Урок "Золотое сечение"

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

9 класс

«…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…»

Иоганн Кеплер

Построение

Дано: отрезок АВ.

Построить:

золотое сечение отрезка АВ, т.е. точку С так, чтобы

l

●

D

E

●

●

C

B

A

Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ и на нём отложим отрезок BD = 0,5 AB.

Далее, соединив точки А и D, отложим отрезок DЕ = ВD, и, наконец, АС = АЕ. Точка С является искомой, она производит

золотое сечение отрезка АВ.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗОЛОТОМ ОТНОШЕНИИ

ЗОЛОТОЙ ТРЕУГОЛЬНИК

В

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении.

С

A

ЗОЛОТОЙ ПРЯМОУГОЛЬНИК

L

M

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.

N

K

ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ЗОЛОТАЯ СПИРАЛЬ В ПРИРОДЕ

Золотое сечение и золотая спираль в природе

СООБЩЕНИЕ

Оказывается, что у большинства людей верхняя точка уха (на рисунке это точка В) делит высоту головы вместе с шеей (т.е. отрезок АС) в золотом отношении. Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи. Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.

АПОЛЛОН БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении. Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отношении. Эти пропорции показаны на изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

Работы Фидия

Скульптор Фидий часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос .

Зевс

Олимпийский

Афина Парфенос

ПАРФЕНОН

Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснежный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоящее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропорций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким. Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует золотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно  . Отношения целого ряда частей Парфенона дают число  .

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

А

1. Произвольный отрезок разделите в золотом отношении. Используя полученные отрезки, постройте золотой треугольник, боковой стороной которого является исходный отрезок. 2. На рисунке изображена пентаграмма. Используя данные обозначения и выполнив необходимые измерения, найдите: а) золотые сечения; б) золотые треугольники.

D

С

В

E

K

F

L

M

N

ПЕНТАГРАММА

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций! Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пятиугольники и золотые отношения будут сохраняться.

ЗАКОН УГЛОВ

В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138  .

Угол между лучами-ветками обозначим через α , а угол, дополняющий его до 360  ,  через β . Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол β  большая часть этой величины:

Отсюда получаем уравнение и находим положительный корень

Тогда

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответствует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом сечении.

 

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗОЛОТОМ ОТНОШЕНИИ

«Начала Евклида»

Геометрическое решение

На отрезке АВ построим квадрат АВСD. Найдём точку Y, делящую АВ в среднем отношении.

Соединим точку Е (середину АС) с точкой В. На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок ЕJ = ВЕ. На отрезке AJ построим квадрат AJHY.

Продолжение стороны HJ до пересечения с CD в точке К делит квадрат ABCD на два прямоугольника AYKC и YBDK.

Существует чисто геометрическое доказательство, что прямоугольник YBDK равновелик квадрату AJHY.