поиск способа решения задачи	9. Перечислить все возможные способы решения. 10. Выбрать наиболее эффективный способ решения. 11. Назвать все неизвестные величины. 12. Обозначить одну из неизвестных за переменную х, а остальные выразить через х. 13. Ограничить введённые величины 14. Составить таблицу и внести в неё соответствующие данные 15. Составить математическую модель, в виде дробно – рационального уравнения 16. Рассмотреть другие виды математических моделей. 17. Назвать алгоритм работы с данной моделью. 18. Указать возможные трудности в работе с данной моделью.	-формулирование проблемы -выдвижение гипотез -моделирование - установление причинно – следственных связей -выбор наиболее эффективных способов решения задачи
4. Реализация плана решения	19. Решить дробно-рациональное уравнение.	-знаково – символические действия -моделирование -алгоритмизация (выведение следствий)
5. Формулирование ответа задачи	20. Проанализировать полученный результат в решении уравнения, если необходимо выполнить дополнительные действия. 21. Записать ответ	-смысловое чтение - проверка гипотез -построение речевого высказывания
6.Проверка решения задачи	22. Перечислить способы проверки. 23.Указать возможные ошибки. 24.Оценить свою работу и работу своего одноклассника. 25. Обоснованно назвать отметку по традиционной шкале.	- способы проверки -доказательство гипотез -контроль, способы проверки, возможные ошибки -самооценка
7. Анализ решения задачи, исследование задачи	26. Предложить другой метод решения. 27. Составить аналогичную задачу. 28. Составить обратную задачу. 29. Привести пример задач другого вида с операцией произведения между величинами.	-причинно-следственные связи с другими типами задач -составление обратных задач -составление аналогичных задач -синтез

Автор разъясняет, как научить школьника решать текстовые задачи на составление уравнений с учетом особенностей восприятия учебной информации: «Обращая внимание на формирование всех видов универсальных учебных действий, учащийся в результате решения задачи усваивает понятие задачи, её структуру и компоненты, процесс решения, приёмы работы с текстом задачи, способы решения отдельных видов задач, общие методы поиска решения, приёмы самоконтроля и самооценки, приёмы составления задачи. Для школьника не будет затруднений при выполнении заданий, в которых требуется установить соответствие между текстом задачи и видом математической модели, являющейся решением, или заполнить таблицу с недостающими данными к задаче, или найти ошибку в предоставленном решении. Таким образом, систематическое выполнение всех этапов решения текстовой задачи в соответствии с таблицей 1, будет влиять на развитие не только познавательных УУД, но и взаимосвязанных с ними личностных, регулятивных и коммуникативных УУД, а также способствовать выполнению требований ФГОС в достижении нового образовательного результата»[11].

2.2 Анализ УМК

Для обучения алгебре в 8 классе МОУ «Туровская ООШ» используется учебник «Алгебра 8 класс», авторов Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др.

Учебный материал в данном учебном пособии представлен следующими темами:

Таблица 2

№п\п	Наименование темы	Параграфы	Кол-во часов, запланированных по КТП на изучение темы
1.	Рациональные дроби	1-3	25 ч.
2.	Квадратные корни	4-7	21 ч.
3.	Квадратные уравнения	8-9	28 ч.
4.	Неравенства	10-11	25 ч.
5.	Степень с целым показателем. Элементы статистики	12-13	14 ч.

Текстовые задачи на составление дробно-рациональных выражений в школьном курсе алгебры 8 класса в УМК авторов Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. рассматриваются в теме «Квадратные уравнения», в пункте 26 «Решение задач с помощью рациональных уравнений». Всего представлено 19 задач, из них 5 задач обязательного уровня, 2 задачи повышенной трудности (по классификации автора) (15;стр.146).

Характеристика текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в учебнике алгебры 8 класса. УМК авторов Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др.

Таблица 3

№ п/п	Тип задачи	Уровень сложности
		Базовый	Повышенной сложности	Высокой сложности
1	задачи на движение по дороге	№ 618, 619,620	№ 621
2	задачи на движение по воде	№ 628	№627,629
3	задачи на совместную работу		№632
4	задачи на смеси, сплавы и растворы		№630,631
5	задачи на производительность		№622
6	задачи на среднюю скорость			№634,635
7	старинные задачи		№625
8	задачи на соотношение между числами	№617
9	задачи на отношение между стоимостью, ценой, количеством		№ 623

Из анализа таблицы 2 видно, что в УМК авторов Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. задач базового уровня мало и нет разнообразия (представлены не всех типов). Для общеобразовательной школы более актуальным является проработка достаточного объёма именно задач базового уровня, необходимых на этапе усвоения теоретического материала. Этот вид задач, как говорилось ранее, позволяет не только усвоить понятие, но и осуществить «обратную связь», оценить, как поняли учащиеся новый материал. Следовательно, при разработке методики изучения данной темы необходимо подобрать дополнительные задачи для работы на уроке, а задачи учебника целесообразно использовать для закрепления темы во время самостоятельной домашней работы обучающихся.

2.3 Опыт реализации методики обучения решению текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса

При обучении теме «Решение текстовых задач на составление дробно-рациональных выражений» для формирования УУД в школьном курсе алгебры 8 класса целесообразно использовать разноуровневые задания и метод моделирования, т.к. моделирование является одной из важнейших задач математики.

Разработка системы уроков начинается с проектирования темы. Для этого можно опираться на схему проектирования, разработанную Л.И.Боженковой (5;стр.168). Согласно этой схеме педагогическое проектирование учебной темы «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений» в рамках темы дипломной работы состояло из следующих этапов:

1.Выбрать УМК, тему и установить количество часов, отведенных на изучение темы в соответствии с УМК и базисным планом школы.

2.Составить первоначальное поурочное планирование темы.

3.Выполнить логико-дидактический анализ (ЛДА) темы.

4.По результатам ЛДА выявить возможность выполнения типовых заданий ТЗ; сформулировать типовые задания.

5.Составить перечень средств, необходимых для изучения темы, подобрать готовые или разработать эти средства.

6.Составить таблицу планируемых результатов изучения темы для целей 1-4, используя соответствующие таблицы планируемых результатов изучения содержательно-методических линий (в когнитивной области), конкретизировать учебные задачи для выбранной темы.

7.Добавить в таблицу соответствующие средства обучения

8.Составить карту изучения темы.

9.Перейти к проектированию уроков по данной учебной теме.

При разработке календарно-тематического планирование на решение задач при помощи составления дробных рациональных уравнений запланировано 4 урока.

Фрагмент календарного планирования по алгебре, 8 класс.

Таблица 4

№ урока		Тема урока	Срок проведения по плану
67		26. Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений	3 четверть
68		26. Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений	3 четверть
69		26. Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений	3 четверть
70		26. Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений	3 четверть

I. Последовательность уроков и цели изучения темы

Постановка целей обучения математике должна исходить из требований Стандарта к планируемым результатам обучения. Поэтому на первом этапе проектирования необходимо разработать таблицу целей обучения теме «Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений». В таблице цели конкретизируются в учебные задачи и деятельность по их достижению распределяется в тематическом планировании по урокам.

Таблица целей обучения теме «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений», 8 класс, учебник алгебры, Макарычев Ю.Н., Н.Г. Миндюк и др. Таблица 5

Формулировка обобщенных целей			Цели обучения математике на уровне изучаемой темы		Формулировка учебных задач, с помощью которых достигается цель на уровне изучаемой темы					Познавательные общеучебные УУД
					Ученик научится		Ученик получит возможность научиться
Цель 1	Целеполагание	1.1.Научиться распознавать и решать задачи новым способом – составлением дробного рационального уравнения		1.Ставить цель своего обучения при помощи учителя		2.Самостоятельно сформулирует цель своей учебной деятельности в рамках изучаемой темы		1.Принятие и сохранение познавательной цели (учебной задачи) 2.Самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели
Цель 2	Приобретение учебной информации и становление интеллектуальных умений	2.1.Устанавливать причинно-следственные связи и взаимоотношения между величинами, данными в задаче на составление дробного рационального уравнения 2.2 Распознавать задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений		3.Применять смысловое чтение условия задачи, определение основной и второстепенной информации 4.Выполнять умозаключения, приводящие к составлению дробного рационального уравнения для решения задачи 5.Распознавать задачи на составление дробных рациональных уравнений.		6.Сравнивать типы задач 7.Находить другие способы решения задач (геометрический)		3.Поиск необходимой информации и её понимание
Цель 3	Применение учебной информации при решении математических и учебных задач	3.1.Анализировать текстовую информацию; структурировать ее, сравнивать. 3.2. Создавать знаковую модель задачи (рисунок, схема) 3.3. записывать разные математические модели к решению данной задачи 3.4.Строить речевые и письменные высказывания 3.5.Моделировать реальные ситуации на языке математики 3.6.Самостоятельно достраивать недостающие компоненты		8.Составлять и реализовывать план решения задачи при помощи рисунка или схемы, составления краткой записи. 9.Составлять дробное рациональное уравнение по условию задачи при помощи предписания 10.Строить логическую цепь рассуждений, выполнять пошаговую запись решения задачи 11.Решать задачи обязательного уровня, используя алгоритм.		12.Составлять предписание для решения задач на составление дробных рациональных уравнений. 13.Приводить пример текстовой задачи не обязательно на движение, но которая так же могла быть решена с помощью дробно – рационального уравнения, 14.Составлять задачи на применение дробных рациональных уравнений. 15.Составлять текст задачи по заданной модели 16.Решать задачи повышенной сложности, используя эвристики		4.Структурирование информации и знаний (в том числе составление текстов), их понимание 5.Выполнение знаково-символических действий (в том числе моделирования) 6.Выбор эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий 7.Произвольное и осознанное построение речевых высказываний в устной и письменной формах
Цель 4	Контроль знаний и умений, их коррекция	4.1.Выполнять рефлексию способов и условий действия, контроль действия		17.Выполнять проверку решения, находить и исправлять ошибки; соотносить ответ с требованиями в условии задачи, отбирать допустимые значения переменной.		18.Самостоятельно оценивать свои знания по критериям 19.Указывать на возможные ошибки и трудности в решении задачи, 20.Составлять обратную задачу.		8.Рефлексия способов и условий действия 9.Самоконтроль и самооценка процесса и результатов деятельности

Тематическое планирование темы «Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений», 8 класс.

Таблица 6

Последовательность уроков в КТП	Последовательность уроков в теме	Тема урока	Тип урока	Содержание урока	Цели	Задачи	Средства помощи
67	1	26.Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений	Урок открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков	Целеполагание. Актуализация опорных знаний учащихся. Рассмотрение текстовых задач, приводящих к составлению дробного рационального уравнения. Анализ условия текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений при помощи предписания 10. Составление дробных рациональных уравнений по условию задачи. Определение (распознавание) текстовых задач на составление дробно-рациональных уравнений. Составление предписания. Самостоятельное составление дробно-рационального уравнения по условию задачи.	1,2,3	1-6	8;9:10;11;12
68	2	26.Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений	Урок рефлексии	Фронтальное решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений на движение по дороге, по воде, выделяя основные этапы математического моделирования. Отбор решений уравнения в соответствии с условием задачи. Составление предписания.	2; 3	3 - 12	1;2;3 ;4;5;6;7;8;9;10;11
69	3	26.Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений	Урок рефлексии	Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений на производительность, на совместную работу, выделяя основные этапы математического моделирования, отбор решений уравнения в соответствии с условием задачи. Самостоятельно искать и отбирать информацию для решения учебных задач с использованием алгоритма. Работа в парах. Самопроверка по критериям.	3,2	13;14	1;2;3 ;4;5;6;7;8;9;10;11
70	4	26.Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений	Урок систематизации знаний	Решение текстовых задач повышенной сложности с помощью дробных рациональных уравнений с использованием эвристик. Знакомство с геометрическим методом. Самостоятельная работа в системе Д.Гущина «Решу ОГЭ»	4	15 - 17	1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11.

Далее разрабатывается блок актуализации знаний учащихся и блок «Основные предметные результаты изучения темы». В них учитель определяет содержание учебной информации, которую обучающийся должен знать и уметь применять в рамках изучаемой темы. При изучении темы «Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений» эти разделы принимают следующий вид.

II. Блок актуализации знаний учащихся (Цель 3,4)

Знать и уметь применять: Понятия «допустимые значения переменной», «дробное рациональное выражение», «корень уравнения», «решить уравнение», «побочные корни», «корни дробно-рационального уравнения», «применять формулы сокращенного умножения, вынесение общего множителя за скобки, разложения на множители квадратного трехчлена», «сложение алгебраических дробей с разными знаменателями», «приведение к общему знаменателю алгебраических дробей», «алгоритм решения линейных уравнений и осуществлять проверку корней подстановкой», «алгоритм решения квадратных уравнений и осуществлять проверку корней по теореме Виета»», «алгоритм решения дробных рациональных уравнений и производить отбор корней».

III.Основные предметные результаты изучения темы (Цель 3,4)

Знать и уметь применять: Распознавать типы текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений, решать задачи на движение по дороге, по воде, на производительность, на совместную работу, выделяя основные этапы математического моделирования переходить от словесной формулировки к алгебраической модели путем составления квадратного и линейного дробных рациональных уравнений, интерпретировать полученный результат.

Результат усвоения темы, а, следовательно, уровень сформированности УУД, можно оценить по результатам контроля. В теме «Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений» будет достаточным предусмотреть одну самостоятельную работу, включающую разноуровневые, а не однотипные, задачи. Так как при проведении фронтальной самостоятельной работы все учащиеся решают одну и ту же задачу. Для некоторых из них эта задача может быть очень легкой, и они при решении такой задачи не приобретут новых знаний. А для некоторых задача может быть трудной. Вот поэтому необходимо учитывать индивидуальные особенности учащихся и индивидуально подбирать и систематизировать задачи так, чтобы учитывались возможности и способности ученика. Задачей учителя является выяснить уровень подготовки, возможности и способности каждого ученика. Можно подбирать задачи для отдельных групп школьников класса. При такой организации обучения слабые ученики, не хотят выглядеть хуже всех, стараются, обретают веру в свои силы. А сильных учеников появится возможность совершенствовать свои способности. При такой организации решения задач больше пользы, чем при фронтальной работе.

IV. Образец задания для самостоятельной работы (Цель 4).

Таблица 7

№	Содержание задания	Баллы	Отметка	Средства помощи
1 уровень	Задача на движение по дороге, по воде Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов. (Ответ. скорости велосипедистов 12 и 15 км\ч Уравнение ;) Моторная лодка прошла против течения реки  км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на  часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна  км/ч. Ответ дайте в км/ч. (Ответ. скорость лодки в неподвижной воде 16 км/ч; D=441 Уравнение ) [18]	9	3	1-10
2 уровень	Задача на производительность Заказ на  деталей первый рабочий выполняет на  час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на  деталь больше? (Ответ. 10 деталей в час делает второй рабочий; D=441 Уравнение ) [18]	10,11	4	6-10
3 уровень	Задача на совместную работу, состав смеси, сплава и др. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за  дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? (Ответ. 10 деталей в час делает второй рабочий; D=441 Уравнение ) [18]	12	5	10

Пояснение: Баллы установлены в соответствии с пунктами схемы решения задачи на составление дробно-рационального уравнения (Таблица 9).

Для поддержания положительной мотивации к изучению темы целесообразно

давать разно уровневые задания для внеаудиторной (домашней) самостоятельной работы.

V. Задания для внеаудиторной (домашней) самостоятельной работы.

Таблица 8

№ урока по теме	Описание задания	Уровень
		базовый	повышенный	высокий
1	Решить составленные на уроке к задачам дробные рациональные уравнения. Составить уравнения к задаче по схеме.	№ 619 №617	№619 № 620	№619 №621
2	Решить текстовую задачу на составление дробного рационального уравнения	№ 628	№ 622, 629	№ 625,626
3	Решить текстовую задачу на составление дробного рационального уравнения	№620,627	№624,628,631	№632, 633,634
4	Индивидуальные задания	Составить и решить текстовую задачу по дробно-рациональному уравнению	Решить текстовую задачу на применение дробного рационального уравнения. Составить к ней обратную задачу и решить.	Составить или подобрать и решить текстовую задачу на применение дробного рационального уравнения

Федеральный Государственный Образовательный Стандарт (ФГОС) предполагает организацию процесса обучения на основе системно-деятельностного подхода. В приоритете самостоятельная работа учеников, а не учителя. Одним из методов реализации системно-деятельностного подхода в математике является выполнение типовых заданий. По мнению Боженковой Л.И. «Основной характеристикой типовых заданий является то, что их выполнение связано со структурированием учебной информации, когда происходит её понимание и усвоение, а результатом являются схемы, предписания, таблицы и другие образовательные продукты, созданные учащимися. При выполнении типовых заданий формируются или используются общеучебные и логические познавательные виды УУД….. Выполняя типовые задания, учащиеся усваивают математику в процессе активной, самостоятельной интеллектуальной деятельности под руководством учителя…» [6;стр.41]

При обучении теме «Решение текстовых задач с помощью дробных рациональных уравнений» на этапе открытия новых знаний, обретения новых умений и навыков учащиеся после знакомства с задачами, приводящими к составлению дробного рационального уравнения, могут составить предписание, выражающее общий подход к решению задач, данного типа.

Предписание решения задач на составление дробных рациональных уравнений Таблица 9

Внимательно прочитать условие задачи. Выяснить о каких величинах идет речь в условии? Установить, что используются величины, связанные дробным выражением. Согласованны ли эти величины? Привести величины к единым единицам измерения. Установить взаимосвязь между всеми величинами. (Т.е., какими действиями они связаны: сложение, вычитание, деление, умножение) Какие ситуации описываются в задаче, сколько их? Составить краткую запись задачи, рисунок или схему. Внести в таблицу все известные величины. Выбрать величину, которую удобно принять за неизвестное. Выразить остальные неизвестные через неё. Определить, в каких комбинациях находятся неизвестные. Найти условие для оставления дробного рационального уравнения: сравнимость, равенство, сумма. 10.Составить дробное рациональное уравнение. 11.Решить дробного рационального уравнение, проверить корни квадратного уравнения, исключить корни, обращающие знаменатель в нуль. 12.Вернуться к условию и выбрать корни, соответствующие области допустимых значений решению задачи. 13.В ответ записать не корни дробного рационального уравнения, а решение задачи.

При выполнении этого типового задания у обучающихся будут формироваться такие познавательные УУД как анализ, синтез, сравнение, обобщение, структурирование, достраивание информации.

Для работы в классе на этапе рефлексии учителю необходимо подобрать разнообразные текстовые задачи на составление дробных рациональных уравнений, рассмотреть методы, этапы решения этих задач. Как говорилось ранее, многие из этих задач являются сюжетными. В школьном курсе к ним относятся задачи на движение, работу, смеси, проценты и др. (Приложение 2). Чтобы решить такие задачи, важно правильно воспринимать ситуации, и опираться на образ. В помощь обучающимся может быть предложена таблица взаимозависимости некоторых величин, связанных дробным выражением (Приложение 1). При решении таких задач реализуется обучение методу моделирования.

При составлении модели к текстовой задаче могут помочь несколько советов. Первое прочтение задачи ознакомительное. Надо попытаться получить информацию и представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или просто краткая запись условия задачи. При решении задач короткую запись задачи можно сделать с помощью рисунка или таблицы. Второе прочтение имеет своей целью выбор неизвестных, при этом не обращаем внимания на числа и «мелочи». Главное, чтобы неизвестные соответствовали условию задачи, при составлении соответствующей “математической модели” (уравнение, неравенство, система уравнений или неравенств). При третьем прочтении задачи следует ее условие расчленить на логические части и обсудить. Необходимо следить за тем, что соответствует каждой фразе текста задачи в полученной математической записи и чему в тексте задачи соответствует каждый “знак” полученной записи (сами неизвестные, действия над ними, полученные уравнения, неравенства или их системы). Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное. Если решение задачи не получается, то нужно ещё раз прочитать и проанализировать задачу (заданный текст и полученную запись). Иногда по условию задачи достаточно отыскать не сами неизвестные, а их комбинации. Данные из условия задачи полезно представить в виде таблицы, т.к. таблица является универсальным средством и позволяет решать большое количество идейно близких задач. Кроме того, от таблицы легче перейти к модели задачи в виде дробно-рационального уравнения [26].

Ниже представлены шаблоны таблиц, которые предлагаются учащимся для заполнения при анализе условия задач на составление дробно-рациональных уравнений.

Задачи на:

1.Движение по дороге

В качестве переменной удобней брать скорость.

ситуация	S	v	t	в каких комбинациях находятся неизвестные
1-ая		х	t=S/v
2-ая

2.Движение по воде

ситуация	S	v теч.	v движения	t	в каких комбинациях находятся неизвестные
По течению		х		t=S/v
Против течения

Задачи на работу также решаются с помощью одной-единственной формулы: . Здесь  — работа,  — время, а величина , которая по смыслу является скоростью работы, носит специальное название — производительность. Она показывает, сколько работы сделано в единицу времени. Например, продавец в супермаркете надувает воздушные шарики. Количество шариков, которые он надует за час — это и есть его производительность.

Правила решения задач на работу очень просты.

1. , то есть работа  производительность  время. Из этой формулы легко найти  или .

2. Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству.

3. Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода…) — их производительности складываются. Очень логичное правило.

4. В качестве переменной  удобно взять именно производительность.[19]

3.На производительность

Ситуация	Работа - количество, А	Производитель ность, р	Время,t	в каких комбинациях находятся неизвестные
1-ая		х	t =А/р
2-ая

4.На совместную работу

Ситуация	Время,t	Работа - объем, А	Производитель ность, р	в каких комбинациях находятся неизвестные
1-ая		1	р=А/t
2-ая		1
3-ая		1

Реализация описанных приемов изложена в технологической карте урока № 67.1 «Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений» (Приложение 3).

Так же полезно решить хотя бы одну задачу, используя разные способы. Например, рассмотрим следующую задачу:

Поезд опаздывал на 1 час. Чтобы приехать вовремя, он увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию. (Ответ: 80 км/час).

1 способ. Алгебраический метод.

Анализ условия задачи:

1. 720 км – это расстояние

10 км/ч – это скорость

1ч – это время

Все величины даны в единых единицах измерения

1. Формулы взаимосвязи: v=S\t; t =S\v; S = v*t

2. Задача на движение по дороге двух автомобилей

3. Можно составить к условию задачи таблицу

4. ситуация	S (км)	v (км/час)	t (ч)
   По расписанию	720	v1=x	t1=720/ x
   На самом деле	720	v2 = x+10	t2=720/x+10

   Условие сравнения: t₁ больше t₂ на 1 час, следовательно: t₁ - t₂ = 1

5. Уравнение:

6. (720/ x) – (720/x+10) = 1; математическая модель - дробно-рациональное уравнение

Решение уравнения:

х(х+10)≠0

720х+7200-720х-х²-10х=0

 х²+10х-7200=0

х₁=80; х₂= -90

Отбор корней: х ≠ 0; х ≠ -10

Отбор решений: х₂= -90 - не удовлетворяет условию задачи

Следовательно, скорость поезда по расписанию - 80 км/час.

Ответ: 80 км/час.

2 способ. Геометрический метод.

Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида (3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

2) решение получившейся геометрической задачи,

3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).

АД – время движения поезда по расписанию (ч).

S(путь) = v*t, S_АВСД (площадь)= АВ х АД = 720.

Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час,

то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час.

C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

S_AEFK = S_АВСД = 720

S₁+S₃=S₂+S₃ =S₁=S₂.

S₁ = х и S₂ =10х EF.

Отсюда

Получили, что 

 используя что S₁=S₂ получим уравнение:

Решив это уравнение, мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

Уравнения могут быть такими:

Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями [22].

3 способ. При помощи графика обратной пропорциональной зависимости.

В пособии Е. М. Кондрушенко «Функции, уравнения и неравенства в школьном курсе математики» описан метод обучения решению задач на составление дробно-рациональных уравнений с помощью графиков: «В 8-м классе можно раскрыть перед учащимися условность деления задач на движение и на работу, продемонстрировав использование графиков при решении задач на составление уравнений (метод решения сюжетных задач, очень редко используемый в практике обучения). Этот метод помогает решению ряда методических задач:

а) четко определяется начало действия;

б) графическая иллюстрация облегчает проведение анализа, составление уравнений, помогает найти несколько способов решения;

в) расширяется область использования графиков, повышается графическая культура;

г) совершенствуется техника решения уравнений (разделение переменных)

д) реализуются межпредметные (математика и физика) и внутрипредметные (алгебра и геометрия) связи.

Рассмотрим график обратной пропорциональной зависимости (см. рис.1).

Рис. 1

Опуская перпендикуляры из точек графика на оси координат, получаем ряд равновеликих прямоугольников.

.

.

Использование прямоугольников и лежит в основе предлагаемого метода, который применим к подавляющему большинству задач на работу, задач на движение и к ряду других задач. В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Задача. Пройдя половину пути, теплоход увеличил скорость в 2 раза, благодаря чему прибыл в конечный пункт на час раньше срока. Сколько времени плыл теплоход?

Решение (рис. 2). Пусть t — планируемая затрата времени (в ч), (t – 1) — фактическая затрата времени (в ч).

I способ.

, .

Ответ: 3 ч.

II способ. Исключается общая площадь I.

, , .

III способ. Исключается общая площадь II.

, , .

Рис. 2 [12;стр. 91]

Таким образом, в процессе поиска различных способов решения одной задачи, у обучающихся формируются такие виды УУД, как выделение необходимой информации, смысловое чтение, анализ, осознанное построение речевого высказывания, знаково-символические действия, структурирование знаний, выдвижение гипотез, моделирование, установление причинно – следственных связей, выбор наиболее эффективных способов решения задачи.

При обучении теме «Решение задач на составление дробных рациональных уравнений» выявлено, что наибольшую трудность вызывает понимание, в каких комбинациях находятся неизвестные и, соответственно, математическое выражение этих отношений. Поэтому учащиеся в процессе анализа условия задачи должны обдумывать смысл слов, осуществлять поиск условия для оставления дробного рационального уравнения: сравнимость, равенство, сумма. Следовательно, данная учебно-познавательная деятельность формирует логические УУД. Обучение использованию алгоритмов, таблиц, рисунков, общих приемов дает возможность ликвидировать у большей части учащихся страх перед текстовой задачей, научить распознавать типы задач и правильно выбирать прием решения.

VI. Средства обучения (помощи)

Для изучения данной темы в качестве наглядного материала подобраны следующие средства обучения (помощи):

1. Таблица «Формулы сокращенного умножения»;

2. Предписание для решения линейного уравнения;

3. Предписания для разложения многочленов на множители[6; стр.223];

4. Предписание для сложения алгебраических дробей с разными знаменателями;

5. Предписание для приведения алгебраических дробей к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) [6; стр.224];

6. Предписание для решения квадратного уравнения;

7. Дробно-рациональные уравнения и способы их решения [6; стр.126];

8. Построение математической модели задачи [6; стр.134];

9. Схема решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

10. Таблица взаимозависимости некоторых величин;

11. Таблицы для анализа условия задачи на составление дробно-рациональных уравнений;

12. Набор текстов задач;

13. Технологическая карта урока № 67.1 « Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений»;

14. Презентация «Решения задач на составление дробных рациональных уравнений».

Заключение.

«Задач бывает либо мало,

либо совсем мало»

Мерзляк А.Г.

Тема выпускной квалификационной работы "Формирование познавательных универсальных учебных действий обучающихся посредством решения текстовых задач на составление дробно-рациональных выражений в условиях реализации ФГОС ООО" является одной из актуальных в современной методике преподавания математики. Именно текстовые задачи и только они проверяют умения учащегося в комплексе – от навыков читать, вчитываться в условия задачи, правильно понимать написанное до умения провести анализ и применить в процессе решения математические знания. В процессе самостоятельного решения текстовых задач, в том числе на составление дробных рациональных уравнений, как и в процессе самостоятельного доказательства теорем и вывода формул, формируется, развивается и оттачивается (если хотите, шлифуется) мышление учащихся. Если учесть, что ценность знаний слишком динамично изменяется в современном мире, то понятно, что усваивать следует исключительно фундаментальные знания (их не так и много) и методы науки (в нашем случае математики). Современный молодой человек вынужден будет учиться всю жизнь: перестал учиться – не найдешь работу. Поэтому интенсивно следует развивать интеллект, а не умения щелкать примеры. А это возможно лишь при системно-деятельностном подходе, наличии у человека сформированных УУД.

В курсе математики 5–9-х классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: алгебраический и арифметический. Причем использование алгебраического метода от класса к классу расширяется, а арифметического — сужается, поскольку уровень сложности задач возрастает, и алгебраический способ их решения становится наиболее простым. Переход от арифметического способа решения задач к алгебраическому сложен для учащихся (так как в последнем используется идея функциональной зависимости), поэтому он должен быть постепенным и учащиеся должны быть подготовлены к восприятию алгебраического метода решения задач. Решение задач при помощи дробных рациональных уравнений относится к алгебраическому методу и, следовательно, способствует повышению уровня математического развития учащихся и глубины усвоения ими учебного материала. Учащиеся достигают более высоких результатов обучения. Деятельность обучающегося, осуществляемая при решении задач, формирует познавательные УУД: ученик читает условия, характеризующие некоторую бытовую ситуацию, переводит эту ситуацию на математический язык (составляет уравнения) и затем решает уравнения, уже не думая о данной бытовой ситуации. Он работает с математической моделью. Наконец, он получает результат на языке этой модели и переводит его на естественный язык (осмысление и запись ответа) - получает решение бытовой задачи. У учащихся наблюдается активизация их мыслительной деятельности. При правильной организации работы у учащихся развивается активность, наблюдательность, находчивость, сообразительность, смекалка, развивается абстрактное мышление, умение применять теорию к решению конкретных задач.

Действительно, во главу угла ставится развитие личности ребенка, как заложено в Федеральном Государственном Образовательном Стандарте (ФГОС ООО). Обучение ребенка осуществляется на основе личностно-ориентированного, индивидуального характера, в приоритете самостоятельная работа учеников, а не учителя. Осуществляется практический, деятельностный подход. Каждый урок направлен на развитие универсальных учебных действий (УУД): личностных, коммуникативных, регулятивных и познавательных. Авторитарный стиль общения между учеником и учителем уходит в прошлое. Теперь задача учителя — помогать в освоении новых знаний и направлять учебный процесс.

В процессе исследования были достигнуты следующие задачи:

• Изучен и систематизирован теоретический материал по методике работы над текстовыми задачами на составление дробных рациональных уравнений;

• Разработана методика обучения решению текстовых задач при помощи дробно-рациональных уравнений в школьном курсе алгебры 8 класса в условиях реализации ФГОС ООО.

• Выяснено, какие трудности возникают в ходе решения задач на составление дробных рациональных уравнений, указаны способы преодоления;

• Подобраны практические упражнения, которые способствуют формированию навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

Материалы выпускной квалификационной работы могут быть использованы в практической деятельности учителей математики.

Список использованных источников

1. Алгебра. Сборник рабочих программ. 7—9 классы: пособие для учителей общеобразоват. организаций / [составитель Т. А. Бурмистрова]. — 2-е изд., доп. — М. : Просвещение, 2014. — 96 с.

2. Алимов Ш. А. и др. Алгебра. 8 класс. — 19-е изд. - М.: Просвещение, М.: 2012. - 255 с. 

3. Асташкина И.С., Бубличенко О.А. Дидактические материалы к урокам алгебры. -- Ростов н/Д: Феникс, 2003.

4. Батракова Л. Б.— Конспект урока «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений. 8-й класс». – http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn -- /658113/(дата обращения 22.09.17) - Сайт 1 сентября.

5. Библиотека материалов. Курсовая работа "Текстовые задачи" - https://infourok.ru/kursovaya_rabota_tekstovye_zadachi-298397.htm (дата обращения 09.10.2017)

6. Боженкова Л.И. Методика формирования универсальных учебных действий при обучении алгебре. – М.: Лаборатория знаний, 2016. — 240 с.

7. Федеральные государственные образовательные стандарты общего образования и примерные основные общеобразовательные программы (ФГОС ООО) – 2004.

8. Википедия — свободная энциклопедия. - https://ru.wikipedia.org/wiki (дата обращения 30.08.2017).

9. Жохов В. И., Карташева Г. Д. - Уроки алгебры в 8 классе. Книга для учителя. 4-е изд. - М.: Просвещение, 2011 - 80с. 

10. Жохов В. И., Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.: Алгебра. 8 класс. Дидактические материалы. 22-е изд. - М.: Просвещение, 2017 – 240 с. 

11. Кашицына Ю. Н. Формирование познавательных универсальных учебных действий при обучении решению задач на составление дробно-рациональных уравнений (статья).

12. Кондрушенко Е. М. Функции, уравнения и неравенства в школьном курсе математики — Великий Новгород: МОУ ПКС «Институт образовательного маркетинга и кадровых ресурсов», 2007. — 104 с.

13. Концепция развития математического образования в Российской Федерации. — Распоряжение Правительства Российской Федерации от 24 декабря 2013 г. N 2506-р г. Москва

14. Короваева Г.Н. Набор основных текстовых задач для самостоятельного изучения и решения учащимися. /211295/(дата обращения 06.10.17.) - Сайт 1 сентября.

15. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразовательных организаций с прил. На электрон. Носителе; под ред. С.А.Теляковского. – М.: Просвещение, 2014. – 287 с.

16. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Сборник задач и контрольных работ. Алгебра 8. – 2010

17. Миндюк Н.Г., Шлыкова И.С. - Алгебра. 8 класс. Методические рекомендации - М.: Просвещение, 2016 - 192 с. 

18. Миндюк Н. Г. - Алгебра. Рабочие программы. Предметная линия учебников Ю. Н. Макарычева и др. 7 — 9 классы - М.: Просвещение, 2011 - 32с. 

19. Образовательная компания ЕГЭ студия - http://ege-study.ru/ materialy-ege/tekstovaya-zadacha-v13-na-ege-po-matematike/ (Дата обращения 08.10.2017)

20. Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра 8. Дидактические материалы. – М.: Просвещение, 2013. – 111 с.

21. Примерная программа основного общего образования в образовательной области «Математика и информатика» -- http://минобрнауки.рф/документы/938. (дата обращения 29.09.2017)

22. Попрыго Н. А. -- План-конспект урока «Решение дробно-рациональных уравнений»--https://nsportal.ru/shkola/.../urok-po-teme-reshenie-drobno-ratsionalnykh-uravneniy (дата обращения 22.09.17).

23. Сайт Академик.ru -- spiritual_culture.academic.ru/2348/ (дата обращения 08.09.17).

24. Сайт elabuga-shcool8. Возрастные особенности. -- http://elabuga-shcool8.narod.ru / vozrast.html (дата обращения 01.10.2017)

25. Сайт www.matematikaege.ru -- http://matematikaege.ru/rabota/99618-dve-truby-napolnyayut-bassejn-za.html . (дата обращения 01.10.2017)

26. Смирнова Е. О. - Детская психология - М.: Гуманит. Изд. Центр ВЛАДОС, 2003. - 120с.

27. Федеральные Сайт Metodkopilka.ru -- https://www.metod-kopilka.ru/page-udd-1.html (дата обращения 29.09.17)

28. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983 - 160с.

29. Фридман Л. М., Турецкий Е. Н., Стеценко В. Я. Как научиться решать задачи: Беседы о решении математических задач. Пособие для учащихся. — М.: Просвещение, 1979 - 160 с.

30. Шевкин А. В. О задачах «на работу» и не только о них // Математика в школе. — 1993. — №6.

Приложения

1. Таблица взаимозависимости некоторых величин, связанных дробным выражением.

Наименование величины	Обозначение величины	Формулы взаимосвязи
путь	S
время	t	t=S/v
скорость	v	v=S/t
стоимость	a
количество	b	b= a /c
цена	c	c=a / b
работа	А
время	t	t =А/р
производительность (скорость работы)	р	р=А/t
урожай	u
урожайность	z	z = u/S
площадь	S	S= u/z
масса вещества	m
доля вещества (содержание)	ω	ω = m/M
масса смеси (сплава)	M	M= m/ω

2. Набор текстовых задач на составление дробных рациональных уравнений

Задачи на движение по дороге

1. Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорости велосипедистов. (Ответ. ; скорости велосипедистов 12 и 15 км\ч).

2. Из поселка в город, до которого 150 км, отправились одновременно грузовой и легковой автомобиль. Скорость легкового автомобиля на 10км/ч больше скорости грузового, и поэтому он затратил на весь путь на 0,5ч меньше времени, чем грузовой. Найти скорость грузового автомобиля (Ответ. ; скорость грузового автомобиля 50 км\ч).

3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 4 км, отправились два пешехода. Второй пешеход вышел из пункта А на 10 мин позже первого, но пришел в пункт В на 10 мин раньше. Найдите скорость второго пешехода, если известно, что она на 1 км/ч больше скорости первого пешехода.(Ответ.; скорость второго пешехода км/ч).

4. Лыжник должен был проехать 10 км, чтобы в назначенное время вернуться в лагерь. В середине пути он сделал остановку на 15 мин, однако, увеличив скорость на 10 км/ч, приехал в лагерь вовремя. Какова была первоначальная скорость?

5. Поезд опаздывал на 1 час. Чтобы приехать вовремя, он увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию. (Ответ: 80 км/час). [9]

6. Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они встретились в полдень и достигли чужого города : первая в 4 ч пополудня, а вторая в 9ч. Когда они вышли из своих городов? (Ответ. В 6 ч). [8; Стр.16]

Задачи на движение по воде

1. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние 15 км по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

2. Расстояние между двумя пристанями на реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани к другой и через 4 часа вернулась обратно, затратив на стоянку 24 мин. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения равна 2 км/ч. (Ответ: собственная скорость лодки 12 км/ч)

3. Из пункта А отправили по течению плот. Вслед за ним через 5 ч 20 мин из того же пункта вышел катер и догнал плот, пройдя 20 км. Сколько километров в час проходил плот, если катер шел быстрее его на 12 км/ч? (Отве:т x2 = -15 не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, скорость плота 3 км/ч

Уравнение ).

1. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения  км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна  км/ч, стоянка длится  часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через  часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч. (Ответ: 5) [29]

Задачи на совместную работу

1. Две бригады, работая совместно, закончили ремонт дома за 6 дней. Сколько дней потребовалось бы каждой бригаде на выполнение этой работы, если первой бригаде для этого требуется на 5 дней больше, чем второй? (Ответ. x₂ = -3 не удовлетворяет условию задачи, следовательно, первой бригаде на выполнение всей работы потребовалось бы 10 дней, второй – 15 дней).

2. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, можно сделать копию пакета документов за 10 мин. За какое время можно выполнить эту работу в отдельности на каждой машине, если известно, что при работе на первой машине для этого требуется на 15 мин больше, чем на второй.

3. На двух копировальных машинах, работающих одновременно, сделали копию пакета документов за 20 мин. За какое время можно выполнить эту работу в отдельности на каждой машине, если известно, что при работе на первой машине для этого требуется на 30 мин меньше времени, чем на второй.

4. Две трубы наполняют бассейн за 3 часа 36 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 6 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?

5. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за  дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня? (Ответ: за 20 дней). [29]

6.  Первая труба пропускает на  литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом  литров она заполняет на  минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом литров? (Ответ: ) [29]

Задачи на производительность

1. Тракторист должен был вспахать 24 га пашни за некоторый срок. Когда он выполнил половину задания, пошел сильный дождь, поэтому один день оказался нерабочим. После дождя тракторист перевыполнял норму на 1 га в день и выполнил задание к намеченному сроку. Сколько гектаров в день вспахивал тракторист? (Ответ. 4 га). [8; Стр.15]

2. Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая? (Ответ: 20 дней и 30 дней) [9]

3. За один час две трубы наполнили бассейн объемом 22 м³. Сколько кубометров заполнила первая труба, если 2 м³ она заполнила на 3 мин. быстрее, чем вторая труба заполнила 3 м³? (Ответ. 10 м³) [8; Стр.16]

4. Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

Задачи на смеси, сплавы и растворы

1. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3 , в другом 3:7 . Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?

2. Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили с со 100 г золота. Полученный сплав содержит на 20% больше золота, чем исходный. Сколько граммов серебра содержится в сплаве? [ 22; стр. 61]

Задачи на соотношение чисел

1. Числитель обыкновенной дроби на 7 меньше её знаменателя. Если числитель этой дроби уменьшить на 1, а знаменатель увеличить на 4, то дробь уменьшиться на . Найдите данную дробь.