Урок в 10 классе по теме:"Производная"

Раздел математики, в котором изучаются производная и ее применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Этот раздел в школьном курсе рассматривается в основах математического анализа. Математический анализ изучает операции дифференцирования и интегрирования функций, исследование функций с помощью производной и начальные сведения о дифференциальных уравнениях.

Производная и дифференциальное исчисление неразрывны. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Например, Евклид в 6-ой книге «Начал геометрии» доказал, что из всех параллелограммов, вписанных в данный треугольник, наибольший размер имеет тот, основание которого равно половине основания треугольника, а Архимед разработал способ проведения касательной, применимой к спирали.

Основное понятие дифференциального исчисления- понятие производной – возникло в 17 веке в связи с необходимостью решать задачи из физики, механики и математики. Создали это исчисление во второй половине 17 века практически одновременно и независимо друг от друга два великих ученых- И.Ньютон (1643-1727) и Г.Лейбниц (1646-1716).

Математиков 15-18 веков долго волновал вопрос о нахождении общего метода для построения касательной в любой точке кривой. Некоторые частные случаи в древности были предложены. Например, Евклид описывал способ построения касательной к окружности, Архимед построил касательную к спирали, Апполоний- к эллипсу, гиперболе и параболе. Впервые общий способ построения касательной к любой кривой был изложен в «Геометрии» Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма, полнее своих предшественников решил эту задачу ученый- математик Лейбниц.

Урок по алгебре и началам анализа в 10 классе

по теме: «Производная»

Цель урока: -повторить определение производной, ее геометрический и механический смысл, закрепить полученные знания по теме при выполнении практических заданий в рамках подготовки к ЕГЭ;

- формировать умения анализировать, сравнивать, обобщать и делать выводы;

- развивать стремление к творчеству, познанию нового.

Организационный момент.

Раздел математики, в котором изучается производная и ее применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Этот раздел в школьном курсе изучается в основах математического анализа, который рассматривает операции дифференцирования и интегрирования функций, исследование их с помощью производной и начальные сведения о дифференциальных уравнениях. В математическом анализе строятся математические модели, описывающие движения, процессы, изменения состояний и производят операции над ними.

Говорят, что математикам присуща дерзость ума, они не любят, когда им о чем-то рассказывают, они хотят до всего дойти сами. Я не призываю вас всех в будущем стать математиками, но я желаю вам до всего доходить самим. Сегодня мы обобщим изученный материал по теме «Производная». А тем, кто не совсем понял какие-то вопросы этой темы, предоставляется хорошая возможность разобраться в них.

Что мы изучили?

- Определение производной, правила вычисления производных функций;

- Геометрический смысл производной;

- физический смысл производной;

- применение производной при вычислениях приближенных значений функций.

Из истории возникновения производной. Выступление и презентация учащегося.

Итак, повторяем.

1 слайд: Какая из записей соответствует определению производной?

Проверка усвоения правил вычисления производных. Выполняется тест в 2-х вариантах. В это время у доски 2 ученика работают по карточкам.

1 карточка. 1). Найти значение f′(π/6 ), если f(х) = sin х+ х²

2). Решить неравенство f′(х) 0, если f(х) = 1/3х³ -2,5х² + 6

2 карточка. 1). Решить уравнение f′(х) = 0, если f(х) = - соs 2х+х

2). Найти значение f′(π), если f(х) = sin х -3х²

Тест

1 вариант 2 вариант

Найти производную функции:

1. f(х) = 3х³+х 1. f(х) =1/3х³-2х

ответы:

1) 9х+1 1) 3х² - 2

2) 9х²+1 2) х² - 2

3) 6х²+1 3) х² + 2

4) 9х²+х 4) 3х² + 2

2. f(х) = √х - sin х 2. f(х) =√х - соs х

1) √х - соs х 1) √х - sin х

2) 1/ √х - соs х 2) 1/ √х - sin х

3) 1/( 2√х) - соs х 3) 1/( 2√х) + sin х

4) 2√х - соs х 4) 2√х + sin х

3. f(х) = х¹¹+сtg х 3. f(х) =1/х +tg х

1) 11х¹º- 1/ sin² х 1) - 1/ х² +1/ соs² х

2) 10х¹º- 1/ sin² х 2) 1/ х² +1/ соs² х

3) 11х¹º+ 1/ sin² х 3) 1/ х² - 1/ соs² х

4) 11х¹º+ 1/ соs² х 4) 1/ х² - 1/ sin ² х

4. f(х) =(3х- 7)¹² 4. f(х) =х¹¹ - (2х+1)³

1) 12(3х -7)¹¹ 1) 11х – (2х+1)²

2) 36(3х -7)¹¹ 2) 11х¹º – 6(2х+1)²

3) 3(3х -7)¹¹ 3) х¹º – 3(2х+1)²

4) 12(3х -7) 4) 11х¹º – 3(2х+1)²

5. f(х) =1/х² - соs 5х 5. f(х) = sin² х -3

1) 1/ х³ + sin 5х 1) 2 sin х

2) -2/ х³ + sin 5х 2) 2 sin х -3х

3) -2/ х³ + 5 sin 5х 3) sin 2х

4) ) -1/ х + 5 sin 5х 4) соs² х

1. В чем состоит геометрический смысл производной?

Слайд 2. Какой рисунок достаточно полно иллюстрирует геометрический смысл производной?

Слайд 3. Какая формула более полно дает информацию об угловом коэффициенте прямой?

По вариантам задания:

1 вариант. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции у = f(х) в точке с абсциссой х =-1, если

f(х)= х² + 4

2 вариант. Найти тангенс угла наклона к положительному направлению оси ох касательной, проведенной к графику функции у= - 4/х в точке с абсциссой х=2

Слайд 4.

3 вариант. На рисунке изображен график функции у = f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х. Найти значение производной в точке х.

Задания выполняются в тетрадях с последующей проверкой на доске.

Задания на составление уравнения касательной из ЕГЭ:

1. В какой точке касательная к графику функции у = х² - 5х параллельна прямой у = - х ?

2. Под каким углом к оси ох наклонена касательная, проведенная к графику функции у = х³ - х² - 7х + 6 в точке М(2;-4) ?

3. Касательная, проведенная к графику функции у = f(х) в точке

А(1;-2) параллельна прямой 6х – 3у + 4 = 0. Найти f′(1).

4. Касательные, проведенные к графику функции у = 1/(х – 4) в точках х1 и х2, параллельны, х1= -2. Найти х2.

5. Дана функция у = 1/3·х³- 4х + 2.Найти координаты точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Слайд 5. В каком из перечисленных случаев можно говорить о физическом смысле производной?

В чем состоит физический смысл производной?

Слайд 6. Тело движется по прямой так, что координата изменяется по закону

х( t ) = 2t³ - 3t + 4. Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2 сек.

Слайд 7. Формулы х ′( t ) = V ( t)

V ′( t) = a (t)

Задания ЕГЭ на физический смысл производной.

1. При движении тела по прямой расстояние s(t) изменяется по закону

s(t) = 3t³ +2 t²+ 4t +5.Через сколько секунд после начала движения

ускорение тела будет равно 58 м/с²?

2. Материальная точка движется со скоростью V(t) = 4t – 3. По какому

движется точка?

3. Прямолинейное движение двух материальных точек задано уравне-

ниями: s(t) =2t³ -5t²-3t и s(t) = 2t³ - 3t²-11t +7. Найдите ускорение в тот момент, когда их скорости равны.

1. Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 4t³- 2 t² при t = 3 сек.

2. При прямолинейном движении тела путь s изменяется по закону:

s(t) = t³ -15t² + 1. В какой момент времени ускорение тела будет равно 0?

Итог урока.

Мы повторили основные виды заданий на применение производной, которые встречаются в заданиях ЕГЭ. Домашнее задание: решить оставшиеся на карточках примеры и индивидуальное задание сильным:

При каком значении a прямая у = aх – 7 является касательной к графику функции у =2х² - 5х+ 1 ?

1 вариант 2 вариант

Найти производную функции: Найти производную функции:

1. f(х) = 3х³+х 1. f(х) =1/3х³-2х

1) 9х+1 1) 3х² - 2

2) 9х²+1 2) х² - 2

3) 6х²+1 3) х² + 2

4) 9х²+х 4) 3х² + 2

2. f(х) = √х - sin х 2. f(х) =√х - соs х

1) √х - соs х 1) √х - sin х

2) 1/ √х - соs х 2) 1/ √х - sin х

3) 1/( 2√х) - соs х 3) 1/( 2√х) + sin х

4) 2√х - соs х 4) 2√х + sin х

3. f(х) = х¹¹+сtg х 3. f(х) =1/х +tg х

1) 11х¹º- 1/ sin² х 1) - 1/ х² +1/ соs² х

2) 10х¹º- 1/ sin² х 2) 1/ х² +1/ соs² х

3) 11х¹º+ 1/ sin² х 3) 1/ х² - 1/ соs² х

4) 11х¹º+ 1/ соs² х 4) 1/ х² - 1/ sin ² х

4. f(х) =(3х- 7)¹² 4. f(х) =х¹¹ - (2х+1)³

1) 12(3х -7)¹¹ 1) 11х – (2х+1)²

2) 36(3х -7)¹¹ 2) 11х¹º – 6(2х+1)²

3) 3(3х -7)¹¹ 3) х¹º – 3(2х+1)²

4) 12(3х -7) 4) 11х¹º – 3(2х+1)²

5. f(х) =1/х² - соs 5х 5. f(х) = sin² х -3

1) 1/ х³ + sin 5х 1) 2 sin х

2) -2/ х³ + sin 5х 2) 2 sin х -3х

3) -2/ х³ + 5 sin 5х 3) sin 2х

4) ) -1/ х + 5 sin 5х 4) соs² х

1. В какой точке касательная к графику функции у = х² - 5х параллельна прямой у = - х ?

2. Под каким углом к оси ох наклонена касательная, проведенная к графику функции у = х³ - х² - 7х + 6 в точке М(2;-4) ?

3. Касательная, проведенная к графику функции у = f(х) в точке

А(1;-2) параллельна прямой 6х – 3у + 4 = 0. Найти f′(1).

4. Касательные, проведенные к графику функции у = 1/(х – 4) в точках х1 и х2, параллельны, х1= -2. Найти х2.

5. Дана функция у = 1/3·х³- 4х + 2.Найти координаты точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

6. При движении тела по прямой расстояние s(t) изменяется по закону

s(t) = 3t³ +2 t²+ 4t +5.Через сколько секунд после начала движения

ускорение тела будет равно 58 м/с²?

7. Материальная точка движется со скоростью V(t) = 4t – 3. По какому

движется точка?

8. Прямолинейное движение двух материальных точек задано уравне-

ниями: s(t) =2t³ -5t²-3t и s(t) = 2t³ - 3t²-11t +7. Найдите ускорение в тот момент, когда их скорости равны.

9. Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 4t³- 2 t² при t = 3 сек.

10. При прямолинейном движении тела путь s изменяется по закону:

s(t) = t³ -15t² + 1. В какой момент времени ускорение тела будет равно 0?

1. В какой точке касательная к графику функции у = х² - 5х параллельна прямой у = - х ?

2. Под каким углом к оси ох наклонена касательная, проведенная к графику функции у = х³ - х² - 7х + 6 в точке М(2;-4) ?

3. Касательная, проведенная к графику функции у = f(х) в точке

А(1;-2) параллельна прямой 6х – 3у + 4 = 0. Найти f′(1).

4. Касательные, проведенные к графику функции у = 1/(х – 4) в точках х1 и х2, параллельны, х1= -2. Найти х2.

5. Дана функция у = 1/3·х³- 4х + 2.Найти координаты точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

6. При движении тела по прямой расстояние s(t) изменяется по закону

s(t) = 3t³ +2 t²+ 4t +5.Через сколько секунд после начала движения

ускорение тела будет равно 58 м/с²?

7. Материальная точка движется со скоростью V(t) = 4t – 3. По какому

закону движется точка?

8. Прямолинейное движение двух материальных точек задано уравне-

ниями: s(t) =2t³ -5t²-3t и s(t) = 2t³ - 3t²-11t +7. Найдите ускорение в тот момент, когда их скорости равны.

9. Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 4t³- 2 t² при t = 3 сек.

10. При прямолинейном движении тела путь s изменяется по закону:

s(t) = t³ -15t² + 1. В какой момент времени ускорение тела будет равно 0?

1). Найти значение f′(π/6 ), если f(х) = sin х+ х²

2). Решить неравенство f′(х) 0, если f(х) = 1/3х³ -2,5х² + 6

1). Решить уравнение f′(х) = 0, если f(х) = - соs 2х+х

2). Найти значение f′(π), если f(х) = tg х -3х²